Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Euler
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 27, 2010 3:40 pm

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

#41

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Euler » Τρί Μάιος 17, 2011 10:40 am

Η ύπαρξη των δυο ριζών στο ερώτημα Γ3 μπορεί να προκύψει και από το θεώρημα Bolzano στα διαστήματα [-2, 1], [1, 2]
για τη συνάρτηση g\left( x \right) = 2e^x  - xe^x  - 1


Θανάσης Νικολόπουλος
Δημοσιεύσεις: 101
Εγγραφή: Σάβ Σεπ 18, 2010 12:51 pm

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

#42

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Θανάσης Νικολόπουλος » Τρί Μάιος 17, 2011 11:26 am

Euler έγραψε:Η ύπαρξη των δυο ριζών στο ερώτημα Γ3 μπορεί να προκύψει και από το θεώρημα Bolzano στα διαστήματα [-2, 1], [1, 2]
για τη συνάρτηση g\left( x \right) = 2e^x  - xe^x  - 1
Πολύ σωστά, το ανέφερα κι εγώ και μάλιστα έκανα και τις σύντομες πράξεις, μπορείς να το επαληθεύσεις σε προηγούμενο post.

Ωραία λύση παρεπιπτόντως, ε; Για όποιον ήθελε να αποφύγει υπολογισμούς ορίων και συνόλων τιμών και να ξεμπερδέψει λίγο ταχύτερα... Και χωρίς δυσκολία στην επιλογή των κατάλληλων τιμών για άκρα διαστημάτων, ο τύπος της συνάρτησης περίπου οδηγεί την επιλογή μας...


Νικολόπουλος Αθανάσιος
Γυμνάσιο & ΓΕΛ Κατασταρίου Ζακύνθου
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4255
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

#43

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τρί Μάιος 17, 2011 11:50 am

Α)
Βρίσκω ότι η βασική ιδέα του Δ1 (και κατά την γνώμη μου η μόνη, ίσως, ενδιαφέρουσα των θεμάτων) είναι η ακόλουθη:
Αν ισχύει f\left( x\right) =p-\int_{0}^{-x}\frac{\varphi \left( x+t\right) }{g\left( x+t\right) }dt και g\left( x\right) =p-\int_{0}^{-x}\frac{\varphi \left( x+t\right) }{f\left( x+t\right) }dt τότε είναι f\left( x\right) =g\left( x\right) και \left( f^{2}\left( x\right) \right) ^{\prime }=2\varphi \left( x\right). Στο θέμα ήταν p=1 και \varphi \left( x\right) =e^{2x}.



Β)
G.Tsikaloudakis έγραψε:Καλησπέρα . Μια Γεωμετρική Λύση για το Β4 (Τα σχόλια μου για τα ΄ΘΕΜΑΤΑ, αργότερα)
Αν Μ(z) , N(w) οι εικόνες των z, w αντίστοιχα, τότε έχουμε:

M(x,y){\rm{ }}{\rm{,  N(2x}}{\rm{,0)}}
Επομένως το τρίγωνο ΟΜΝ είναι ισοσκελές , με ΟΜ=ΜΝ (αφού η διάμεσος του είναι κά ύψος) .
Όμως:
OM = MN{\rm{    }} \Leftrightarrow {\rm{   }}|z|{\rm{ }} = {\rm{ }}|w - z|

( από το σχήμα είναι πολύ εύκολο να το δούμε)
Με την ευκαιρία ας παραθέσω και ένα σχήμα στην ωραία λύση του Γιώργου Τσικαλουδάκη (μας την έδειξε χθες το πρωϊ στο 38ο Βαθμολογικό όταν λύναμε τα θέματα)
B4.png
B4.png (52.65 KiB) Προβλήθηκε 2210 φορές
Το σχήμα έγινε στην Geogebra: To σημείο z είσηχθη πάνω στον κύκλο και του αποδόθηκαν ιδιότητες μιγαδικού. Ο z εισήχθη ως w=z-3i+\frac{1}{z-3i} και η έντονη μάυρη γραμμή στον άξονα x'x είναι ο γεωμετρικός τόπος του w όπως τον "βρήκε" Geogebra με το εργαλείο "Γεωμετρικός Τόπος".
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Θανάσης Νικολόπουλος
Δημοσιεύσεις: 101
Εγγραφή: Σάβ Σεπ 18, 2010 12:51 pm

