Επαναληπτικές 2025 και Ομογενείς 2025

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Tα σημερινά θέματα

Dimessi · #2

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΓΕΛ

ΘΕΜΑ Γ

Γ1)Η

παραγωγίσιμη με $f'\left ( x \right )=ax^{3}+3x^{2}+x+1 , x\in \mathbb{R}.$
Η εφαπτομένη της

στο $A\left ( 0,f\left ( 0 \right ) \right ):\left ( \varepsilon \right ):y=f\left ( 0 \right )+f'\left ( 0 \right )\left ( x-0 \right )\Longleftrightarrow y=x.$
Γ2) Η

παραγωγίσιμη με $f''\left ( x \right )=3ax^{2}+6x+1,x\in \mathbb{R}.$
Με κατάλληλο πιθανό

ώστε

κυρτή στο $\mathbb{R}$ η

είναι αύξουσα, οπότε για κάθε $t\neq x$ ισχύει $\frac{f'\left ( t \right )-f'\left ( x \right )}{t-x}\geq 0.$ Παίρνοντας όριο $t\rightarrow x$ έχουμε $f''\left ( x \right )=\displaystyle \lim_{t \to x}\frac{f'\left ( t \right )-f'\left ( x \right )}{t-x}\geq 0.$ Από την τυχαιότητα του

αυτό ισχύει σε όλο το $\mathbb{R}$ οπότε $3ax^{2}+6x+1\geq 0.$
Αν το τριώνυμο αυτό είχε δύο ρίζες τότε μεταξύ αυτών θα ήταν ετερόσημο του

και έξω από αυτές ομόσημο του 3a.

Όμως $a\neq 0$ , οπότε ανεξάρτητα από το πρόσημο του

, το τριώνυμο θα λάμβανε και θετικές και αρνητικές τιμές και δεν θα ήταν παντού $\geq 0.$ Οπότε $\Delta \leq 0\Longleftrightarrow 36-12a\leq 0\Longleftrightarrow a\geq 3.$
Πράγματι για a=3

είναι $9x^2+6x+1\geq 0.$ Οπότε είναι όντως ελάχιστη τιμή του

ώστε

κυρτή στο $\mathbb{R}.$
Γ3) Από την κυρτότητα της

έχουμε $f(x)\geq x$ στο $\mathbb{R}$ με ισότητα μόνο στο

Καθώς $x\rightarrow 0$ , από τη συνέχεια της

στο

ισχύει $f\left ( x \right )\rightarrow f\left ( 0 \right )=0.$
Οπότε $\ln \left ( f\left ( x \right )-x \right )\rightarrow -\infty\Longrightarrow \frac{1}{\ln \left ( f\left ( x \right )-x \right )}\rightarrow 0$ καθώς $x\rightarrow 0.$
Ακόμα $\left | \eta \mu \left ( f\left ( x \right ) \right )\right |\leq 1.$
Οπότε το όριο είναι μηδενική επί φραγμένη δηλαδή L=0.

Γ4) Στο $\left ( 0,+\infty \right )$ ισχύει $f\left ( x \right )=\frac{3x^{4}}{4}+x^{3}+\frac{x^{2}}{2}+x> 0.$
Το

μεταβάλλεται με το

μέσω της συνάρτησης x=x(t).

Για κάθε $t\geq 0$ έχουμε $E(t)=\left ( OAB \right )=\frac{x\left ( t \right )\left | f\left ( x\left ( t \right ) \right )\right |}{2}=\frac{x\left ( t \right )f\left ( x\left ( t \right ) \right )}{2}.$
Η E(t)

παραγωγίσιμη ( x(t)

παραγωγίσιμη και f(x(t))

σύνθεση παραγωγίσιμης x(t)

