Επαναληπτικές 2026

#1

Dimessi · #2

Είμαι από κινητό ...από αύριο θα πέσει καταιγισμός από εμένα στο φόρουμ άντε γιατί δεν πολυμπαινω τελευταία .....
Δ3 . Μπορούμε να κάνουμε το δυσκολότερο

\int \limits _{0}^{1}xf(x)dx=\dfrac{5}{4}.

Θέτοντας όπου

x\rightarrow 1-x

στην δοθεισα

(1-x)f'(1-x)-f(x)=x^2-4x

και λογω της δοθεισας

xf'(x)+f(x)-f(1-x)-(1-x)f'(1-x)= 6x-3

δηλαδή

((1-x)f(1-x)+xf(x))'=(3x^2-3x)'

\Longrightarrow (1-x)f(1-x)+xf(x)=3x^2-3x+c,

για κάθε $x\in [0,1].$
Θέτοντας x=0

είναι

και θέτοντας x=1

στην

(1-x)f'(1-x)-f(x)=x^2-4x

είναι

Επομένως

(1-x)f(1-x)+xf(x)=3x^2-3x+3

κι αφού

\int \limits_ {0}^{1} (1-x)f(1-x)dx=\int \limits _{0}^{1} xf(x)dx

άρα

\int \limits _{0}^{1} xf(x)dx=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{2}

Όσο για το

\int \limits _{0}^{1} f(x)dx= \int \limits _{0}^{1} ((1-x)f'(1-x)-x^2+4x)dx=\int \limits _{0}^{1}xf'(x)dx +\dfrac{5}{3}

αν την προσθέσουμε στην

\int \limits _{0}^{1} f(x)dx= f(1)-\int \limits _{0}^{1} xf'(x)dx

παίρνουμε

\int \limits _{0}^{1} f(x)dx=\dfrac {7}{3}

Επειδή

f'\neq 0

παντού στο [0,1] από Darboux διατηρεί πρόσημο με

f'(1)=3>0

οπότε

στο [0,1] οπότε

f(x)\leq f(1)=3

στο [0,1]
και άρα

E=\int \limits _{0}^{1}(3-f(x))dx=\dfrac {2}{3}.

#3

Η εκφώνηση
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle f:[0,1]\to R$ για την οποία ισχύουν:

x{f}'(x)-f(1-x)={{x}^{2}}+2x-3,

για κάθε $x\in [0,1]$ και ${f}'(x)\ne 0$ , για κάθε $x\in [0,1]$
Δ1. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi \in (0,1)$ τέτοιο ώστε

{f}'(\xi )+{f}'(1)=3

Μονάδες 6
Δ2. i) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα (μονάδες 6).
ii) Να αποδείξετε ότι

f(x)\le 3

για κάθε $x\in [0,1]$ (μονάδες 5). Μονάδες 11
Δ3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου $\Omega$ που περικλείεται από τη
γραφική παράσταση της συνάρτησης και τις ευθείες

y=3,x=0,x=1

. Μονάδες 8

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

exdx έγραψε: Πέμ Σεπ 10, 2026 12:57 am Η εκφώνηση
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle f:[0,1]\to R$ για την οποία ισχύουν:
$x{f}'(x)-f(1-x)={{x}^{2}}+2x-3,$ για κάθε $x\in [0,1]$ και ${f}'(x)\ne 0$ , για κάθε $x\in [0,1]$
Δ1. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi \in (0,1)$ τέτοιο ώστε ${f}'(\xi )+{f}'(1)=3$ Μονάδες 6
Δ2. i) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα (μονάδες 6).
ii) Να αποδείξετε ότι $f(x)\le 3$ για κάθε $x\in [0,1]$ (μονάδες 5). Μονάδες 11
Δ3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου $\Omega$ που περικλείεται από τη
γραφική παράσταση της συνάρτησης και τις ευθείες $y=3,x=0,x=1$ . Μονάδες 8

D1)Από τη δοσμένη ισότητα για x=1

παίρνουμε

f’(1)=f(0)

και για

παίρνουμε

Από θ.μέσης τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi$ στο (0,1)

με

f’(\xi)=f(1)-f(0)=3-f’(1)

.Άρα

f’(\xi)+f’(1)=3

D2)Επειδή υπάρχει η f’’

η

είναι συνεχής κι αφού δεν μηδενίζεται θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (0,1]

επομένως οι αριθμοί

f’(\xi),f’(1)

ως ομόσημοι με άθροισμα

, είναι και οι δύο θετικοί

Έτσι

f’(x)>0

στο

κι αφού η f είναι συνεχής στο [0,1]

η

είναι γνήσια αύξουσα

Το σύνολο τιμών της είναι λοιπόν το

[f(0),f(1)]=[f(0),3]

συνεπώς

f(x) \leq 3

στο

D3).Στη δοσμένη σχέση θέτοντας όπου

το

παίρνουμε

3-f(x)=x^2-4x+3-(1-x)f'(1-x)

κι επειδή

3-f(x) \geq 0

στο

,το ζητούμενο εμβαδόν θα είναι

E= \int_0^1 (3-f(x))dx = \int_0^1( x^2-4x+3 )dx- \int_0^1 (1-x)f'(1-x)dx= \dfrac{4}{3}-\int_0^1 (1-x)f'(1-x)dx

Με την αντικατάσταση u=1-x

κι επειδή

παίρνουμε εύκολα

E=\dfrac{4}{3}-3+ \int_0^1 f(u)du =\dfrac{4}{3}-(\int_0^1(3- f(u))du

Άρα

2E=\dfrac{4}{3} \Rightarrow E= \dfrac{2}{3}

#5

Συμπληρωματικό ερώτημα

Να βρείτε τη συνάρτηση f αν υποθέσουμε ότι είναι πολυωνυμική.

Dimessi · #6

exdx έγραψε: Πέμ Σεπ 10, 2026 6:33 pm Συμπληρωματικό ερώτημα

Να βρείτε τη συνάρτηση f αν υποθέσουμε ότι είναι πολυωνυμική.

2=\deg \left ( xP'\left ( x \right )-P\left ( 1-x \right ) \right )=\deg P\left ( x \right )\Longrightarrow P(x)=ax^2+bx+c

\Longrightarrow x\left ( 2ax+b \right )-a\left ( 1-x \right )^{2}-b\left ( 1-x \right )-c=x^2+2x-3\Longrightarrow \left ( a,b,c \right )=\left ( 1,0,2 \right )\Longrightarrow \boxed{P(x)=x^{2}+2}

Επαναληπτικές 2026

Επαναληπτικές 2026

Re: Επαναληπτικές 2026

Re: Επαναληπτικές 2026

Re: Επαναληπτικές 2026

Re: Επαναληπτικές 2026

Re: Επαναληπτικές 2026

Μέλη σε σύνδεση