Μαθηματικά ΓΕΛ 2023 (Θέματα & Λύσεις)

revan085 · #41

costasmath έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 09, 2023 12:34 am
Καλησπέρα και από εμένα. Μια παρατήρηση η οποία αφορά την βαθμολόγηση των γραπτών.

Ένας μαθητής για να λύσει το Γ2 θέμα, θα πρέπει να υπολογίσει την . Θα παραθέσω την λύση που έχω συναντήσει

Για έχουμε $\lim_{x\to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1^-}\frac{x^2-3x+2-1}{x-1}$ που αναφέρει ότι είναι $\frac{0}{0}$ άρα με DLH θα ισούται με $\lim_{x\to 1^-}\frac{2x-3}{1}=-1$

Και όμοια για το

Στην ουσία, θέλει να υπολογίσει την παράγωγο σε σημείο και παίρνει την παράγωγο ως συνάρτηση και υπολογίζει το όριό της σε αυτό το σημείο. Δηλαδή

$\lim_{x\to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1^-}f'(x)=f'(1)$

Εννοείται ότι αν η παράγωγος σε αυτό το σημείο είναι συνεχής τότε όλα είναι καλά!!!!

Διαφώνησα με ορισμένους συναδέρφους και εξέφρασαν την άποψη ότι όλα είναι σωστά στο παραπάνω, μιας και η συνάρτηση του αριθμητή () είναι γνωστή και άρα δικαιούται να χρησιμοποιήσει DLH.

Ο μαθητής αυτός, σίγουρα δεν έχει κατανοήσει τι θέλει να βρει αφού το υπολογίζει με τρόπο ανορθόδοξο.

Το παραπάνω θεωρώ ότι είναι ισοδύναμο με το εξής

Για , και άρα $\lim_{x\to 1^-}2x-3=-1$
Για , $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ και άρα $\lim_{x\to 1^+}-\frac{1}{x^2}=-1$

Άρα

και αν βαθμολογηθεί με άριστα το παραπάνω, δεν θα πρέπει και το τελευταίο να λάβει άριστα?

Και κατά πόσο μπορούμε να θεωρήσουμε σωστό τον πρώτο τρόπο, αφού αν κατέληγε σε μη ύπαρξη ορίου μετά από DLH δεν θα είχε ολοκληρώσει την άσκηση? π.χ. για την συνάρτηση $f(x)=x^2ημ(\frac{1}{x})$ για $x\ne 0$ με

$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2ημ(\frac{1}{x})}{x}$ που με DLH δεν "προχωράει"

Για την συγκεκριμένη συνάρτηση τα ευχαριστήρια πηγαίνουν στον Αριστείδη Μουσουράκη https://www.facebook.com/profile.php?id=100018467206715

Ας βάλουμε τα πράγματα σε μία σειρά...

Κανόνας De L' Hospital Μορφή $\frac{0}{0}$ :
"Αν το όριο $\lim_{x\to\xi }\frac{f(x)}{g(x)}$ είναι της μορφής $\frac{0}{0}$ και το όριο $\lim_{x\to\xi }\frac{f{}'(x)}{g{}'(x)}$ υπάρχει, τότε αναγκαστικά υπάρχει και το αρχικό όριο και ισχύει: $\lim_{x\to\xi }\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\xi }\frac{f{}'(x)}{g{}'(x)}$ "

Δεν υπάρχει κανένα λάθος από τη στιγμή που εφαρμόζεται το θεώρημα του De L' Hospital και για τα δύο πλευρικά όρια του Γ2 i.
Το να φτιάχνουμε σενάρια του στυλ "αν δεν εφαρμοζόταν ο De L' Hospital" πραγματικά δεν έχει νόημα. Αν δεν εφαρμοζόταν ο De L' Hospital, θα έπρεπε να υπολογιστεί υποχρεωτικά με άλλον τρόπο το ζητούμενο όριο, από τη στιγμή όμως που εφαρμόζεται ο De L' Hospital όλα είναι μια χαρά.

Το ότι υπολογίζουμε παράγωγο σε σημείο, με χρήση De L' Hospital είναι κάτι το επιτρεπτό εφόσον ο κανόνας εφαρμόζεται, δεν υπάρχει τίποτα το ανορθόδοξο σε μία τέτοια περίπτωση.
Ανορθόδοξο είναι πχ να πούμε ότι "Μπορούμε να κάνουμε χρήση De L' Hospital για να υπολογίσουμε το όριο $\lim_{x\to 1^{-}}\frac{x^2-3x+2}{x-1}$ , αλλά αν το ίδιο αυτό όριο αφορά τον υπολογισμό παραγώγου σε σημείο με τον ορισμό, τότε... δεν μπορούμε να κάνουμε χρήση De L' Hospital για να το υπολογίσουμε!"