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

#44

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Θανάσης Νικολόπουλος » Τρί Μάιος 17, 2011 11:56 am

Θανάσης Νικολόπουλος έγραψε: ...
ΥΓ: Δεν έχει γραφτεί ως τώρα κι έτσι το προσθέτω στις ιδέες για τη λύση της άσκησης Γ3. Ψάχνοντας για τα δύο σημεία καμπής ακριβώς, θέλουμε να εφαρμόσουμε Θ.Bolzano σε δύο διαστήματα, ή να βρούμε 2 επιμέρους σύνολα τιμών που να περιέχει καθένα το 0. Αυτό με τα σύνολα τιμών γράφτηκε ήδη παραπάνω...

Να πως θα λυνόταν με Θ.Bolzano για την h(x)=(2-x)*e^x-1

ισχύουν h(1)=e-1>0
h(2)=-1<0
και το σημαντικότερο: h(-2)=4/e^2 -1 που βγαίνει αρνητικό, αφού e>2 (πράγματι ισοδύναμα γράφεται 4<e^2 ή 2<e που ισχύει)

άρα εφαρμόζεται Θ. Bοlzano σε καθένα από τα διαστήματα [-2,1] και [1,2] κλπ
το παραθέτω γιατί δεν είναι ανάγκη να κάθονται οι φίλοι να ψάχνουν που ακριβώς είχε γραφτεί...

αν και η αναφορά των διαστημάτων αρκεί, καθώς οι πράξεις είναι σαφώς εύκολες να γίνουν ακόμα και χωρίς χαρτί ;)


Νικολόπουλος Αθανάσιος
Γυμνάσιο & ΓΕΛ Κατασταρίου Ζακύνθου
michelm
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 22, 2009 4:17 pm

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

#45

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από michelm » Τρί Μάιος 17, 2011 12:51 pm

Γειά σας. Έχω πολύ καιρό να στείλω μήνυμα χωρίς αυτό να σημαίνει ότι δεν παρακολουθώ το σημαντικό έργο που συντελείται στο mathematica.
Αφορμή για την παρέμβασή μου είναι ένα θέμα που με απασχολεί παρατηρώντας το διαγώνισμα κατεύθυνσης. Τα ερωτήματα Δ1 (το μισό) και Δ4 χαρακτηρίζονται ως τα ερωτήματα που θα ξεχωρίσουν τον πολύ καλό από τον άριστο. Εδώ ακριβώς εγείρεται το θέμα: για να υπηρετήσουν το στόχο αυτό τα εν λόγω ερωτήματα θα πρέπει να χαρακτηρίζονται από πρωτοτυπία κ να απαιτούν μια «νέα» ενέργεια εκ μέρους του λύτη και όχι ανάκληση συγκεκριμένης μεθοδολογίας. ¨Όμως και τα δυο δεν έχουν αυτό το χαρακτηριστικό αφού:
► το Δ1 λύνεται με συγκεκριμένη μεθόδευση (λέμε στους μαθητές: πολλές φορές για να αποδείξουμε ότι f=g βολεύει να αποδείξουμε ότι η f-g είναι η μηδενική ή ότι η f/g είναι η μοναδιαία).
►το Δ4 υπακούει σε ακόμη πιο κλασσική μεθόδευση (λέμε στους μαθητές: αν σας βάλουν να υπολογίσετε ολοκλήρωμα ολοκληρώματος, τότε είναι πολύ πιθανό να γίνεται με παραγοντική γράφοντας (x)΄=1 ώστε να φύγει το μέσα ολοκλήρωμα). Χαρακτηριστικά, όπως συνάγεται από συζητήσεις με μαθητές μου είναι σίγουρο ότι οι περισσότεροι δεν θα έλυναν το Δ4 αν δεν το είχαμε επαναλάβει την προηγούμενη μέρα.
Αντίστοιχες παρατηρήσεις μπορούμε να κάνουμε για τα θέματα Δ4 του 2010, 4α του 2008, 3α του 2006 κ.λπ.
Καλή συνέχεια σε όλους τους μαθητές και συναδέλφους


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6853
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

