Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
-
- Δημοσιεύσεις: 28
- Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2016 9:41 am
Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Αγαπητές/τοί φίλες/οι
Στο θέμα αυτό θα αναρτηθούν (αμέσως μόλις δημοσιευθούν στη σελίδα του Υπουργείου) και, αποκλειστικά, θα λυθούν τα θέματα των Μαθηματικών προσανατολισμού 2019 των Ημερησίων ΓΕΛ. Επομένως σχολιασμοί-κριτική επί της δυσκολίας κ.λ.π. των θεμάτων θα απομακρύνονται από αυτήν την συζήτηση. Μπορούν να γίνουν στο Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2019
Edit: Tην πρώτη έκδοση του Δελτίου Λύσεων από το mathematica.gr μπορείτε να τη βρείτε στο σύνδεσμο http://www.mathematica.gr/math_prosan_gel_2019.pdf
Στο θέμα αυτό θα αναρτηθούν (αμέσως μόλις δημοσιευθούν στη σελίδα του Υπουργείου) και, αποκλειστικά, θα λυθούν τα θέματα των Μαθηματικών προσανατολισμού 2019 των Ημερησίων ΓΕΛ. Επομένως σχολιασμοί-κριτική επί της δυσκολίας κ.λ.π. των θεμάτων θα απομακρύνονται από αυτήν την συζήτηση. Μπορούν να γίνουν στο Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2019
Edit: Tην πρώτη έκδοση του Δελτίου Λύσεων από το mathematica.gr μπορείτε να τη βρείτε στο σύνδεσμο http://www.mathematica.gr/math_prosan_gel_2019.pdf
Λέξεις Κλειδιά:
- Πρωτοπαπάς Λευτέρης
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 2937
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
- Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Τα θέματα...
- Συνημμένα
-
- them_math_c_hmer_190610.pdf
- (295.08 KiB) Μεταφορτώθηκε 775 φορές
Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
τα θέματα σε word
- Συνημμένα
-
- ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2019 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ.docx
- (108.32 KiB) Μεταφορτώθηκε 454 φορές
Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Γράφω εδώ τη λύση του Δ θέματος όπως την έκανα στο σχολείο στο οποίο είμαι μέλος της Λυκειακής Επιτροπής. Εύχομαι καλή επιτυχία σε όσους εμπλέκονται στη διαδικασία εξετάσεων (μαθητές, επιτηρητές, βαθμολογητές, μέλη επιτροπών).
Θέμα Δ
Δ1) Πρέπει
Η είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο
Συνεπώς και .
Έτσι είναι και
Δ2) Θεωρούμε τη συνάρτηση
ή
(διότι που ισχύει. Η ισότητα ισχύει μόνο για )
Συνεπώς η συνάρτηση είναι μη αρνητική στο .
Άρα το ζητούμενο εμβαδό είναι ίσο με
Δ3) i) Η είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο
με ισότητα μόνο για αφού το τριώνυμο έχει αρνητική διακρίνουσα άρα είναι πάντοτε θετικό.
Συνεπώς η είναι γνησίως φθίνουσα στο και γνησίως αύξουσα στο οπότε παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το . Άρα για κάθε με την ισότητα να ισχύει μόνο για και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
ii) Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο με την ισότητα να ισχύει μόνο για (λόγω του ερωτήματος Δ3i). Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο . Η προς απόδειξη ανισότητα γράφεται:
που ισχύει για κάθε .
Δ4) Έστω και τα σημεία επαφής της κοινής εφαπτομένης με την και αντίστοιχα. Τότε οι εξισώσεις εφαπτομένων σε αυτά είναι:
Αυτές πρέπει να ταυτίζονται άρα:
Όμως λόγω του Δ3i έχουμε με ισότητα για .
Επίσης και φανερά ισχύει με ισότητα για .
Άρα για να ισχύει η πρέπει δηλαδή και λύσεις που επαληθεύουν και τη σχέση .
Άρα οι έχουν μία μόνο κοινή εφαπτομένη η οποία εφάπτεται της στο και της στο σημείο . Η κοινή εξίσωση εφαπτομένης είναι .
Αλέξανδρος
Θέμα Δ
Δ1) Πρέπει
Η είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο
Συνεπώς και .
Έτσι είναι και
Δ2) Θεωρούμε τη συνάρτηση
ή
(διότι που ισχύει. Η ισότητα ισχύει μόνο για )
Συνεπώς η συνάρτηση είναι μη αρνητική στο .
Άρα το ζητούμενο εμβαδό είναι ίσο με
Δ3) i) Η είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο
με ισότητα μόνο για αφού το τριώνυμο έχει αρνητική διακρίνουσα άρα είναι πάντοτε θετικό.
