Θέλω να καταθέσω και εγώ την άποψή μου σε σχέση με τα θέματα Σωστό-Λάθος. Θεωρώ ότι υπάρχουν τρία θέματα. Αυτό της κατανόησης, αυτό της μαθηματικής ορθότητας και ένα τρίτο που θα το ονόμαζα «καλής μαθηματικής γραφής». Για όποιον βαριέται να διαβάσει το σεντόνι οι απόψεις μου έχουν γραφτεί με πιο σκούρο χρώμα οπότε μπορεί να τις διαβάσει μόνο αυτές.
Ας ξεκινήσουμε με την κατανόηση. Νομίζω ότι όλοι ξέρουμε τι ήθελαν να ζητήσουν οι εξεταστές. Το ερώτημα είναι αν αυτό που ήθελαν έχει επιτευχθεί. Ασφαλώς αν έγραφαν
«Για κάθε δυο συναρτήσεις
στο
![[a,b]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png "[a,b]")
με συνεχή παράγωγο ισχύει ότι
![\displaystyle{ \int_a^b f(x)g'(x) \, dx = [f(x)g(x)]_a^b + \int_a^b f'(x)g(x) \, dx.}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/afe01a3fc6d225a2116e9376b328e800.png "\displaystyle{ \int_a^b f(x)g'(x) \, dx = [f(x)g(x)]_a^b + \int_a^b f'(x)g(x) \, dx.}")
»
θα υπήρχε λιγότερος κίνδυνος να υπάρξει η οποιαδήποτε παρανόηση. (Ίσως και εδώ να υπάρχει μια ασάφεια για το τι γίνεται στην περίπτωση
.) Το ίδιο ισχύει και αν είχε εισαχθεί ο συμβολισμός
![C^1[a,b]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/c6433295757f100299ef03c2bac3316d.png "C^1[a,b]")
για το σύνολο των συνεχώς παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο
και γράφαμε
«
![\forall f.g \in C^1[a,b] (\int_a^b f(x)g'(x) \, dx = [f(x)g(x)]_a^b + \int_a^b f'(x)g(x) \, dx).](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/4be3efbdd7948caec3b627278949602c.png "\forall f.g \in C^1[a,b] (\int_a^b f(x)g'(x) \, dx = [f(x)g(x)]_a^b + \int_a^b f'(x)g(x) \, dx).")
»
Ισχυρίζομαι όμως πως και έτσι όπως γράφτηκε δεν υπάρχει θέμα μη κατανόησης. Έτσι εμφανίζονται τα θέματα Σωστό-Λάθος εδώ και χρόνια και όποιος καθηγητής δεν είπε στους μαθητές του ότι «Όταν τα γράφουν έτσι τότε ζητάνε αυτά» σημαίνει δεν έκανε καλά την δουλειά του. [Εδώ εξετάζω μόνο το θέμα της κατανόησης. Η μαθηματική ορθότητα θα εξεταστεί πιο κάτω.]
Θεωρώ λοιπόν πως δεν υπάρχει θέμα (μη) κατανόησης.
Πριν να εξετάσω το θέμα της ορθότητας θέλω να εξηγήσω τι εννοώ με καλή μαθηματική γραφή. Θα αφήσω για λίγο το Α4ε και θα πάω στο Α4δ. Το οποίο κατά την προσωπική μου άποψη είναι απαίσια γραμμένο. Όταν γράφουμε ένα μαθηματικό κείμενο δεν γράφουμε μόνο μαθηματικά σύμβολα. Το κείμενο απευθύνεται σε κάποιους ανθρώπους που μιλούν μια συγκεκριμένη γλώσσα και κάθε πρόταση (με την γλωσσολογική όχι την μαθηματική έννοια) πρέπει να έχει και ένα ελάχιστο αριθμό από τις λέξεις τις γλώσσας. Το
«Ισχύει ότι
για
.»
είναι αισθητικά πολύ καλύτερο από αυτό που έχει γραφτεί. Έτσι όπως έχει γραφτεί είναι επιτρεπτό να το γράφουμε και στον πίνακα αλλά στο χαρτί το θεωρώ απαράδεκτο. Το ίδιο ισχύει π.χ. και για την πρώτη γραμμή στο θέμα Γ. Δεν γράφουμε
«Δίνεται η συνάρτηση
»
αλλά
«Δίνεται η συνάρτηση
για
.»
ή
«Δίνεται η συνάρτηση
με τύπο
.»