#46

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Μάιος 17, 2011 1:19 pm

michelm έγραψε:Γειά σας. Έχω πολύ καιρό να στείλω μήνυμα χωρίς αυτό να σημαίνει ότι δεν παρακολουθώ το σημαντικό έργο που συντελείται στο mathematica.
Αφορμή για την παρέμβασή μου είναι ένα θέμα που με απασχολεί παρατηρώντας το διαγώνισμα κατεύθυνσης. Τα ερωτήματα Δ1 (το μισό) και Δ4 χαρακτηρίζονται ως τα ερωτήματα που θα ξεχωρίσουν τον πολύ καλό από τον άριστο. Εδώ ακριβώς εγείρεται το θέμα: για να υπηρετήσουν το στόχο αυτό τα εν λόγω ερωτήματα θα πρέπει να χαρακτηρίζονται από πρωτοτυπία κ να απαιτούν μια «νέα» ενέργεια εκ μέρους του λύτη και όχι ανάκληση συγκεκριμένης μεθοδολογίας. ¨Όμως και τα δυο δεν έχουν αυτό το χαρακτηριστικό αφού:
► το Δ1 λύνεται με συγκεκριμένη μεθόδευση (λέμε στους μαθητές: πολλές φορές για να αποδείξουμε ότι f=g βολεύει να αποδείξουμε ότι η f-g είναι η μηδενική ή ότι η f/g είναι η μοναδιαία).
►το Δ4 υπακούει σε ακόμη πιο κλασσική μεθόδευση (λέμε στους μαθητές: αν σας βάλουν να υπολογίσετε ολοκλήρωμα ολοκληρώματος, τότε είναι πολύ πιθανό να γίνεται με παραγοντική γράφοντας (x)΄=1 ώστε να φύγει το μέσα ολοκλήρωμα). Χαρακτηριστικά, όπως συνάγεται από συζητήσεις με μαθητές μου είναι σίγουρο ότι οι περισσότεροι δεν θα έλυναν το Δ4 αν δεν το είχαμε επαναλάβει την προηγούμενη μέρα.
Αντίστοιχες παρατηρήσεις μπορούμε να κάνουμε για τα θέματα Δ4 του 2010, 4α του 2008, 3α του 2006 κ.λπ.
Καλή συνέχεια σε όλους τους μαθητές και συναδέλφους
Νομίζω πως και το Γ θεματάκι βοηθάει στο να ξεχωρίσουν κάποιοι από κάποιους.
Θεωρώ ότι ήταν απαιτητικό,κυρίως στη δικαιολόγηση του.


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 420
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

#47

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos75 » Τρί Μάιος 17, 2011 1:21 pm