Όσον αφορά τον τρόπο υπολογισμού της f'{(1)}

υπολογίζοντας τα πλευρικά $\lim_{x\to 1^{-}}f'(x),\lim_{x\to 1^{+}}f'(x)$ αντί να κάνουμε χρήση του ορισμού, αυτό οφείλεται σε πανεπιστημιακό θεώρημα που δεν είναι μέσα στη σχολική ύλη και συνεπώς για Τρίτη Λυκείου και Πανελλήνιες Εξετάσεις ο συγκεκριμένος τρόπος, απαγορεύεται δια ροπάλου να χρησιμοποιείται στη θέση του ορισμού της παραγώγου σε σημείο (εκτός κι αν αυτός που το χρησιμοποίησε, διατύπωσε και απέδειξε το εκτός ύλης θεώρημα στο γραπτό του).

Οπότε για το ερώτημα Γ2 i:
Ο εξεταζόμενος Α, που υπολόγισε τα όρια $\lim_{x\to 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1},\lim_{x\to 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ χωρίς χρήση De L' Hospital θα πάρει άριστα στον υπολογισμό της f'{(1)}

.

Ομοίως και ο εξεταζόμενος Β που υπολόγισε τα όρια $\lim_{x\to 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1},\lim_{x\to 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ με χρήση De L' Hospital θα πάρει επίσης άριστα στον υπολογισμό της f'{(1)}

.
Γιατί; Διότι και οι δύο εξεταζόμενοι Α και Β, υπολόγισαν την f'{(1)}

με τον ορισμό, απλά ο Β συνδύασε τον ορισμό της παραγώγου με τον κανόνα De L' Hospital που εφαρμόζεται και για τα δύο πλευρικά όρια.

Όμως ο εξεταζόμενος Γ που αντί να υπολογίσει τα όρια $\lim_{x\to 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1},\lim_{x\to 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ πέρασε χωρίς καμία τεκμηρίωση, ούτε καν αυτή του De L' Hospital για τα όρια $\lim_{x\to 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1},\lim_{x\to 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ απευθείας στον υπολογισμό των ορίων $\lim_{x\to 1^{-}}f'(x),\lim_{x\to 1^{+}}f'(x)$ , χωρίς να ερφαρμόσει τον ορισμό, χωρίς να αιτιολογήσει τίποτα, κανονικά πρέπει, να χάσει τα μόρια του υπολογισμού της f'{(1)}

γιατί δεν εφάρμοσε τίποτε από τη θεωρία που έχει στην ύλη του!

Σε τί διαφέρει η απάντηση του εξεταζόμενου Β από την απάντηση του εξεταζόμενου Γ;
Ο εξεταζόμενος Β έκανε χρήση του ορισμού της παραγώγου σε σημείο, ξεκινώντας από τον υπολογισμό των ορίων $\lim_{x\to 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1},\lim_{x\to 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ όπου με εφαρμογή του κανόνα De L' Hospital στα δύο αυτά όρια, κατέληξε στον υπολογισμό των ορίων $\lim_{x\to 1^{-}}f'(x),\lim_{x\to 1^{+}}f'(x)$ τα οποία έδειξε ότι υπάρχουν και είναι ίσα με - 1 άρα τα αρχικά όρια $\lim_{x\to 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1},\lim_{x\to 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ είναι ίσα με -1, οπότε f'{(1) = - 1

.
Ο εξεταζόμενος Γ ούτε χρήση του ορισμού έκανε ούτε τίποτα που να το αιτιολογεί η σχολική ύλη. Υπολόγισε μόνο τα όρια $\lim_{x\to 1^{-}}f'(x),\lim_{x\to 1^{+}}f'(x)$ δείχνοντας ότι είναι ίσα με - 1 και "συμπέρανε" ότι f'{(1) = - 1}

. Για δεδομένα Γ ΄ Λυκείου είναι ατεκμηρίωτη από μόνη της μια τέτοια απάντηση και πρέπει να αποφεύγεται όπως ο διάολος το λιβάνι.

Τέλος, μάλλον αναφέρεστε στο όριο $\lim_{x\to0}\frac{x^2\eta \mu \frac{1}{x}}{x}=0$ , με χρήση Κριτηρίου Παρεμβολής, για το οποίο όμως δεν εφαρμόζεται ο De L' Hospital αφού το όριο $\lim_{x\to0}\left ( 2x\eta \mu \frac{1}{x}-\sigma \upsilon \nu \frac{1}{x} \right )$ δεν υπάρχει.

Εξετασθής · #42

Καλησπέρα, είμαι μαθητής που εξετάστηκε στο μάθημα των μαθηματικών.

Στο Γ4, υπολόγισα το εμβαδόν σωστά, γράφοντας την σχέση ολοκληρωμάτων που έδινε το ζητούμενο εμβαδόν, αιτιολογώντας την σχετική θέση εφαπτομένης- καμπύλης και βρίσκοντας το σημείο που η ευθεία τέμνει τον άξονα των χ, ενώ εξήγησα γιατί δεν υπάρχει άλλο σημείο επαφής ή σημείο τομής ευθείας-καμπύλης. Ωστόσο, έχοντας το σχήμα στον νου μου, δεν το αποτύπωσα στο γραπτό μου. Ως εκ τούτου, μου γεννήθηκε ανησυχία για τις ενδεχόμενες βαθμολογικές συνέπειες τούτης της ενέργειας. Αν αναμένονται, ποιες θα είναι αυτές σε γενικές γραμμές;

Παρακαλώ απαντήστε μου, έχω υψηλούς στόχους και το γραπτό μου δεν περιέχει κάτι επιλήψιμο στα υπόλοιπα ερωτήματα, η αγωνία μου είναι τεράστια.

Σας ευχαριστώ για την κατανόηση

Εξετασθής · #43

Μπορεί κάποιος να μου δώσει μία έστω επισφαλέστατη εκτίμηση;

Στα βαθμολογικά τι έχει αποφασιστεί γενικά;

foithths · #44

Τέλος, μάλλον αναφέρεστε στο όριο $\lim_{x\to0}\frac{x^2\eta \mu \frac{1}{x}}{x}=0$ , με χρήση Κριτηρίου Παρεμβολής, για το οποίο όμως δεν εφαρμόζεται ο De L' Hospital αφού το όριο $\lim_{x\to0}\left ( 2x\eta \mu \frac{1}{x}-\sigma \upsilon \nu \frac{1}{x} \right )$ δεν υπάρχει.
[/quote]
Aπο περιεργεια το τελευταιο οριο αποδεικνυεται οτι δεν υπαρχει με τις 2 ακολουθιες Xn=1/2nπ και Υn=1/(2n+1)π που βγαινουν -1 και 1 αντιστοιχα?

foithths · #45

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 07, 2023 10:27 am

xgastone έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 07, 2023 9:58 am

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 06, 2023 1:32 pm

achilleas έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 06, 2023 12:16 pm
Μια άλλη ιδέα για το Δ4.

Είναι $\int_{x_1}^{x_2}f(t)\,dt=F(x_2)-F(x_1)=F(x_2)$ και $\int_{x_1}^{x_2}f(t)\,dt=G(x_2)-G(x_1)=-G(x_1)$ .

Συνεπώς, και άρα ,

Επίσης, αφού για κάθε $x\in(x_1,x_2)$ έπεται ότι $\int_{x_1}^{x_2}f(t)\,dt>0$ . Συνεπώς, .

Τα υπόλοιπα όπως παραπάνω.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Το έλυσε μαθητής μου με διπλό Θ.Μ.Τ για τις F και G που είναι ουσιαστικά το ίδιο πραγμα
Διπλό ΘΜΤ για F και G, πως; Αφού είναι διαφορετικά τα ξ1, ξ2;
'Οχι! Επειδή είναι αρχικές και διαφέρουν κατά c είναι ίσα!

Φιλε μου σορρυ που στο λεω αλλα η λυση που προτεινεις με διπλο θμτ ειναι οχι απλα τραγικο λαθος και κατι παραπανω.Ουσιαστικα να στο κανω λιανα τι λες.Θμτ στο [χ1,χ2] για τις F και G.Oμως κανεις δεν σου λεει οτι τα ξ1 και ξ2 που παιρνεις στο θεωρημα ταυτιζονται!!Ουσιαστικα αν παρεις οτι f(ξ1)=f(ξ2) ειναι σαν να δεχεσαι εκ προοιμιου αυτο που θες να αποδειξεις!!Η μονη σωστη λυση με Θμτ ειναι να παρεις την F-G και να κανεις θμτ στο [χ1,χ2].