με παραγωγίσιμη

) με $\displaystyle E'\left ( t \right )=\frac{x'\left ( t \right )f\left ( x\left ( t \right ) \right )+x\left ( t \right )f'\left ( x\left ( t \right ) \right )x'\left ( t \right )}{2},\forall t\geq 0.$
Τη χρονική στιγμή $t_{0}$ όπου $x\left ( t_{0} \right )=2$ έχουμε $E'\left ( t_{0} \right )=\frac{2f\left ( 2 \right )+4f'\left ( 2 \right )}{2}=102cm^{2}/sec.$
ΘΕΜΑ Δ

Δ1) Στο $(-\infty,0)$ έχουμε $\sqrt{x^2+1}\geq 0>x$ και στο $[0,+\infty)$ έχουμε $\sqrt {x^2+1}>\sqrt {x^2}=x$ οπότε $\sqrt {x^2+1}-x >0$ στο $\mathbb{R}.$
Επειδή e^x

γνήσια αύξουσα έχουμε $f\left ( x \right )-1\geq \ln \left ( \sqrt{x^{2}+1}-x \right )\Longleftrightarrow f\left ( x \right )-\ln\left ( \sqrt{x^{2}+1}-x \right )\geq f\left ( 0 \right ).$
Οπότε για τη συνάρτηση $h\left ( x \right )=f\left ( x \right )-\ln\left ( \sqrt{x^{2}+1} -x\right ),x\in \mathbb{R}$ ισχύει $h\left ( x \right )\geq h\left ( 0 \right ).$
Ακόμα $\sqrt {x}$ παραγωγίσιμη στο $[1,+\infty)$ και x^2+1

παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ , οπότε $\sqrt {x^2+1}$ παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ και κατ' επέκταση

παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}.$
Οπότε

παραγωγίσιμη με $h'\left ( x \right )=f'\left ( x \right )-\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}-x}\cdot\left ( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}-1 \right )=f'\left ( x \right )+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}},x\in \mathbb{R}.$
Επειδή

παραγωγίσιμη στο

και το

είναι θέση ολικού ελαχίστου της

, από το θεώρημα του Fermat ισχύει $h'(0)=0\Longleftrightarrow f'\left ( 0 \right )=-1.$ Συνεπακόλουθα a=-1.

(αφού

)
Δ2) Πλέον $f(x)=\sqrt {x^2+1}-x>0,$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ όπως δείξαμε στο Δ1) και $f'\left ( x \right )=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}-1=\frac{x-\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{-f\left ( x \right )}{\sqrt{x^{2}+1}}\overset{f\left ( x \right )> 0}<0\Longrightarrow f$ γνήσια φθίνουσα στο $\mathbb{R}.$
Δ3) Στο $[0,\pi]$ το $\eta \mu x$ μηδενίζεται μόνο στα $0,\pi.$
Από την ανισότητα $\eta \mu ^{2}x\leq 2\eta \mu ^{2}x\leq 3\eta \mu ^{2}x$ έχουμε $\eta \mu ^{2}x< 2\eta \mu ^{2}x<3\eta \mu ^{2}x$ στο $\left ( 0,\pi \right ).$
Για κάθε $x \in (0,\pi):$
Η

συνεχής στο $[\eta \mu ^{2}x,2 \eta \mu ^{2}x]$ (ως παραγωγίσιμη είναι συνεχής σε όλο το $\mathbb{R}$ ) και παραγωγίσιμη στο $(\eta \mu ^{2} x, 2 \eta \mu ^{2} x),$ άρα από ΘΜΤ υπάρχει $\xi _{1} \in \left ( \eta \mu ^{2}x,2 \eta \mu ^{2}x \right ):F'\left ( \xi _{1} \right )=\frac{F\left ( 2 \eta \mu ^{2} x\right )-F\left ( \eta \mu ^{2}x \right )}{2 \eta \mu ^{2} x- \eta \mu ^{2}x}=\frac{F\left ( 2\eta \mu^{2}x \right )-F\left ( \eta \mu ^{2}x \right )}{\eta \mu^{2}x}.$
Με ακριβώς όμοιο τρόπο $\exists \xi _{2}\in \left ( 2 \eta \mu ^{2}x,3 \eta \mu^{2}x \right ):F'\left ( \xi _{2} \right )=\frac{F\left ( 3\eta \mu^{2}x \right )-F\left ( 2 \eta \mu ^{2}x \right )}{\eta \mu ^{2}x}.$
Επειδή $\xi _{1}<\xi _{2}$ και