Euler έγραψε:Η ύπαρξη των δυο ριζών στο ερώτημα Γ3 μπορεί να προκύψει και από το θεώρημα Bolzano στα διαστήματα [-2, 1], [1, 2]
για τη συνάρτηση g\left( x \right) = 2e^x  - xe^x  - 1
Αυτή τη λύση έδωσα και εγώ όταν έλυσα τα θέματα! Τα εν λόγω διαστήματα χρησιμοποίησα
και βεβαίως αμέσως μετά πήρα και την μονοτονία της εν λόγω συνάρτησης για να αποδείξω και
την μοναδικότητα των δύο λύσεων αυτών και κατά συνέπεια την μοναδικότητα των δύο αυτών
σημείων καμπής!!! Είναι σημαντικό αυτό να το αναφέρουμε διότι η εκφώνηση έγραφε για ακριβώς
δύο σημεία καμπής, με τον Bolzano εξασφαλίζαμε ένα τουλάχιστον σε κάθε διάστημα! Η μονοτονία
της άνωθεν συνάρτησης μας έβγαζε από αυτές δυσκολίες!!! Νομίζω και εγώ ότι αυτό ήταν πιο σύντομο
και σου εξασφάλιζε λίγο χρόνο που θα σου χρειαζότανε οπωσδήποτε στα επόμενα ερωτήματα που θα
ακολουθούσαν την ροή των απαντήσεων που θα έδινε κάποιος υποψήφιος! Οφείλω να τονίσω όμως
ότι δεν διέκρινες εύκολα τα υποδιαστήματα που έπρεπε να κινηθείς για να εφαρμόσεις Bolzano αλλά
έφτανες ως εκεί και έπαιζες λίγο με τις τιμές τις συνάρτησης, ενδεχομένως να τα έβρισκες...!
chris_gatos έγραψε:
michelm έγραψε: Νομίζω πως και το Γ θεματάκι βοηθάει στο να ξεχωρίσουν κάποιοι από κάποιους.
Θεωρώ ότι ήταν απαιτητικό,κυρίως στη δικαιολόγηση του.
Συντάσσομαι πλήρως με την άποψη-θέση σου! Τόσο το Γ1 όσο και το Γ3 ήταν
ιδιαιτέρως αξιόλογα θέματα!
Μπορούσε ένα παιδί διαβάζοντας το σχολικό βιβλίο και μη πηγαίνοντας φροντιστήριο να γραψει ένα αξιοπρεπή βαθμο?Ας αποφασίσουμε οι εξετάσεις είναι για όλουσ ή όχι.
Θα συμφωνήσω και εγώ, ένας υποψήφιος που απλά συμβουλευόταν το σχολικό βιβλίο ή από μόνος του προσπαθούσε
δεν θα μπορούσε επουδενί ή για να μην είμαι απόλυτος πολύ δύσκολα να διαπραγματευτεί τέτοιο υποερώτημα! Αυτό
όμως δεν συνέβαινε και με τις δέσμες ? ? ? Είμαι και εγώ παιδί των δεσμών όπως πολλοί φίλοι και νυν συνάδελφοι.
Έχουμε βιώσει και εμείς τον Λίβανο των πανελλαδικών. Δεν θέλω να επαναφέρω μνήμες που τότε ούτε 2,5 μονάδες από τις
20 που είχαν τα θέματα δεν ήταν η θεωρία...το θυμάται κανείς άραγε ? ? ?Η δυσκολία των θεμάτων ήταν άτακτα διασπαρμένη
μέσα στα θέματα και αν «σκόνταφτες» κάπου και κολλούσες, αντίο Μαθηματικά!!!!Έπρεπε εκτός από καλός λύτης και διαβασμένος μαθητής
να ήσουν και πολύ καλός στην διαχείριση χρόνου!!!Χαρακτηριστικά θυμάμαι ότι εγώ ξεκίνησα να λύνω από το Ζήτημα 3ο και μετά 4ο και μετά ό,τι μου έβγαινε πιο γρήγορα! Τουλάχιστον τώρα υπάρχει μία δομή,, λες ξεκινώ με το 5 και προχωρώ γνωρίζοντας ότι η δυσκολία ανεβαίνει από το Θέμα Β στο Γ και εν συνεχεία στο Δ!!!
Δεν αποτελεί αυτό άλλοθι βεβαίως αλλά...κάπως βρε παιδιά-συνάδελφοι δεν πρέπει να γίνει ο διαχωρισμός των υποψηφίων ? Με το να γράφει η πλειοψηφία από 90 ως 100 δεν νομίζω ότι αυτοί οι καλλίτεροι είναι οι επί της ουσίας καλλίτεροι...προσωπική γνώμη πάντα εκφράζω και ας μου επιτραπεί να το κάνω σεβόμενος πάντα τις όποιες δυσκολίες του μαθήματος και τις προσπάθειες καθώς και τα έξοδα που έχουν δαπανηθεί από κάποια οικογένεια επενδύοντας στον ανωτέρω στόχο...

Με σεβασμό
Χρήστος Λοΐζος
MSc Μαθηματικός
τελευταία επεξεργασία από Christos75 σε Τρί Μάιος 17, 2011 1:45 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Χρήστος Λοΐζος
michelm
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 22, 2009 4:17 pm

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

#48

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από michelm » Τρί Μάιος 17, 2011 1:27 pm