Για τον ίδιο λόγο το
«
»
είναι το ίδιο απαράδεκτο. Μπορεί ακριβώς με την ίδια ερμηνεία να το γράψουμε με λόγια (όπως το έχω κάνει ήδη) και στο μαθηματικό κείμενο αυτό οφείλουμε να πράττουμε. Ακριβώς επειδή απευθυνόμαστε σε ανθρώπους και όχι σε μηχανές.
Θεωρώ λοιπόν πως στο θέμα της καλής μαθηματικής γραφής, τουλάχιστον για τα γούστα τα δικά μου, υπάρχει πρόβλημα τόσο στα θέματα Σωστό-Λάθος όσο και σε άλλα σημεία του γραπτού.
Πάμε λοιπόν και στο θέμα της μαθηματικής ορθότητας που είναι και το πιο σημαντικό. Κατ' αρχήν δεν μπορώ να βρω άδικο σε όσους λένε ότι έτσι όπως γράφονται είναι λανθασμένα αφού όντως είναι λανθασμένα. Αλλά υπάρχει ένα «αλλά». Αυτός ο τρόπος γραφής δεν εμφανίζεται μόνο στην Ελλάδα αλλά και σε πολλά μαθηματικά βιβλία στο εξωτερικό. Έχει παραθέσει αρκετά αποσπάσματα από τέτοια βιβλία ο Νίκος Μαυρογιάννης σε παλαιότερη συζήτηση. Τίθεται βέβαια το ερώτημα αν νομιμοποιούμαστε να το γράφουμε έτσι επειδή κάποιοι στα βιβλία τους αποφάσιζαν να τα γράφουν έτσι.
Ισχυρίζομαι ότι στον τρόπο που συνηθίσαμε να γράφουμε μαθηματικά έχουμε κάνει κάποιες συμβάσεις και κάποια πράγματα που δεν γράφονται συνήθως υπονοούνται. Τα πιο κλασικά τέτοια παραδείγματα είναι όταν ορίζουμε μια μαθηματική έννοια και όταν γράφουμε ένα θεώρημα. Π.χ. λέμε
«Λέμε ότι μια συνάρτηση
είναι συνεχής αν ...»
Αυτό είναι λανθασμένο. Το σωστό είναι να λέμε ότι
«Λέμε ότι μια συνάρτηση
είναι συνεχής αν και μόνο αν...»
Έτσι όμως έχουμε συνηθίσει να γράφουμε. Όταν ορίζουμε μια μαθηματική έννοια το «μόνο αν» που συνήθως παραλείπουμε υπονοείται. Έτσι και στα θεωρήματα. Συνηθίζουμε να γράφουμε
«Αν
συνεχής συνάρτηση τότε ...»
ενώ το σωστό θα ήταν να γράφουμε
«Για κάθε συνεχή συνάρτηση
...»
Αντιγράφω από το δοκίμιο του Paul Halmos στο βιβλίο "
How to write mathematics". Για όσους δεν γνωρίζουν ο Halmos έχει κερδίσει το βραβείο Steele της μαθηματικής εταιρείας της Αμερικής για «...τα πολλά μεταπτυχιακά βιβλία του στα μαθηματικά και για τα άρθρα του για το πως να γράφουμε, ομιλούμε και δημοσιεύουμε μαθηματικά.» Ας τον ακούσουμε λοιπόν.
<...> avoid the use of irrelevant symbols. Example: "On a compact-space every real-valued continuous function
is bounded." What does the symbol "
" contribute to the clarity of that statement? <...> What I am referring to here is what logicians would express by saying "leave no variable free". The best way to eliminate that particular "
" is to omit it; an occasionally preferable alternative is to convert it from free to bound. Most mathematicians would do that by saying "If
is a real-valued continuous function on a compact space then
is bounded." Some logicians would insist on pointing out that "
" is still free in the new sentence (twice) and technically they would be right. To make it bound it would be necessary to insert "for all
" at some grammatically appropriate point, but the customary way mathematicians handle the problem is to refer (tacitly) to the (tacit) convention that every sentence is preceded by all the universal quantifiers that are needed to convert all its variables into bound ones.
Προσθέτω μια δική μου μετάφραση.
<...> αποφεύγετε την χρήση άσχετων συμβόλων. Παράδειγμα: "Σε ένα συμπαγή χώρο κάθε πραγματική συνεχής συνάρτηση
είναι φραγμένη." Τι συνεισφέρει το σύμβολο "
" στη σαφήνεια της εν λόγω πρότασης; <...> Εδώ αναφέρομαι σε αυτό που μερικοί λογικολόγοι θα εξέφραζαν λέγοντας «μην αφήνετε καμία μεταβλητή ελεύθερη». Ο καλύτερος τρόπος για να εξαλειφθεί το συγκεκριμένο «
» είναι να το αποφεύγουμε. Μερικές φορές, μια προτιμότερη εναλλακτική λύση είναι να το μετατρέψουμε από ελεύθερο σε δεσμευμένο. Οι περισσότεροι μαθηματικοί θα το έκαναν αυτό λέγοντας «Αν η
είναι μια πραγματική συνεχής συνάρτηση σε ένα συμπαγή χώρο, τότε η
είναι φραγμένη.» Μερικοί λογικολόγοι θα επιμένουν να υποδεικνύουν ότι η «f» εξακολουθεί να είναι ελεύθερη στη νέα πρόταση (δύο φορές) και τεχνικά θα έχουν δίκιο. Για να γίνει δεσμευμένη θα ήταν απαραίτητο να προστεθεί «για κάθε
» σε κάποιο γραμματικώς κατάλληλο σημείο, αλλά ο συνήθης τρόπος που μαθηματικοί χειρίζονται το πρόβλημα είναι να αναφέρονται (σιωπηρά) στην (σιωπηρή) σύμβαση ότι πριν από κάθε πρόταση, προηγούνται όλοι οι καθολικοί ποσοδείκτες που απαιτούνται για να μετατρέψουν όλες τις μεταβλητές της σε δεσμευμένες.
Θεωρώ λοιπόν ότι αν και (πολύ) αυστηρά ομιλούντες τα θέματα Σωστό-Λάθος όπως συνηθίζεται να αναγράφονται είναι λανθασμένα, κατά την ισχύουσα σύμβαση μαθηματικής γραφής δεν πρέπει να τίθεται θέμα (μη) ορθότητάς τους.
------------------------
Μετά που τα έγραψα όλα αυτά θυμήθηκα ότι υπάρχει και ένα τέταρτο ζήτημα. Τι εξυπηρετούν στις εξετάσεις τα θέματα τύπου Σωστό-Λάθος; Κατά την προσωπική μου άποψη τίποτα.
Θεωρώ ότι όλα τα θέματα τύπου Σωστό-Λάθος στις εξετάσεις πρέπει να ζητάνε και την δικαιολόγηση της απάντησης. Κάθε σωστή απάντηση με καθόλου ή με λανθασμένη δικαιολόγηση πρέπει να βαθμολογείται με 0.
, χρησιμοποιώντας την τριγωνική ανισότητα
, στο οποίο δεν χρειαζόταν τίποτε άλλο. Για το 
βεβαίως και απαιτείτα αυτό που γράφεις ότι παρέλειψες.
και αριστερά της 
νομίζω πρέπει να πάρει το σύνολο των μονάδων." 'Εστω και ανορθόγραφα αυτό δεν σημαίνει "
. Το ότι βρίσκουμε ένα εμβαδόν μέσω ενός ορίου δεν είναι ασύνηθες: Και το εμβαδόν του κύκλου έτσι το βρίσκουμε. Το ασύνηθες είναι ότι το χωρίο δεν είναι φραγμένο.
μας δίνει ότι για 
είναι 
που μπορεί να οδηγησει σε μία ακόμη απάντηση (όχι την καλλίτερη) για το Δ2
). Αυτού του είδους η παρανοήσεις προκύπτουν από την χρήση περιγραφικής γλώσσας και ειδικά με το "περικλείεραι". Αν πάντως ένας μαθητής πάρει σαν εμβαδον ότιδήποτε ε΄΄ιναι πάνω από τον 
απευθύνεται σε μαθητές μιας τάξης του Γυμνασίου ή του Λυκείου, τότε δεν χρειάζεται καμία άλλη διευκρίνιση και ο μαθητής είναι υποχρεωμένος να απαντήσει ΣΩΣΤΟ
, ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ, εδώ νομίζω ότι απάντηση δεν μπορεί να δοθεί, εφόσον λείπει ο ποσοδείκτης.
και ύψος 
δίνεται από τον τύπο : 
. Σωστό ή Λάθος ;
ο τύπος γίνεται σωστός . Όμως υπάρχει πραγματικά θέμα κατανόησης του ερωτήματος ;
είναι το ύψος ή κάποια βάση. Οπότε γιατί να βάζαμε μια τέτοια ερώτηση που θα προκαλούσε σύγχιση; Όπως για παράδειγμα θα προκαλούσε σύγχιση και η ερώτηση αν το εμβαδόν τραπεζίου είναι
, χωρίς να αναφερόμασταν καθόλου στα σύμβολα.
