Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Επιτροπή Θεμάτων 14 · #1

Αγαπητές/τοί φίλες/οι

Στο θέμα αυτό αποκλειστικά θα συζητήσουμε τα θέματα των Μαθηματικών Γενικής Παιδείας.

Τα θέματα Γενικής παιδείας 2014:

them_mat_gen_c_hmer.pdf: (216.24 KiB) Μεταφορτώθηκε 816 φορές

Tolaso J Kos · #2

Με μία πρώτη ματιά , τα θέματα φαίνονται $\rm{normal}$ .
Δεν παρουσιάζουν κάποια ιδιαίτερη δυσκολία, οπότε κάποιος εύκολα γράφει το πολυπόθητο 100

.
Με εξέπληξε ιδιαίτερο το θέμα Δ.

Καλή επιτυχία στους διαγωνιζόμενους.

Christos75 · #3

Σε μία πολύ πρώτη και γρήγορη εκτίμηση, μου φαίνονται και εμένα τα φετινά θέματα να κινούνται σε μία λογική βάση. Δεν βλέπω κάτι το ακραίο ή το εκτός πνεύματος.
Νομίζω ότι τα θέματα είναι καλά δίχως αποκλίσεις όπως τα περσινά.

#4

Θέλω δημόσια να συγχαρώ την επιτροπή εξετάσεων για τα όμορφα, δίκαια και σωστά κατανεμημένα θέματα που εκ πρώτης όψεως βλέπω.

Είναι θέματα που προσωπικά νομίζω ότι ταιριάζουν για τα μαθηματικά γενικής παιδείας και χαίρομαι γι' αυτό! Χαίρομαι για τους συναδέλφους που αποτελούν την επιτροπή!

Είμαι σίγουρος ότι έτσι θα συνεχίσουν να είναι τα θέματα και για την κατεύθυνση τη Δευτέρα!

Αλέξανδρος Συγκελάκης

#5

Καλά θέματα χωρίς τις περσινές ακρότητες . Πιστεύω ότι θα έχουμε τις καλύτερες επιδόσεις της δεκαετίας .

#6

Αφού αποθάρρυναν τους μαθητές με τα περσινά θέματα , τώρα τους λένε να επιστρέψουν

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #7

Θεωρώ οτι τα θέματα είναι καλά - λογικά , και οι καλά προετοιμασμένοι με προσοχή στις αιτιολογήσεις μπορύν εύκολα να
γραψουν το 100.

Ελπίζω και σε ίδιας λογικής θέματα την Δευτέρα

Για τα Σ - Λ

(ι) - Σ
(ΙΙ) - Λ
(ΙΙΙ) - Λ
(IV) - Λ
(V) - Σ

S.E.Louridas · #8

Καλά θέματα με καθαρό Μαθηματικό και Διδακτικό στίγμα. Από ότι προσωπικά διαπίστωσα, ελήφθη σοβαρά υπ' όψη το πλαίσιο που διδάχτηκαν επαρκώς κατά τη διάρκεια της χρονιάς οι Μαθητές και αυτό είναι μία πολύ βασική παράμετρος που είμαι βέβαιος ότι θα ληφθεί υπ' όψη και την Δευτέρα.

#9

Προβληματική εκφώνηση στο Α4 το α)

#10

Θέμα Γ

Γ1) Η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη με f'(x)=12x^2-7x+1

$f'(x)=0 \Leftrightarrow 12x^2-7x+1=0 \Leftrightarrow (x=\dfrac{1}{3} \textnormal{\gr \ ή \ \en} x=\dfrac{1}{4})$

$f'(x)>0\Leftrightarrow x\in \left(-\infty,\dfrac{1}{4}\right)\cup\left(\dfrac{1}{3},+\infty\right)$ δηλαδή η

είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα $\left(-\infty,\dfrac{1}{4}\right]$ και $\left[\dfrac{1}{3},+\infty\right)$ .

$f'(x)<0\Leftrightarrow x\in \left(\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{3}\right)$ δηλαδή η

είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $\left[\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{3}\right]$ .

Συνεπώς η

παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο $x=\dfrac{1}{4}$ και τοπικό ελάχιστο στο $x=\dfrac{1}{3}$ .