chris_gatos έγραψε:
michelm έγραψε:Γειά σας. Έχω πολύ καιρό να στείλω μήνυμα χωρίς αυτό να σημαίνει ότι δεν παρακολουθώ το σημαντικό έργο που συντελείται στο mathematica.
Αφορμή για την παρέμβασή μου είναι ένα θέμα που με απασχολεί παρατηρώντας το διαγώνισμα κατεύθυνσης. Τα ερωτήματα Δ1 (το μισό) και Δ4 χαρακτηρίζονται ως τα ερωτήματα που θα ξεχωρίσουν τον πολύ καλό από τον άριστο. Εδώ ακριβώς εγείρεται το θέμα: για να υπηρετήσουν το στόχο αυτό τα εν λόγω ερωτήματα θα πρέπει να χαρακτηρίζονται από πρωτοτυπία κ να απαιτούν μια «νέα» ενέργεια εκ μέρους του λύτη και όχι ανάκληση συγκεκριμένης μεθοδολογίας. ¨Όμως και τα δυο δεν έχουν αυτό το χαρακτηριστικό αφού:
► το Δ1 λύνεται με συγκεκριμένη μεθόδευση (λέμε στους μαθητές: πολλές φορές για να αποδείξουμε ότι f=g βολεύει να αποδείξουμε ότι η f-g είναι η μηδενική ή ότι η f/g είναι η μοναδιαία).
►το Δ4 υπακούει σε ακόμη πιο κλασσική μεθόδευση (λέμε στους μαθητές: αν σας βάλουν να υπολογίσετε ολοκλήρωμα ολοκληρώματος, τότε είναι πολύ πιθανό να γίνεται με παραγοντική γράφοντας (x)΄=1 ώστε να φύγει το μέσα ολοκλήρωμα). Χαρακτηριστικά, όπως συνάγεται από συζητήσεις με μαθητές μου είναι σίγουρο ότι οι περισσότεροι δεν θα έλυναν το Δ4 αν δεν το είχαμε επαναλάβει την προηγούμενη μέρα.
Αντίστοιχες παρατηρήσεις μπορούμε να κάνουμε για τα θέματα Δ4 του 2010, 4α του 2008, 3α του 2006 κ.λπ.
Καλή συνέχεια σε όλους τους μαθητές και συναδέλφους



Νομίζω πως και το Γ θεματάκι βοηθάει στο να ξεχωρίσουν κάποιοι από κάποιους.
Θεωρώ ότι ήταν απαιτητικό,κυρίως στη δικαιολόγηση του.


Σσυμφωνώ απόλυτα. το θέμα Γ υπηρετεί το στόχο της διάκρισης χωρίς να βασίζεται σε ειδικό τέχνασμα που ίσως κάποιος να το θυμάται ίσως όχι σε αντίθεση με το μισό Δ1 και το Δ4 όπως είπα πριν.
Και πόλι καλή συνέχεια σε όλους τους μαθητές και τους συναδέλφους


lamkos
Δημοσιεύσεις: 9
Εγγραφή: Τρί Αύγ 03, 2010 2:08 pm

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

#49

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lamkos » Τρί Μάιος 17, 2011 4:19 pm

Διάβασα όλες τις απαντήσεις στο θέμα και δεν πήρε το μάτι μου να έχει αναφερθεί ότι το Δ4 υπάρχει (λυμένο μάλιστα) στη σελίδα 578 (άσκηση 16.4) του βιβλίου του κ. Μπάμπη Στεργίου (Μαθηματικά Γ' Λυκείου Παράγωγος Ολοκλήρωμα 2ο τεύχος).


Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

#50

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Τρί Μάιος 17, 2011 4:34 pm

έχει αναφερθει
kost65 έγραψε:Το θέμα Δ4 ήταν γνωστό απο καιρό στη βιβλιογραφία.
Υπάρχει και στο βιβλίο (το μωβ) του οποίου ενας εκ των τριών συγγραφέων είναι και ο αγαπητός Μπάμπης. Ειναι λυμένο σελ. 578 , το θέμα 16.4.

Καλή ξεκούραση σε όλους
Αθανασιάδης Κώστας


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Άβαταρ μέλους
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

#51

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς » Τρί Μάιος 17, 2011 5:00 pm

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:έχει αναφερθει
kost65 έγραψε:Το θέμα Δ4 ήταν γνωστό απο καιρό στη βιβλιογραφία.
Υπάρχει και στο βιβλίο (το μωβ) του οποίου ενας εκ των τριών συγγραφέων είναι και ο αγαπητός Μπάμπης. Ειναι λυμένο σελ. 578 , το θέμα 16.4.

Καλή ξεκούραση σε όλους
Αθανασιάδης Κώστας

Καλησπέρα σε όλους σας.

Αν δείτε στο post viewtopic.php?f=55&t=6522&p=36799#p36799

σε διαγώνισμα του Χρήστου Καρδάση υπάρχει το φετεινό θέμα Δ4.