Συνεπώς η είναι γνησίως φθίνουσα στο και γνησίως αύξουσα στο οπότε παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το . Άρα για κάθε με την ισότητα να ισχύει μόνο για και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
ii) Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο με την ισότητα να ισχύει μόνο για (λόγω του ερωτήματος Δ3i). Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο . Η προς απόδειξη ανισότητα γράφεται:
που ισχύει για κάθε .
Δ4) Έστω και τα σημεία επαφής της κοινής εφαπτομένης με την και αντίστοιχα. Τότε οι εξισώσεις εφαπτομένων σε αυτά είναι:
Αυτές πρέπει να ταυτίζονται άρα:
Όμως λόγω του Δ3i έχουμε με ισότητα για .
Επίσης και φανερά ισχύει με ισότητα για .
Άρα για να ισχύει η πρέπει δηλαδή και λύσεις που επαληθεύουν και τη σχέση .
Άρα οι έχουν μία μόνο κοινή εφαπτομένη η οποία εφάπτεται της στο και της στο σημείο . Η κοινή εξίσωση εφαπτομένης είναι .
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Αλέξανδρε,
για το Δ3 ii, μια άλλη λύση είναι με εφαρμογή του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα
για το Δ4, φτάνει να παρατηρήσουμε ότι με το ίσον να ισχύει μόνο στο και με το ίσον να ισχύει μόνο στο . Έτσι, οι γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων μπορούν να έχουν μοναδική κοινή εφαπτομένη την ευθεία , η οποία εφάπτεται στην στο και στην στο .
Κώστας.
Υ.Γ.: Πολύ καλά θέματα!
για το Δ3 ii, μια άλλη λύση είναι με εφαρμογή του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα
για το Δ4, φτάνει να παρατηρήσουμε ότι με το ίσον να ισχύει μόνο στο και με το ίσον να ισχύει μόνο στο . Έτσι, οι γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων μπορούν να έχουν μοναδική κοινή εφαπτομένη την ευθεία , η οποία εφάπτεται στην στο και στην στο .
Κώστας.
Υ.Γ.: Πολύ καλά θέματα!
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Δ3i)
Είναι
γιατί ο λογάριθμος είναι μη αρνητικός και το κλάσμα επίσης.
Είναι
γιατί ο λογάριθμος είναι μη αρνητικός και το κλάσμα επίσης.
Μάγκος Θάνος
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Αυτό ήμουν έτοιμος να γράψω τώρα που τα ξανακοιτούσα!
Αλέξανδρος Συγκελάκης
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Σωστά Κώστα! Στο Δ4 απλά ακολούθησα τα βήματα που ενδεχομένως να δούμε από όσους μαθητές προσπαθήσουν να το λύσουν. Αφού βρουν τα σημεία επαφής με τον τρόπο που ανέφερες χρειάζεται αμέσως μετά να βρουν και την εφαπτομένη της (της την έχουν ήδη από την αρχή) στο σημείο και να πιστοποιήσουν ότι πράγματι είναι αυτή και όχι κάποια παράλληλή της.abgd έγραψε: ↑Δευ Ιουν 10, 2019 10:54 amΑλέξανδρε,
για το Δ3 ii, μια άλλη λύση είναι με εφαρμογή του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα
για το Δ4, φτάνει να παρατηρήσουμε ότι με το ίσον να ισχύει μόνο στο και με το ίσον να ισχύει μόνο στο . Έτσι, οι γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων μπορούν να έχουν μοναδική κοινή εφαπτομένη την ευθεία , η οποία εφάπτεται στην στο και στην στο .
Κώστας.
Υ.Γ.: Πολύ καλά θέματα!
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Για το Γ3ii
Για είναι άρα η εξίσωση γίνεται .
Όμως για επειδή η είναι γνησίως αύξουσα παίρνουμε δηλαδή Όμως το είναι αρνητικό όπως έχει ήδη αποδειχθεί συνεπώς η εξίσωση είναι αδύνατη (πρώτο μέλος θετικό, 2ο μέλος αρνητικό).
Αλέξανδρος
Για είναι άρα η εξίσωση γίνεται .
Όμως για επειδή η είναι γνησίως αύξουσα παίρνουμε δηλαδή Όμως το είναι αρνητικό όπως έχει ήδη αποδειχθεί συνεπώς η εξίσωση είναι αδύνατη (πρώτο μέλος θετικό, 2ο μέλος αρνητικό).
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Όσον αφορά το Α1.βii θεωρώ πως, όπως κι όταν ορίζουμε οιαδήποτε συνάρτηση, χρειαζόμαστε:
Έστω αντιστρέψιμη συνάρτηση . Ορίζουμε ως αντίστροφη της την συνάρτηση :
Την συνάρτηση αυτή την συμβολίζουμε .