Άρα αφού x_1<x_2

άρα $x_1=\dfrac{1}{4}$ και $x_2=\dfrac{1}{3}$

Συνεπώς $P(K)=\dfrac{1}{4}$ και $P(A)=\dfrac{1}{3}$ . Αν $\Omega$ είναι ο δειγματικός χώρος τότε $\Omega=K\cup A\cup \Pi$ . Άρα $\Pi= \left(A\cup K\right)'$ και επειδή τα ενδεχόμενα $K,A,\Pi$ είναι ασυμβίβαστα ανά δύο άρα
$\begin{aligned} P(\Pi) &= P\left(\left(A\cup K\right)'\right)=1-P(A\cup K) \\ &= 1-P(A)-P(K)=1-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{12}\end{aligned}$

Γ2) Είναι $\Gamma=A\cup K$ άρα από τον απλό προσθετικό νόμο έχουμε $P(A\cup K)= P(A)+P(K)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{12}$

Εάν η μπάλα που επιλέγεται δεν είναι ούτε κόκκινη ούτε άσπρη, είναι υποχρεωτικά πράσινη συνεπώς $\Delta=\Pi$ οπότε

$P(\Delta)=P(\Pi)=\dfrac{5}{12}$ .

Τέλος, ισχύει $E=A\cup \Pi' = A\cup\left(A\cup K)$ και επειδή $A\subseteq A\cup K$ άρα $A\cup (A\cup K)= A\cup K=\Gamma$

άρα $E=\Gamma$ οπότε $P(E)=P(\Gamma)=\dfrac{7}{12}$

Γ3) Αν $N(A), N(\Pi), N(\Omega)$ είναι το πλήθος των στοιχείων των ενδεχομένων $A,\Pi$ και του δειγματικού χώρου $\Omega$ αντίστοιχα τότε σύμφωνα με την εκφώνηση έχουμε $N(A)=N(\Pi)-4$ . Διαιρώντας την τελευταία με $N(\Omega)\neq 0$ παίρνουμε τελικά
$\begin{aligned} & P(A)=P(\Pi)-\dfrac{4}{N(\Omega)} \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{12}-\dfrac{4}{N(\Omega)} \\ &\Leftrightarrow \dfrac{4}{N(\Omega)} = \dfrac{1}{12} \Leftrightarrow N(\Omega)=48\end{aligned}$

Άρα το δοχείο περιέχει

μπάλες.

Θέμα Δ

Δ1) Αφού η περίμετρο $\Pi$ του ορθογωνίου της βάσης είναι $20 \ dm$ άρα αν

είναι η άλλη πλευρά του ορθογωνίου της βάσης έχουμε

2x+2y=20

δηλαδή

Συνεπώς επειδή έχουμε ένα ορθογώνιο με διαστάσεις x, y

(το κουτί είναι ανοικτό από πάνω),

ορθογώνια διαστάσεων

και

και δύο ορθογώνια διαστάσεων

και

, άρα η συνολική επιφάνεια του κουτιού ως συνάρτηση του

είναι

Η συνάρτηση E(x)

είναι παραγωγίσιμη με E'(x)=-2x+10

και ισχύει $E'(x)=0\Leftrightarrow x=5$ .

$E'(x)<0 \Leftrightarrow -2x+10<0\Leftrightarrow x>5$ συνεπώς η συνάρτηση E(x)

είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [5,10)

.

Επίσης $E'(x)>0\Leftrigharrow -2x+10>0\Leftrightarrow x<5$ συνεπώς η συνάρτηση E(x)

είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (0,5]

.

Άρα η συνάρτηση E(x)

παρουσιάζει μέγιστο για x=5

.

Διαφορετικά

Η συνάρτηση E(x)

είναι τριώνυμο δευτέρου βαθμού με $\alpha=-1<0$ άρα ως γνωστόν από τη θεωρία του τριωνύμου παρουσιάζει μέγιστο στη θέση $x=-\dfrac{\beta}{2\alpha}=-\dfrac{10}{2\cdot(-1)}=5$ .

Δ2) α) Είναι $2s^2-5s+2=0 \Leftrightarrow \left(s=2 \textnormal{\gr \ ή \ \en} s=\dfrac{1}{2}\right)$

Αν $s=\dfrac{1}{2}$ τότε $CV=\dfrac{s}{\overline{x}}=\dfrac{1}{16}<0.1$ άρα το δείγμα είναι ομοιογενές οπότε η τιμή $s=\dfrac{1}{2}$ απορρίπτεται.
Αν s=2

τότε $CV=\dfrac{s}{\overline{x}}=\dfrac{1}{4}>0.1$ άρα το δείγμα δεν είναι ομοιογενές οπότε η τιμή s=2

είναι δεκτή.

Άρα s=2

β) Αν συμβολίσουμε με $\overline{x^2}$ τη μέση τιμή των x_i^2

τότε από το δοσμένο τύπο έχουμε

$\begin{aligned}s^2 &= \dfrac{1}{\nu}\left\{\displaystyle\sum_{i=1}^{\nu}x_i^2-\dfrac{\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{\nu}x_i\right)^2}{\nu}\right\} \Leftrightarrow 4=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{15}x_i^2}{15}-\left(\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{15}x_i}{15}\right)^2 \\ &\Leftrightarrow 4=\overline{x^2} -\overline{x}^2 \Leftrightarrow \overline{x^2}=68\end{aligned}$ .

Άρα η ζητούμενη μέση τιμή των x_i^2

είναι $\overline{x^2}=68$

Δ3) Η συνάρτηση E(x)

είναι γνησίως φθίνουσα στο [5,10)

άρα αφού $5=x_1<x_2<\cdots < x_{15}=9$ άρα $125=E(5)=E(x_1)>E(x_2)>\cdots E(x_{15})=E(9)=109$

συνεπώς το εύρος των τιμών

είναι

δηλαδή

Όμως

$\begin{aligned} & E(x_i)=y_i>-4x_i+9R+1 \Leftrightarrow -x_i^2+10x_i+100>-4x_i+145 \\ &\Leftrightarrow x^2-14x+45<0 \Leftrightarrow x_i\in(5,9)\end{aligned}$

άρα τα μόνα σημεία A_i

που εξαιρούμε από το δειγματικό χώρο των

σημείων είναι τα A_1

και $A_{15}$ .

Συνεπώς $B=\left\{A_2,A_3,\cdots, A_{14}\right\}$ οπότε αν $N(B), N(\Omega)$ είναι το πλήθος των στοιχείων του

και το πλήθος των στοιχείων του δειγματικού χώρου $\Omega$ τότε N(B)=13

και $N(\Omega)=15$ άρα τελικά $P(B)=\dfrac{13}{15}$ .

Αλέξανδρος

thanasis kopadis · #11

Ωραία θέματα, με λογική διαβάθμιση!

nikolaos p. · #12

Πολύ καλά τα θέματα!

#13

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Προβληματική εκφώνηση στο Α4 το α)

Κώστα το ερώτημα το βλέπω μια χαρά! Είναι σχόλιο στο σχολικό βιβλίο (σελίδα 40, στο κάτω μέρος) διατυπωμένο αυτολεξεί. Μάλιστα συμφωνεί και με όσα υπάρχουν στην κατεύθυνση (αφού η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ολόκληρο το $(\alpha,\beta)$ άρα είναι συνεχής στο x_0

οπότε δεν τίθεται θέμα).

Αλέξανδρος

Christos.N · #14

Είδαμε μαθηματικά γενικής παιδείας μετά από πολλά χρόνια, πολύ ωραία θέματα που κρίνουν σωστά το συγκεκριμένο μάθημα.

Μπράβο στην επιτροπή.

#15

cretanman έγραψε:
Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Προβληματική εκφώνηση στο Α4 το α)
Κώστα το ερώτημα το βλέπω μια χαρά! Είναι σχόλιο στο σχολικό βιβλίο (σελίδα 40, στο κάτω μέρος) διατυπωμένο αυτολεξεί. Μάλιστα συμφωνεί και με όσα υπάρχουν στην κατεύθυνση (αφού η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ολόκληρο το $(\alpha,\beta)$ άρα είναι συνεχής στο οπότε δεν τίθεται θέμα).

Αλέξανδρος

Το θέμα είναι πως το διαβάζουμε !!!
π.χ για τους μαθητές θετικής Τεχν
Αν η παράγωγος της f΄ έχει σταθερό πρόσημο έχει τα κοίλα άνω ή κάτω οπότε Λ.

#16

Δεν υπάρχει πρόβλημα ερμηνείας με το Α4α και θα εξηγήσω γιατί.

Κατ' αρχάς, το καλύτερο θα ήταν να διατυπωθεί ως «... και η παράγωγος

της

διατηρεί πρόσημο...» για να μην υπάρχει καμία αμφιβολία ερμηνείας. Ή τουλάχιστον η διατύπωση να ήταν «... και η παράγωγός της,

, διατηρεί πρόσημο...» Προσοχή στα κόμματα! Πάντως και όπως είναι δεν μπορεί να ερμηνευθεί διαφορετικά διότι υπάρχει διπλός τόνος στην λέξη «παράγωγος». Για να ερμηνευθεί διαφορετικά θα έπρεπε να λέει «... και η παράγωγος της

διατηρεί πρόσημο...»

th_petrop · #17

Καλά θεματάκια με διαβάθμιση.
Για το 20αρι θέλει καλή προετοιμασία.
Συμφωνώ για την ασάφεια στο Α4, μόλις το διάβασα πήγε το μυαλό μου στην f΄΄

#18

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:
cretanman έγραψε:
Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Προβληματική εκφώνηση στο Α4 το α)
Κώστα το ερώτημα το βλέπω μια χαρά! Είναι σχόλιο στο σχολικό βιβλίο (σελίδα 40, στο κάτω μέρος) διατυπωμένο αυτολεξεί. Μάλιστα συμφωνεί και με όσα υπάρχουν στην κατεύθυνση (αφού η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ολόκληρο το $(\alpha,\beta)$ άρα είναι συνεχής στο οπότε δεν τίθεται θέμα).

Αλέξανδρος
Το θέμα είναι πως το διαβάζουμε !!!
π.χ για τους μαθητές θετικής Τεχν
Αν η παράγωγος της f΄ έχει σταθερό πρόσημο έχει τα κοίλα άνω ή κάτω οπότε Λ.

Ας μη δημιουργούμε πρόβλημα από κει που δεν υπάρχει και αγχώνουμε τους μαθητές τζάμπα!

Καταλαβαίνω τι θες να πεις, όμως όταν τονίζουμε την τελική συλλαβή και γράφουμε "η παράγωγός της

" και όχι "η παράγωγος της

" τότε η λέξη αυτή αναφέρεται στο υποκείμενο δηλαδή στην "

".

Αλέξανδρος

Μιχάλης Μάγκος · #19

Ο διπλός τόνος '' παράγωγός της ...'' δεν αφήνει περιθώρια άλλης ερμηνείας

pastavr · #20

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:
cretanman έγραψε:
Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Προβληματική εκφώνηση στο Α4 το α)
Κώστα το ερώτημα το βλέπω μια χαρά! Είναι σχόλιο στο σχολικό βιβλίο (σελίδα 40, στο κάτω μέρος) διατυπωμένο αυτολεξεί. Μάλιστα συμφωνεί και με όσα υπάρχουν στην κατεύθυνση (αφού η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ολόκληρο το $(\alpha,\beta)$ άρα είναι συνεχής στο οπότε δεν τίθεται θέμα).

Αλέξανδρος
Το θέμα είναι πως το διαβάζουμε !!!
π.χ για τους μαθητές θετικής Τεχν
Αν η παράγωγος της f΄ έχει σταθερό πρόσημο έχει τα κοίλα άνω ή κάτω οπότε Λ.

Συγνώμη που επεμβαίνω αλλά δεν πολυκατάλαβα και ένας μαθητής θετικής ή τεχνολογικής κατεύθυνσης σύμφωνα με το θεώρημα του σχολικού βιβλίου σελιδα 262 σωστό δεν θα απαντούσε ;

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Μέλη σε σύνδεση