Μάλιστα το θέμα αυτό έχει και μια μικρή ιστορία, που ο Χρήστος την ξέρει, όπου τουλάχιστον ο μαθητής μου Απόστολος και ένα τμήμα ολόκληρο οφείλουν πολλά στον εκλεκτό μας φίλο και εξαίρετο άνθρωπο και συνάδελφο, Χρήστο.
Χρήστο για να χαρείς, σου μεταφέρω τις ευχαριστίες τουλάχιστον τριών μαθητών μου που τους βοήθησες από τη μακρινή Καβάλλα. Να είσαι καλά,
Θωμάς
τελευταία επεξεργασία από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς σε Τρί Μάιος 17, 2011 5:29 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1833
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

#52

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τρί Μάιος 17, 2011 5:08 pm

Ας δούμε τα εξής, ενδιαφέροντα από βαθμολογική άποψη:

1. Στο θέμα Δ, μαθητής αποδεικνύει το ερώτημα Δ2, χωρίς χρήση του Δ1, (υπάρχει τέτοια απόδειξη - το περιστατικό είναι πραγματικό) και στην συνέχεια έχει σαν άμεση συνέπεια την απόδειξη του Δ1.

Πως θα βαθμολογηθεί;

2. Στο θέμα Δ, μαθητής αποδεικνύει το ερώτημα Δ2, χωρίς χρήση του Δ1, έχοντας κάνει λάθη (το περιστατικό είναι πραγματικό), και στην συνέχεια έχει σαν άμεση συνέπεια την απόδειξη του Δ1.

Πως θα βαθμολογηθεί;

3. Στο θέμα Δ, μαθητής ζαβολιάρης, που εμείς δεν ξέρουμε ότι είναι τέτοιος και ωφείλουμε να μη σκεφτούμε τέτοιο πράγμα, προσπαθεί να αποδείξει το ερώτημα Δ2, χωρίς χρήση του Δ1, αλλά δεν του κάθεται η απόδειξη, και στην συνέχεια εκλαμβάνοντας ως αποδειχθέν το Δ2 έχει σαν άμεση συνέπεια την απόδειξη του Δ1.

Πως θα βαθμολογηθεί;

----------------------------
EDIT.
Γράφω την λύση, μιας και μου ζητήθηκε. Αποδεικνύουμε κατά τα γνωστά:

g'(x)=\frac{e^{2x}}{f(x)}, f'(x)=\frac{e^{2x}}{g(x)}

Aπό εδώ προκύπτει, ότι οι παράγωγοι των συναρτήσεων δεν μηδενίζονται (εύκολο), και παραγωγίζονται (εύκολο). Τότε:

f(x)=\frac{e^{2x}}{g'(x)}\Rightarrow f'(x)=\frac{2e^{2x}g(x)-e^{2x}g'(x)}{[g'(x)]^2}

οπότε

\frac{e^{2x}}{g(x)}=\frac{2e^{2x}g(x)-e^{2x}g'(x)}{[g'(x)]^2}\Rightarrow[g'(x)]^2= 2g(x)g'(x)-g(x)g''(x)

\Rightarrow [g'(x)]^2+g(x)g''(x)= 2g(x)g'(x)

\Rightarrow [g(x)g'(x)]'=[g^2(x)]'\Rightarrow g(x)g'(x)=g^2(x)+c

Τώρα, για x= 0, η σταθερά βγαίνει μηδέν (εύκολο) και στη συνέχεια το g(x), ως θετικό, διαγράφεται:

g'(x)=g(x)\Rightarrow g(x)=c'e^x

Για x=0 και η νέα στεθερά βγαίνει ένα, οπότε g(x)=e^x. Ομοίως, f(x)=e^x κ.λπ.
τελευταία επεξεργασία από rek2 σε Τρί Μάιος 17, 2011 6:40 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

#53

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Τρί Μάιος 17, 2011 5:43 pm

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε: Καλησπέρα σε όλους σας.

Αν δείτε στο post viewtopic.php?f=55&t=6522&p=36799#p36799

σε διαγώνισμα του Χρήστου Καρδάση υπάρχει το φετεινό θέμα Δ4.