- απαραιτήτως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και τον τύπο της και
- δευτερευόντως την απόδειξη ύπαρξής της, το σύνολο τιμών της και επιπλέον ιδιότητές της.
Έστω αντιστρέψιμη συνάρτηση . Ορίζουμε ως αντίστροφη της την συνάρτηση :
- της οποίας το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο τιμών της ,
- για την οποία ισχύει η ισοδυναμία για κάθε και .
Την συνάρτηση αυτή την συμβολίζουμε .
- Έστω . Αφού η είναι 1-1, θα υπάρχει μοναδικό τ.ω. . Άρα η ισοδυναμία , βάσει της οποίας αντιστοιχίζεται κάθε σε κάποιο , ορίζει μια συνάρτηση .
- το σύνολο τιμών της είναι το πεδίο ορισμού της .
- Για κάθε ισχύει . Για κάθε ισχύει .
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1742
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
ΘΕΜΑ Α
A1. α)Ορισμός , σχολικό βιβλίο, σελ. 15
β) i. Όταν είναι στο ( Σχολικό σελ 35)
ii. Αν είναι το σύνολο τιμών της τότε η αντίστροφη είναι η με την οποία κάθε αντιστοιχίζεται στο μοναδικό για το οποίο ισχύει
Α2. Θεώρημα , σχολικό βιβλίο , σελ 142
A3. Απόδειξη , σχολικό βιβλίο σελ. 135
Α4. α) Λάθος
Έστω η συνάρτηση με τύπο
Τότε ισχύει για κάθε , αλλά η δεν είναι σταθερή αφού παίρνει δυο διαφορετικές τιμές
β) Λάθος
Έστω η συνάρτηση με τύπο
Τότε , ενώ
Α5. γ
A1. α)Ορισμός , σχολικό βιβλίο, σελ. 15
β) i. Όταν είναι στο ( Σχολικό σελ 35)
ii. Αν είναι το σύνολο τιμών της τότε η αντίστροφη είναι η με την οποία κάθε αντιστοιχίζεται στο μοναδικό για το οποίο ισχύει
Α2. Θεώρημα , σχολικό βιβλίο , σελ 142
A3. Απόδειξη , σχολικό βιβλίο σελ. 135
Α4. α) Λάθος
Έστω η συνάρτηση με τύπο
Τότε ισχύει για κάθε , αλλά η δεν είναι σταθερή αφού παίρνει δυο διαφορετικές τιμές
β) Λάθος
Έστω η συνάρτηση με τύπο
Τότε , ενώ
Α5. γ
Kαλαθάκης Γιώργης
-
- Δημοσιεύσεις: 8
- Εγγραφή: Πέμ Οκτ 08, 2015 3:29 pm
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Για το Α4) το β) αν κάποιος απαντούσε:
"Λάθος, διότι πρέπει η f να ειναι συνεχής στο x0 (και υπάρχουν μη-συνεχείς συναρτήσεις σε κάποιο σημείο)." δεν θα ήταν επισης σωστή η απαντηση του χωρίς να δώσει αντιπαράδειγμα?
Η παρένθεση ειναι δικιά μου. Θα ηταν σωστή λοιπόν η παραπάνω απάντηση στο Α4) β) :
α)Χωρίς την παρένθεση?
β)Με την παρένθεση?
"Λάθος, διότι πρέπει η f να ειναι συνεχής στο x0 (και υπάρχουν μη-συνεχείς συναρτήσεις σε κάποιο σημείο)." δεν θα ήταν επισης σωστή η απαντηση του χωρίς να δώσει αντιπαράδειγμα?
Η παρένθεση ειναι δικιά μου. Θα ηταν σωστή λοιπόν η παραπάνω απάντηση στο Α4) β) :
α)Χωρίς την παρένθεση?
β)Με την παρένθεση?
-
- Δημοσιεύσεις: 148
- Εγγραφή: Πέμ Ιουν 03, 2010 2:43 pm
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Για το Δ3ii
Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα
άρα υπάρχει k ώστε =.
Απο το Δ3i έχουμε οπότε άρα
Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα
άρα υπάρχει k ώστε =.
Απο το Δ3i έχουμε οπότε άρα
τελευταία επεξεργασία από ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ σε Δευ Ιουν 10, 2019 3:35 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1742
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Β4. Η γραφική παράσταση
- Συνημμένα
-
- graph.png (24.15 KiB) Προβλήθηκε 9363 φορές
Kαλαθάκης Γιώργης
-
- Δημοσιεύσεις: 148
- Εγγραφή: Πέμ Ιουν 03, 2010 2:43 pm
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Για το Γ3,ii
για και
επομένως . Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη στο
Υ.Γ. Ωραία θέματα μέσα στα πλαίσια του σχολικού βιβλίου . Μπράβο στην επιτροπή.
για και
επομένως . Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη στο
Υ.Γ. Ωραία θέματα μέσα στα πλαίσια του σχολικού βιβλίου . Μπράβο στην επιτροπή.
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Για το Γ3ii
Για έχουμε:
Άρα η εξίσωση , είναι αδύνατη στο .
Για το Δ2, η πρώτη μου σκέψη και όχι η πιο απλή όπως είδα σε άλλες λύσεις
Για και είναι και .
Ακόμη, για κάθε , άρα η είναι κυρτή στο .
Οπότε η βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της στο . Δηλαδή ισχύει:
, για κάθε , με την ισότητα να ισχύει μόνο για .
Επομένως για το ζητούμενο εμβαδόν έχουμε:
Για έχουμε:
Άρα η εξίσωση , είναι αδύνατη στο .
Για το Δ2, η πρώτη μου σκέψη και όχι η πιο απλή όπως είδα σε άλλες λύσεις
Για και είναι και .
Ακόμη, για κάθε , άρα η είναι κυρτή στο .
Οπότε η βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της στο . Δηλαδή ισχύει:
, για κάθε , με την ισότητα να ισχύει μόνο για .
Επομένως για το ζητούμενο εμβαδόν έχουμε:
Παντούλας Περικλής
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Δ3ii)
Η Ζητούμενη εξίσωση :
γίνεται :
Η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, οπότε για
Έστω η συνάρτηση
H h είναι συνεχής στο
Η h είναι γνησίως αύξουσα και επομένως το σύνολο τιμών της είναι:
Δηλαδή δεν υπάρχει
τέτοιο ώστε
Τελικά η εξίσωση
είναι αδύνατη στο .
Η Ζητούμενη εξίσωση :
γίνεται :
Η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, οπότε για
Έστω η συνάρτηση
H h είναι συνεχής στο
Η h είναι γνησίως αύξουσα και επομένως το σύνολο τιμών της είναι:
Δηλαδή δεν υπάρχει
τέτοιο ώστε
Τελικά η εξίσωση
είναι αδύνατη στο .
τελευταία επεξεργασία από 1=object? σε Δευ Ιουν 10, 2019 9:48 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
GeorgeTS23 έγραψε: ↑Δευ Ιουν 10, 2019 12:19 pmΓια το Α4) το β) αν κάποιος απαντούσε:
"Λάθος, διότι πρέπει η f να ειναι συνεχής στο x0 (και υπάρχουν μη-συνεχείς συναρτήσεις σε κάποιο σημείο)." δεν θα ήταν επισης σωστή η απαντηση του χωρίς να δώσει αντιπαράδειγμα?
Η παρένθεση ειναι δικιά μου. Θα ηταν σωστή λοιπόν η παραπάνω απάντηση στο Α4) β) :
α)Χωρίς την παρένθεση?
β)Με την παρένθεση?
Ακόμη και με την παρένθεση δεν είναι εντελώς σωστό. Θα έπρεπε να λέει « υπάρχουν μη-συνεχείς συναρτήσεις σε κάποιο σημείο στο οποίο όμως αυτές οι συναρτήσεις έχουν όριο». Ακόμη και με αυτό σηκώνει συζήτηση αν θα έπρεπε να δοθούν όλες οι μονάδες ή όχι.
-
- Δημοσιεύσεις: 360
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Καλησπέρα .
Για το ολοκλήρωμα που εμφανίζεται στο εμβαδόν του Δ2 θα μπορούσαμε και το εξής :
.
Θέτω . Επίσης
και για .
Συνεπώς έχουμε
.
Εύχομαι, ολόψυχα, σε όλους όσους συμμετέχουν στις Πανελλήνιες: Καλή Επιτυχία!
Και ειδικά στους μαθητές , Καλή Συνέχεια ! ...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Για το ολοκλήρωμα που εμφανίζεται στο εμβαδόν του Δ2 θα μπορούσαμε και το εξής :
.
Θέτω . Επίσης
και για .
Συνεπώς έχουμε
.
Εύχομαι, ολόψυχα, σε όλους όσους συμμετέχουν στις Πανελλήνιες: Καλή Επιτυχία!
Και ειδικά στους μαθητές , Καλή Συνέχεια ! ...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2019 (Θέματα & Λύσεις)
Mια ερωτηση στο Γ3ii
Μπορουμε να πουμε αρα ή και να πω αδυνατο αφου
Μπορουμε να πουμε αρα ή και να πω αδυνατο αφου
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 12 επισκέπτες