γνήσια φθίνουσα, άρα $f\left ( \xi _{1} \right )> f\left ( \xi _{2} \right )\overset{\eta \mu ^{2}x> 0}\Longrightarrow 2F\left ( 2\eta \mu ^{2}x \right )> F\left ( \eta \mu ^{2} x\right )+F\left ( 3 \eta \mu ^{2}x \right ).$
Οπότε μόνο τα $0,\pi$ είναι λύσεις της εξίσωσης (E).

Δ4) Επειδή

γνήσια φθίνουσα , στο [0,1]

έχουμε $0\leq 1-f\left ( x \right )\leq 2-\sqrt{2}.$
Στο διάστημα ολοκλήρωσης έχουμε $1-f\left ( x \right )\in \left [ 0,2-\sqrt{2} \right ]\subseteq \left [ 0,\pi \right ].$
Από την ανισότητα $\left | \eta \mu x\right |\leq \left | x\right |,$ αφού $\eta \mu x \geq 0$ στο $[0,\pi]$ , παίρνουμε
$\eta \mu \left ( 1-f\left ( x \right ) \right )\leq 1-f\left ( x \right ),$ για κάθε $x\in \left [ 0,1 \right ].$
Οπότε $x \eta \mu \left ( 1-f\left ( x \right ) \right )\leq x\left ( 1-f\left ( x \right ) \right ),$ για κάθε $x\in \left [ 0,1 \right ]$ και όχι παντού ισότητα στο [0,1].

Όντως ισότητα στην $\left | \eta \mu x\right |\leq \left | x\right |$ πιάνεται μόνο στο

οπότε ισότητα στην παραπάνω πιάνεται μόνο στα $x\in S=\left\{ x\in \left [ 0,1 \right ]|f\left ( x \right )=1\right\}=\left\{ 0\right\}.$
Ολοκληρώνοντας τις δύο συνεχείς συναρτήσεις παίρνουμε
$\displaystyle \int \limits_{0}^{1}x\eta \mu \left ( 1-f\left ( x \right ) \right )dx< \int \limits_{0}^{1}x\left ( 1-f\left ( x \right ) \right )dx \left ( \ast \right ).$
$\displaystyle \int \limits_{0}^{1}xf\left ( x \right )dx=\int \limits_{0}^{1}x\sqrt{x^{2}+1}dx-\int \limits_{0}^{1}x^{2}dx \overset{y=x^{2}}=\int \limits_{0}^{1}\sqrt{y}\sqrt{y+1}\cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}dy-\frac{1}{3}=$
$\displaystyle =\frac{1}{2}\int \limits_{0}^{1}\sqrt{y+1}dy-\frac{1}{3}\overset{\sqrt{y+1}=t}=\frac{1}{2}\int \limits_{1}^{\sqrt{2}}t \cdot 2tdt-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}-\frac{2}{3}\left ( \ast \ast \right ).$
Από τις $\left ( \ast \right )$ και $\left ( \ast \ast \right )$ έχουμε
$\displaystyle \int \limits_{0}^{1}x \eta \mu \left ( 1-f\left ( x \right ) \right )dx< \frac{1}{2}-\frac{2\sqrt{2}}{3}+\frac{2}{3}=\frac{7-4\sqrt{2}}{6}.$

Επαναληπτικές 2025 και Ομογενείς 2025

Επαναληπτικές 2025 και Ομογενείς 2025

Re: Επαναληπτικές 2025 και Ομογενείς 2025

Μέλη σε σύνδεση