Μάλιστα το θέμα αυτό έχει και μια μικρή ιστορία, που ο Χρήστος την ξέρει, όπου τουλάχιστον ο μαθητής μου Απόστολος και ένα τμήμα ολόκληρο οφείλουν πολλά στον εκλεκτό μας φίλο και εξαίρετο άνθρωπο και συνάδελφο, Χρήστο.
Χρήστο για να χαρείς, σου μεταφέρω τις ευχαριστίες τουλάχιστον τριών μαθητών μου που τους βοήθησες από τη μακρινή Καβάλλα. Να είσαι καλά,
Θωμάς
Θωμά εγώ του τα έλεγα πριν τα δω αναρτημένα!!! Χρήστο ευχαριστώ!

Μην ξεχνάμε όμως και αυτό viewtopic.php?f=55&t=14550&p=77200#p77200 ή αυτό viewtopic.php?f=55&t=14550&p=77200#p77200 που το ερώτημα (γ) (\mathop{\lim}\limits_{x\to-\infty} f(x) ) θα το δούμε σίγουρα στις επόμενες εξετάσεις !!!
Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Χρήστο όλα τα διαγωνίσματα σου μου αρέσουν, είναι πλήρης και εφάμιλλα με το πνεύμα το εξετάσεων, τα κρατάω σε ένα φάκελο με το όνομά σου!


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6853
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

#54

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Μάιος 17, 2011 6:20 pm

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε: Καλησπέρα σε όλους σας.

Αν δείτε στο post viewtopic.php?f=55&t=6522&p=36799#p36799

σε διαγώνισμα του Χρήστου Καρδάση υπάρχει το φετεινό θέμα Δ4.

Μάλιστα το θέμα αυτό έχει και μια μικρή ιστορία, που ο Χρήστος την ξέρει, όπου τουλάχιστον ο μαθητής μου Απόστολος και ένα τμήμα ολόκληρο οφείλουν πολλά στον εκλεκτό μας φίλο και εξαίρετο άνθρωπο και συνάδελφο, Χρήστο.
Χρήστο για να χαρείς, σου μεταφέρω τις ευχαριστίες τουλάχιστον τριών μαθητών μου που τους βοήθησες από τη μακρινή Καβάλλα. Να είσαι καλά,
Θωμάς
Θωμά εγώ του τα έλεγα πριν τα δω αναρτημένα!!! Χρήστο ευχαριστώ!

Μην ξεχνάμε όμως και αυτό viewtopic.php?f=55&t=14550&p=77200#p77200 ή αυτό viewtopic.php?f=55&t=14550&p=77200#p77200 που το ερώτημα (γ) (\mathop{\lim}\limits_{x\to-\infty} f(x) ) θα το δούμε σίγουρα στις επόμενες εξετάσεις !!!
Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Χρήστο όλα τα διαγωνίσματα σου μου αρέσουν, είναι πλήρης και εφάμιλλα με το πνεύμα το εξετάσεων, τα κρατάω σε ένα φάκελο με το όνομά σου!
Παιδιά όποιος δίδαξε εμβαδά,παραγοντική ολοκλήρωση και τη συνάρτηση ολοκλήρωμα,βοήθησε τους μαθητές του.
Όντως τα διαγωνίσματα του Χρήστου είναι πάρα πολύ ωραία.


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 704
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

#55

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ » Τρί Μάιος 17, 2011 6:22 pm

Ευκαιρία να επισημάνω μία διόρθωση στις λύσεις μου στο διαγώνισμα στο post
viewtopic.php?f=55&t=6522&p=36799#p36799

Στο 4d ( νεκροκεφαλή ) πρέπει να χρησιμοποιήσουμε εφαπτομένη στο 0 λόγω της διαφορετικής κυρτότητας για x>0 .

Το ίδιο 4ο θέμα το έβαλα και το 2010 (υπάρχει αναρτημένο) στο mathematica αλλά το άλλαξα φέτος :wallbash:


Χρήστος Καρδάσης
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

#56

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Τρί Μάιος 17, 2011 6:29 pm

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε: Το ίδιο 4ο θέμα το έβαλα και το 2010 (υπάρχει αναρτημένο) στο mathematica
... πολλά :clap2: :clap2: στο Χρήστο

... συνέχισε να έχεις ωραίες εμπνεύσεις


Φωτεινή Καλδή
kalafatis_kon
Δημοσιεύσεις: 133
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 19, 2009 8:49 pm

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

#57

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kalafatis_kon » Τρί Μάιος 17, 2011 6:34 pm

Συνάδελφοι θα κάνω ένα απλό ερώτημα, ειπώθηκε ότι τα θέματα κάλυπταν όλη την ύλη
της κατεύθυνσης της Γ΄ λυκείου και ρωτώ που μαθαίνουν οι μαθητές ότι υπάρχουν
ολοκληρώματα που δεν υπολογίζονται όπως ήταν το συγκεκριμένο που δινόνταν με την αρχική συνάρτηση F(χ) στο τέταρτο θέμα;
Εγώ έφτασα να το μάθω αυτό σε μεταπτυχιακό μάθημα....
Ένας μαθητής που θα έκανε φιλότιμες προσπάθειες με τις γνωστές μεθόδους ολοκλήρωσης να υπολογίσει το ολοκλήρωμα αυτό και έχασε πολύτιμο χρόνο, που
θα βρεί το δίκιο του; Αυτό έχει διδαχθεί να υπολογίζει με κάποιες μεθόδους ολοκληρώματα όχι με τεχνάσματα να βρίσκει εμβαδά για ολοκληρώματα που δεν υπολογίζονται (χωρίς έστω να γνωρίζει με κάποιο τρόπο ότι το ολοκλήρωμα αυτό δεν υπολογίζεται).
Και στο τέλος που εξετάζεται η ικανότητα αν κάποιος ξέρει να ολοκληρώνει;
Και σε καμία περίπτωση δεν υποστηρίζω ότι τα θέματα των εξετάσεων πρέπει να είναι μασημένη τροφή χωρίς έμπνευση και πρωτοτυπία
Και για να πώ και γω μια άποψη...
Πρέπει να ξεφύγουμε απο την λογική σε μια περιορισμένη ύλη να βρίσκουμε τεχνάσματα και κολπάκια για να ξεχωρίσουμε τους καλούς απο τους καλύτερους και ποιός συνάδελφος φροντιστής ή όχι τα έχει διδάξει αυτά και πόσο έχει πληρωθεί για αυτό.
Δόξα το θεό η επιστήμη μας είναι άπειρη και έχει τόσο πολλά και όμορφα (Γωμετρία) που είναι κρίμα να αναλωνόμαστε σε τόσο στενά πλαίσια.


Άβαταρ μέλους
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 704
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

#58

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ » Τρί Μάιος 17, 2011 6:38 pm

Φωτεινή έγραψε: :clap2: :clap2: στο Χρήστο

... συνέχισε να έχεις ωραίες εμπνεύσεις
Φωτεινή η συγκεκριμένη άσκηση προέκυψε από συνδυασμό δύο ή τριών ( δε θυμάμαι σίγουρα ) ασκήσεων , από τα επαναληπτικά θέματα του Μπαιλάκη και νομίζω και από βιβλίο του Μπάμπη Στεργίου .
Μακάρι να ήταν έμπνευση :coolspeak:


Χρήστος Καρδάσης
Άβαταρ μέλους
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 704
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

#59

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ » Τρί Μάιος 17, 2011 6:48 pm

kalafatis_kon έγραψε:
Πρέπει να ξεφύγουμε απο την λογική σε μια περιορισμένη ύλη να βρίσκουμε τεχνάσματα και κολπάκια για να ξεχωρίσουμε τους καλούς απο τους καλύτερους και ποιός συνάδελφος φροντιστής ή όχι τα έχει διδάξει αυτά και πόσο έχει πληρωθεί για αυτό.
Προσωπικά φίλε μου δεν θα άλλαζα την αναγνώριση από καταξιωμένους συναδέλφους ( έστω και για ένα εύστοχο διαγώνισμα ) για οποιαδήποτε πληρωμή ώρας .


Χρήστος Καρδάσης
userresu
Δημοσιεύσεις: 83
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 23, 2009 2:07 pm

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

#60

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από userresu » Τρί Μάιος 17, 2011 6:58 pm

Στο θέμα Δ3, είναι σωστό να θεωρήσουμε ότι το ζητούμενο όριο υπάρχει, αφού η εκφώνηση ζητάει μόνο την τιμή του;


Απάντηση

Επιστροφή σε “Πανελλήνιες Εξετάσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης