Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2019

themata · #21

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 10, 2019 4:08 pm
ΥΓ. Και μία ερώτηση. Τι σημαίνει πρόχειρη γραφική παράσταση; Ποια κριτήρια πρέπει να ικανοποιεί η πρόχειρη γραφική παράσταση για να πάρει 6 μονάδες;

αυτό το ερώτημα αφήνει όντως ερωτηματικά ως προς το πρόχειρη και τον καταμερισμό των 6 μονάδων

polydeykhs · #22

Θα συμφωνούσα ότι ήταν ωραία θέματα (που είναι σε γενικές γραμμές), αν δεν υπήρχε παντελής έλλειψη τριγωνομετρικών συναρτήσεων και πολύ εύκολη Γεωμετρία. Ήταν μια (τελευταία;)ευκαιρία να αναδειχθεί περισσότερο η Γεωμετρία και η Τριγωνομετρία Β Λυκείου.

Κώστας Μαλλιάκας · #23

Και εγώ θεωρώ πολύ καλά τα φετινά θέματα, ειδικά η ποικιλία στο 1ο θέμα που επιτέλους ζητήθηκε αιτιολογηση στις προτάσεις , επιλογή αυτουσιας ερώτησης κατανόησης από το σχολικό στα ολοκληρωματα .Υπήρχε και δυνατότητα εναλλακτικών λύσεων. .Συμφωνώ και εγώ πως η πρόχειρη γραφική παράσταση μπορούσε να προσεχθεί περισσότερο και με κάποιο τρόπο να ζητούσαν και την καταγραφή της συμμετρίας ή και του σημείου τομης με τη διχοτομο που εμφανιζόταν στο Β2. .. Επίσης νομίζω πως η διατύπωση στο Γ4 έχει κάποιες ατέλειες ειδικά στο σημείο Κ που δεν είναι ξεκάθαρο για όλα τα παιδιά ότι είναι η προβολή του Μ στον οριζόντιο άξονα και όχι τυχαίο. .. Πάντως θεωρώ ότι αξίζουν συγχαρητήρια στην επιτροπή και να μην περιμένουμε να ικανοποιηθουν και όλων μας τα γούστα. ...

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #24

Τα θέματα δεν τρόμαζαν. Όλοι, άλλος λιγότερο, άλλος περισσότερο, μπορούσαν να γράψουν ανάλογα με τις γνώσεις τους και το διάβασμά τους. Οι βαθμολογίες θα δείξουν αν ήταν και πόσο , επιτυχημένα. Προσωπικά μου άρεσαν κι ας μη περιείχαν τα πάντα. Εξ άλλου αν περιείχαν κι αυτό κι εκείνο και το άλλο, τα παιδιά θα έγραφαν ακόμη.

ykerasar · #25

ανεκτά

#26

Και του χρόνου !

Δυο λόγια μόνο για να προσθέτουμε και κάτι χρήσιμο κάθε χρόνο :

Υπήρχαν πολύ καλά και εύστοχα ερωτήματα, κυρίως τα δύσκολα , υπήρχαν όμως και μερικά,

λίγα ευτυχώς , τελείως άστοχα (για τυπικούς λόγους)

και εκτός διδακτικών στόχων του μαθήματος(σε αυτό την ευθύνη την έχουν οι πρόεδροι των επιτροπών ) !

Μια επιτροπή όπως αυτή, με ικανότητες ομολογουμένως , θα μπορούσε να τα αποφύγει και να αποτελέσει

πρότυπο για τις επιτροπές του μέλλοντος.

Ας μείνουμε ωστόσο στα πολλά θετικά σημεία και ας αφήσουμε τα άλλα, τα πολύ λίγα, να τα συζητήσουμε

ήρεμα μετά τη διόρθωση.

Καλή δύναμη στους βαθμολογητές και τους συντονιστές που θα επιτελέσουν γιγάντιο έργο τις μέρες

που ακολουθούν !

Καλή συνέχεια στους μαθητές και καλά αποτελέσματα !

S.E.Louridas · #27

Ο Θεματοδότης φαίνεται καθαρά ότι ξέρει γράμματα.
Άρτια από Μαθηματικής άποψης θέματα που ναι απομονώνουν σιγά-σιγά την Αριστεία χωρίς ταξικό προς αυτή προσανατολισμό.
Δίνουν και στους άλλους σοβαρές ευκαιρίες. Και τι δεν θα έδινα να "γνώριζα" τον θεματοδότη, ... .
Άραγε ποιος θα μπορούσε να πει κακό λόγο για αυτόν; ... Μα ... κανένας.
Η ποιότητα δεν έχει να φοβηθεί τίποτα.

pana1333 · #28

Καλησπέρα. Αρχικά εύχομαι επιτυχία και καλή συνέχεια σε όλους τους μαθητές.

Θα ήθελα να αναφερθώ σε 3-4 πράγματα.... δεν έχουν στόχο τη φετινή επιτροπή, είναι παρατηρήσεις - ενστάσεις που με απασχολούν γενικά.

1) Όσον αφορά το Α θέμα

Γενικά θεωρώ πως το Α θέμα με τη μορφή του τα προηγούμενα χρόνια, δεν εξέταζε ουσιαστικά αν ο μαθητής έχει κατανοήσει τη θεωρία και τα τελευταία τρία χρόνια έχει γίνει ακόμα χειρότερο, αφού πλέον οι μαθητές κάθονται δυστυχώς και αποστηθίζουν τύπους συναρτήσεων (και του χρόνου και γραφικές παραστάσεις) για αντιπαράδειγματα. Νομίζω το θέμα της θεωρίας θα πρέπει να αλλάξει ριζικά τα επόμενα χρόνια.

Τώρα για το φετινό Α θέμα έχω να σχολιάσω τα εξής

Α1. α. έπεσε και πέρυσι (2017-2018) στις επαναληπτικές. Επίσης είναι ένας ορισμός που εξετάζετε και στην Α λυκείου. Επομένως θεωρώ το θέμα κορεσμένο!

β. θεωρώ πως μπέρδεψε πολλούς μαθητές στο τι ακριβώς πρέπει να απαντήσουν. Είμαι επίσης της άποψης ότι θα πρέπει να εξετάζονται οι ορισμοί στο σχολικό που είναι σαφώς διατυπωμένοι π.χ ο ορισμός 1-1, ορισμός ασύμπτωτης κ.λ.π όπου αναφέρεται δηλαδή ότι είναι ορισμοί.

Α3. έπεσε και πρόπερσι (2016-2017).

Δεν λέω να μην πέφτουν θέματα που έχουν ξαναπέσει τόσο κοντά αλλά και λίγη πρωτοτυπία χρειάζεται.

Α4. Διαφωνώ τελείως με τη λογική των αντιπαραδειγμάτων όπως διατυπώνονται. Αν είναι λάθος 1 μονάδα και η επεξήγηση 3. Υπάρχει "υποψιασμένος" μαθητής που απάντησε Σωστό δηλαδή? Γιατί δεν δίνονται 4 μονάδες και η διατύπωση να λέει εξηγήστε γιατί είναι λάθος η πρόταση!!!

Επίσης αφού ουσιαστικά ζητείται αντιπαράδειγμα γιατί δεν διατυπώνεται με σαφήνεια η ερώτηση: δώστε ένα παράδειγμα συνάρτησης που να δικαιολογεί πως η "τάδε πρόταση" είναι λάθος 4 μονάδες. Ή στην περίπτωση που είναι σωστή να ζητείται απόδειξη. Αλλά μετά ουσιαστικά θα ζητείται και άλλη απόδειξη εκτός του Α3.

Όσον αφορά το β) θα ήθελα να ξέρω πραγματικά ποιος βαθμολογητής θα κόψει 3 μόρια σε κάποιον μαθητή που απάντησε: Σύμφωνα με το σχολικό μου βιβλίο αν μια συνάρτηση είναι συνεχής ισχύει η πρόταση αν δεν είναι δεν ισχύει. Αφού λοιπόν η συνάρτηση f δεν δίνεται συνεχής άρα η πρόταση είναι λάθος!!!! αλλά και για το α) δεν μπορεί να απαντήσει ο μαθητής ότι η πρόταση είναι λάθος διότι σύμφωνα με το σχολικό μου βιβλίο η πρόταση δεν ισχύει σε ένωση διαστημάτων; Αν ναι οκ απλά δεν ξέρω τι οδηγίες θα δοθούν στη βαθμολόγηση και κατά πόσο ο θεματοδότης πέτυχε το στόχο της ερώτησης του που ήταν το αντιπαράδειγμα ή όχι;

Α5. copy paste ερώτηση κατανόησης του σχολικού. Που βοηθάει αυτό; Στο να αποστηθίσουν οι μαθητές και τις ερωτήσεις κατανόησης αλλά και να λέμε τα θέματα ήταν από το σχολικό βιβλίο. Πουθενά αλλού.

Η θεωρία θα πρέπει να βοηθάει και να ενθαρρύνει όλους τους μαθητές και η συγκεκριμένη θεωρία δεν θεωρώ πως το έκανε.

2) Το Β4 πολύ απαιτητικό για θέμα Β αν θέλουμε να λέμε πως έχουμε καλή διαβάθμιση. Παρόλα αυτά είναι ένα θέμα που απαιτεί πολύ καλή γνώση άλγεβρας Β λυκείου η οποία δεν εξετάζεται στη Β λυκείου. Καταπληκτικό! Όσον αφορά το "πρόχειρη γραφική παράσταση" είναι τελείως υποκειμενικός όρος όσον αφορά τη διόρθωση.

3) Που πήγε "η μόδα" των θεμάτων της τριγωνομετρίας; ξαναγυρίσαμε στις δόλιες λογαριθμικές και εκθετικές.

4) 100% υπέρ να εξετάζονται βασικά όρια όπως και πολύ εύστοχα έγινε αλλά αν σκεφτεί κανείς τι μορφές διδάχθηκε και τι έλυσε ο μαθητής.....

Βασικά θέματα που θα πρέπει ως μαθηματική κοινότητα να μας απασχολούν....

*******Έτσι για την ιστορία.....ίσως είναι το μοναδικό "διαγώνισμα" χωρίς πίνακα μονοτονίας, κυρτότητας....

revan085 · #29

Ας κάνω κι εγώ έναν σχολιασμό πάνω στα θέματα, τα οποία με εξέπληξαν μπορώ να πω ευχάριστα.

Θέμα Α: Επιτέλους για πρώτη φορά κόπηκε τελείως το "Λόττο" με τα Σωστό ή Λάθος. Ακόμη καλύτερα ζητήθηκαν όχι ένα, αλλά δύο αντιπαραδείγματα, με το Α4)β) να ζητάει στην ουσία από τους μαθητές να ορίσουν δικό τους αντιπαράδειγμα (αν και υπάρχει αντιπαράδειγμα στο σχολικό, δεν νομίζω να το θυμόταν και κανένας απ'έξω). Το Α1)β)ii) σίγουρα δυσκόλεψε όσους υποψηφίους έκαναν πασαλλείματα και εξάσκηση στην παπαγαλία.
Το πρώτο και καλύτερο μήνυμα που στέλνει η επιτροπή θεμάτων: Διαβάζουμε, δεν κάνουμε επιλεκτικό διάβασμα, δεν παπαγαλίζουμε!!!

Θέμα Β: Ένα θέμα που μπορούσε να λυθεί και χωρίς χρήση της θεωρίας του Διαφορικού Λογισμού.
Το μήνυμα που στέλνει η επιτροπή θεμάτων: Τα μαθηματικά δεν διδάσκονται μόνο στην Γ΄ Λυκείου!!! Διαβάζουμε, δεν κάνουμε επιλεκτικό διάβασμα, δεν παπαγαλίζουμε!!!

Πάμε τώρα στα παραδοσιακά πιο ζουμερά Θέματα Γ και Δ.

Θέμα Γ: Σαν θέμα, εξετάζει το κατά πόσο έχει εμπεδώσει σοβαρά (και όχι επιφανειακά) την θεωρία του ένας υποψήφιος. Να δεχτώ ότι οι παράμετροι μπορεί να κάτσανε σαν τούβλο στο στομάχι αρκετών υποψηφίων, αλλά τόσο οι ορισμοί όσο και τα θεωρήματα είναι για να εμπεδώνονται και όχι για να μαθαίνονται παπαγαλία για το Θέμα Α. Ορθή η απόφαση της επιτροπής να εξετάσει πάλι στοιχειωδώς τους υποψηφίους σε γεωμετρικές έννοιες.
Το μήνυμα που στέλνει η επιτροπή θεμάτων: Τα μαθηματικά απαιτούν σοβαρή εμπέδωση της θεωρίας. Δεν είναι μεθοδολογίες και συνταγές!!!

Θέμα Δ: Ένα θέμα με πολύ ωραία και συνδυαστικά ερωτήματα για τα οποία μπορούμε να μιλάμε για ώρες ατελείωτες ως προς τους τρόπους επίλυσής τους. Απευθύνονται σε πολύ σοβαρά προετοιμασμένους μαθητές, με πολύ σοβαρό μαθηματικό υπόβαθρο από ολόκληρη την μαθητική τους πορεία.
Το μήνυμα που στέλνει η επιτροπή θεμάτων: Τα μαθηματικά απαιτούν σοβαρή εμπέδωση της θεωρίας. Δεν διδάσκονται μόνο στην Γ΄ Λυκείου, ούτε είναι μεθοδολογίες και συνταγές!!!

Συνολικά: Ένα "καμπανάκι" που χτυπάει για τρίτη συνεχόμενη χρονιά, τόσο ως προς την απαραίτητη εμπέδωση της θεωρίας όσο και το απαιτούμενο μαθηματικό υπόβαθρο από τις προηγούμενες τάξεις. Απομένει να δούμε πότε και κατά πόσο θα περάσει το μήνυμα αυτό, στους φετινούς υποψηφίους που αύριο θα επιλέξουν να σπουδάσουν μία επιστήμη, καθώς και στους νεαρότερους μαθητές που θα επιλέξουν να εξεταστούν σε αυτό το μάθημα στο μέλλον.

Ανδρέας Πούλος · #30

Από καθαρά επαγγελματική άποψη η εργασία των βαθμολογητών και των συντονιστών των Βαθμολογικών Κέντρων δεν είναι ο σχολιασμός των θεμάτων, αλλά το πώς θα εκτιμήσουμε με τον πλέον αντικειμενικό τρόπο τις γραπτές και προφορικές (αναφέρομαι στα κέντρα Φ.Α.) απαντήσεις των εξεταζόμενων.
Από την άποψη αυτή, θα μεταφέρω απλά τον προβληματισμό που αναπτύχθηκε την Δευτέρα και την Τρίτη στο Β.Κ. που συμμετέχω και από τηλεφωνικές και ηλεκτρονικές συζητήσεις με συναδέλφους από άλλα Β.Κ.
1. Για το θέμα Α1βii για το πώς ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση. Το σχολικό εγχειρίδιο γράφει «πολλά». Ποιο είναι το ουσιώδες; Η επικρατέστερη άποψη εδώ είναι η εξής: Πώς ορίζεται καλά μια πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής; Αν γνωρίζουμε το πεδίο ορισμού της και τον τύπο της (ουσιαστικά τη σχέση μεταξύ της μεταβλητής

και

). Αυτό είναι το κριτήριο της «ορθής» απάντησης.
2. Για το θέμα Α2. Για τη διατύπωση του θεωρήματος του Fermat. Πόσες μονάδες «κόβουμε» όταν ο μαθητής δεν αναφέρει ότι το σημείο είναι εσωτερικό του διαστήματος; Υπήρξε συζήτηση και προβληματισμός, όπως κάθε φορά που ζητήθηκε η διατύπωση του ίδιου θεωρήματος ή άλλων.
3. Για το θέμα Α3. Ένας προβληματισμός είναι πόσες μονάδες αφαιρούμε αν ο εξεταζόμενος θεωρήσει αντί για ανοικτό διάστημα, σημείο σε κλειστό διάστημα;
4. Για το θέμα Α4β. Αν ο μαθητής αναφέρει ότι απάντηση είναι Λ, διότι δεν γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής, χωρίς κάποιο αντιπαράδειγμα παίρνει και τις 3 μονάδες; Οι πλειοψηφία των βαθμολογητών συγκλίνει στο ναι. Ένας προβληματισμός υπάρχει αν ο εξεταζόμενος δώσει «σχηματική» απάντηση π.χ. ένα γράφημα με «τρύπα» στο

και την τιμή του f(xo)

αλλού.
5. Στο θέμα Β4. Οι μονάδες για την «πρόχειρη» γραφική παράσταση είναι 6. Πώς κατανέμονται αυτές; Ποια είναι η σειρά βαρύτητας και σπουδαιότητας για την κατανομή τους; Α) Οι γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων που έχουν αποδοθεί ορθά, μονοτονία, κυρτότητα, σχέση με τους άξονες συντεταγμένων, Β) οι δύο ασύμπτωτες, Γ) η συμμετρικότητα των γραφικών παραστάσεων που ορίζεται από την ευθεία y = x

; Δ) Ότι το κοινό σημείων των δύο καμπύλων πρέπει να είναι πάνω στην y = x

; Η πλειοψηφία θεωρεί ότι οι 4 μονάδες αποδίδονται στην ορθή παράσταση των δύο καμπύλων και οι άλλες 2 μονάδες στα υπόλοιπα στοιχεία.
6. Για το θέμα Γ3i. Αν δεν αποδειχθεί ότι η ρίζα της εξίσωσης είναι αρνητική, πόσες μονάδες χάνονται με δεδομένο ότι όλο το υποθέμα παίρνει 4 μονάδες; Η πλειοψηφούσα άποψη είναι 2 μονάδες για τη μοναδικότητα της ρίζας και 2 για το ότι είναι αρνητική.
7. Για το θέμα Γ3ii. Από την εξέταση των Φ.Α. προέκυψε ότι το υποθέμα αυτό οι εξεταζόμενοι το προσεγγίζουν με αρκετούς τρόπους. Μερικοί προσεγγίσεις είναι προβληματικές με την έννοια ότι έχουν κενά και ασάφειες και απαιτούν προσοχή από τους βαθμολογητές.
8. Για το θέμα Γ4. Διαπιστώθηκε ότι μαθητές που γενικά είχαν απαντήσει ορθά στα υπόλοιπα θέματα, εδώ είχαν μια δυσκολία. Αυτό είναι ένα ζήτημα για επιπλέον διερεύνηση για όσους μελετούν τη διατύπωση και αξιολογούν την απόδοση των εξεταζόμενων στις εξετάσεις για ΑΕΙ και ΑΤΕΙ.
9. Για το θέμα Δ4. Ένας προβληματισμός αναπτύχθηκε για το πόσες μονάδες αφαιρούνται αν ο εξεταζόμενος δεν μελετήσει τη μοναδικότητα της κοινής εφαπτόμενης ευθείας. Ιδιαίτερα, επειδή από κάποιες προσεγγίσεις του θέματος, η μοναδικότητα προκύπτει σχεδόν άμεσα. Η πλειοψηφούσα άποψη είναι ότι αν ο εξεταζόμενος δεν μπει στον κόπο ούτε να σχολιάσει τη μοναδικότητα της ευθείας, τότε κόβονται 4 μόρια.

Το αν χρόνος ήταν επαρκής για να αναπτυχθούν τα θέματα και σε ποια θέματα αποτυγχάνουν σε μεγάλο βαθμό οι εξεταζόμενοι, αυτό θα αποτυπωθεί από τα γενικά στατιστικά στοιχεία. Υπενθυμίζουμε, διότι δεν είναι αυτονόητο, ότι ένας σημαντικός αριθμός εξεταζόμενων δεν κατέχει τις βασικές γνώσεις των σχολικών Μαθηματικών και ότι στην Ελλάδα το 75% των μαθητών φοιτά στα ΓΕΛ και το 25% στα ΕΠΑΛ, ενώ σε όλη την Ευρώπη τα ποσοστά είναι αντίστροφα.

katopodiss · #31

Καλησπέρα και από εμένα. Τα θέματα τα βρίσκω πολύ ωραία. Ιδιαίτερα μου άρεσε η απόδειξη όπου χρησιμοποιείτε το ΘΜΤ με εφαρμογή σε σχέση διάταξης και στο Δ3 ii απαιτείται ακριβώς το ίδιο. Αν έγινε πάνω σε αυτήν τη λογική το θεωρώ τουλάχιστον εύστοχο διότι τόσο τα παιδιά όσο και οι καθηγητές μερικές φορές, πρέπει να καταλάβουμε την σπουδαιότητα της θεωρίας των Μαθηματικών και την εφαρμογή της όχι μόνο στο θέμα Α αλλά και στα υπόλοιπα θέματα...

elie · #32

Με αφορμή το Δ3 (ii) και τους τρόπους επίλυσης

"... με $f{}'(x)\geq -1$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ , το "=" μόνο στο χ=1

ΝΔΟ $f\left ( \lambda +\frac{1}{2} \right )+\lambda \geq (\lambda -1)ln(\lambda ^{2}-2\lambda +2)+\frac{3}{2}$ για κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$ ..."

Ένας τρόπος λύσης από πολλούς είναι ο εξής:

Έστω Z(x)=f(x)+x

, παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με {Z}'(x)={f}'(x)+1

.
Άρα ${Z}'(x)\geq 0$ , με το "=" μόνο στο 1, άρα Z(x)

γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

Η ζητούμενη ανισότητα γίνεται: $f\left ( \lambda +\frac{1}{2} \right )+\lambda +\frac{1}{2}\geq (\lambda -1)ln(\lambda ^{2}-2\lambda +2)+2$
$\Leftrightarrow f\left ( \lambda +\frac{1}{2} \right )+\left ( \lambda +\frac{1}{2} \right )\geq f(\lambda )+\lambda$
$\Leftrightarrow Z\left ( \lambda +\frac{1}{2} \right )\geq Z(\lambda )$
$\Leftrightarrow \lambda+ \frac{1}{2}\geq \lambda \Leftrightarrow \frac{1}{2}\geq 0$ ισχύει...;

Ισχύει τι ακριβώς όμως; Ισχύει το ">" αλλά όχι το "=" !!!

Τι θα γινόταν αν ο μαθητής επιχειρήσει να δείξει για κάποια $\lambda \in \mathbb{R}$ ότι ισχύει το "=";

Σαν παράδειγμα στον προβληματισμό μας είναι η γνωστή περίπτωση με f κοίλη στο $\mathbb{R}$ ΝΔΟ για κάθε $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ ισχύει $\frac{f(\alpha )+f(\beta )}{2}\leq f\left ( \frac{\alpha +\beta }{2} \right )$ (1)

όπου κάποιος κάνοντας ΘΜΤ για την f στα $\left [ \alpha ,\frac{\alpha +\beta }{2} \right ]$ , $\left [ \frac{\alpha +\beta }{2}, \beta \right ]$ βρίσκει $\xi _{1}\in \left ( \alpha , \frac{\alpha +\beta }{2} \right )$ , $\xi _{2}\in \left ( \frac{\alpha +\beta }{2} , \beta \right )$ τέτοια ώστε:
${f}'(\xi_{1})=\frac{f\left ( \frac{\alpha +\beta }{2} \right )-f(\alpha) }{\frac{\beta -\alpha }{2}}$ και ${f}'(\xi_{2})=\frac{f(\beta )-f\left ( \frac{\alpha +\beta }{2} \right )}{\frac{\beta -\alpha }{2}}$ ,

άρα (1) $\Leftrightarrow {f}'(\xi _{1})\geq {f}'(\xi _{2})\Leftrightarrow \xi _{1}\leq \xi _{2}$ ( {f}'

γνησίως φθίνουσα)

...που ισχύει;;;

Αν δηλαδή η απόδειξη σταματήσει εδώ είναι πλήρης;

Βέβαια το πιο εντυπωσιακό για όποιον (σωστά) προσπάθησε να δείξει το "=" είναι ότι δεν ισχύει ποτέ (!!!) καθώς η εξίσωση

$f\left ( \lambda +\frac{1}{2} \right )+\lambda = (\lambda -1)ln(\lambda ^{2}-2\lambda +2)+\frac{3}{2}$

δεν έχει πραγματικές λύσεις!!!

[img]https://drive.google.com/open?id=1z9BFilPqT2IsodIA-faUHDg0obh3TV1P[/img]

[img]https://drive.google.com/open?id=1OxSQZvuSUJmtAhKAu15i2WPZqnHsN0Dj[/img]

Ακόμα και με την προσέγγιση $f\left ( \lambda +\frac{1}{2} \right )-f(\lambda )\geq -\frac{1}{2}$ ... υπάρχει $\xi \in \left ( \lambda ,\lambda +\frac{1}{2} \right ):{f}'(\xi )\geq -1$ , το "=" δεν ισχύει (μόνο στο 1) καθώς η $C_{f}$ δεν μπορεί να έχει χορδή με κλίση

σε διάστημα της μορφής $\left [ \lambda , \lambda +\frac{1}{2} \right ]$

[img]https://drive.google.com/open?id=1T-KaiAORkoYPSR13EpAoCrTNWYsBXDDb[/img]

Αυτό λοιπόν που ισχύει για κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$ είναι $f\left ( \lambda +\frac{1}{2} \right )+\lambda > (\lambda -1)ln(\lambda ^{2}-2\lambda +2)+\frac{3}{2}$

Οι μαθητές όμως καλούνται να δείξουν το $"\geq "$ σε μία σχέση που το "=", χωρίς να το ξέρουν, δεν ισχύει ποτέ!

Να σημειωθεί ότι ο προβληματισμός μας είναι καλόπιστος, με σκοπό να μάθουμε όλοι μέσα από τη συζήτηση.

Γιάννης Ανδρεάδης, Ηλίας Ντεϊρμεντζίδης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #33

elie έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 12, 2019 9:09 pm
Με αφορμή το Δ3 (ii) και τους τρόπους επίλυσης

"... με $f{}'(x)\geq -1$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ , το "=" μόνο στο χ=1

ΝΔΟ $f\left ( \lambda +\frac{1}{2} \right )+\lambda \geq (\lambda -1)ln(\lambda ^{2}-2\lambda +2)+\frac{3}{2}$ για κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$ ..."

Ένας τρόπος λύσης από πολλούς είναι ο εξής:

Έστω , παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με .
Άρα ${Z}'(x)\geq 0$ , με το "=" μόνο στο 1, άρα γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

Η ζητούμενη ανισότητα γίνεται: $f\left ( \lambda +\frac{1}{2} \right )+\lambda +\frac{1}{2}\geq (\lambda -1)ln(\lambda ^{2}-2\lambda +2)+2$
$\Leftrightarrow f\left ( \lambda +\frac{1}{2} \right )+\left ( \lambda +\frac{1}{2} \right )\geq f(\lambda )+\lambda$
$\Leftrightarrow Z\left ( \lambda +\frac{1}{2} \right )\geq Z(\lambda )$
$\Leftrightarrow \lambda+ \frac{1}{2}\geq \lambda \Leftrightarrow \frac{1}{2}\geq 0$ ισχύει...;

Ισχύει τι ακριβώς όμως; Ισχύει το ">" αλλά όχι το "=" !!!

Τι θα γινόταν αν ο μαθητής επιχειρήσει να δείξει για κάποια $\lambda \in \mathbb{R}$ ότι ισχύει το "=";

Σαν παράδειγμα στον προβληματισμό μας είναι η γνωστή περίπτωση με f κοίλη στο $\mathbb{R}$ ΝΔΟ για κάθε $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ ισχύει $\frac{f(\alpha )+f(\beta )}{2}\leq f\left ( \frac{\alpha +\beta }{2} \right )$ (1)

όπου κάποιος κάνοντας ΘΜΤ για την f στα $\left [ \alpha ,\frac{\alpha +\beta }{2} \right ]$ , $\left [ \frac{\alpha +\beta }{2}, \beta \right ]$ βρίσκει $\xi _{1}\in \left ( \alpha , \frac{\alpha +\beta }{2} \right )$ , $\xi _{2}\in \left ( \frac{\alpha +\beta }{2} , \beta \right )$ τέτοια ώστε:
${f}'(\xi_{1})=\frac{f\left ( \frac{\alpha +\beta }{2} \right )-f(\alpha) }{\frac{\beta -\alpha }{2}}$ και ${f}'(\xi_{2})=\frac{f(\beta )-f\left ( \frac{\alpha +\beta }{2} \right )}{\frac{\beta -\alpha }{2}}$ ,

άρα (1) $\Leftrightarrow {f}'(\xi _{1})\geq {f}'(\xi _{2})\Leftrightarrow \xi _{1}\leq \xi _{2}$ ( γνησίως φθίνουσα)

...που ισχύει;;;

Αν δηλαδή η απόδειξη σταματήσει εδώ είναι πλήρης;

Βέβαια το πιο εντυπωσιακό για όποιον (σωστά) προσπάθησε να δείξει το "=" είναι ότι δεν ισχύει ποτέ (!!!) καθώς η εξίσωση

$f\left ( \lambda +\frac{1}{2} \right )+\lambda = (\lambda -1)ln(\lambda ^{2}-2\lambda +2)+\frac{3}{2}$

δεν έχει πραγματικές λύσεις!!!

Ακόμα και με την προσέγγιση $f\left ( \lambda +\frac{1}{2} \right )-f(\lambda )\geq -\frac{1}{2}$ ... υπάρχει $\xi \in \left ( \lambda ,\lambda +\frac{1}{2} \right ):{f}'(\xi )\geq -1$ , το "=" δεν ισχύει (μόνο στο 1) καθώς η $C_{f}$ δεν μπορεί να έχει χορδή με κλίση σε διάστημα της μορφής $\left [ \lambda , \lambda +\frac{1}{2} \right ]$

Αυτό λοιπόν που ισχύει για κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$ είναι $f\left ( \lambda +\frac{1}{2} \right )+\lambda > (\lambda -1)ln(\lambda ^{2}-2\lambda +2)+\frac{3}{2}$

Οι μαθητές όμως καλούνται να δείξουν το $"\geq "$ σε μία σχέση που το "=", χωρίς να το ξέρουν, δεν ισχύει ποτέ!

Να σημειωθεί ότι ο προβληματισμός μας είναι καλόπιστος, με σκοπό να μάθουμε όλοι μέσα από τη συζήτηση.

Γιάννης Ανδρεάδης, Ηλίας Ντεϊρμεντζίδης

Αν καταλαβαίνω καλά όλα τα λεφτά είναι το

elie έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 12, 2019 9:09 pm
Οι μαθητές όμως καλούνται να δείξουν το $"\geq "$ σε μία σχέση που το "=", χωρίς να το ξέρουν, δεν ισχύει ποτέ!

Δυστυχώς έτσι όπως είναι δομημένα τα μαθηματικά του σχολείου τέτοια πράγματα μπερδεύουν πολλούς.
Δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα.

Παραθέτω κάποια παραδείγματα.

Οι σχέσεις

$3\leq 5$

$10\leq 10$

είναι σωστές.

Αλλά σωστές είναι και

3< 5

margk · #34

Γνωρίζει κάποιος αν η αιτιολόγηση στο Α4 β) μέσω της συνεχειας ,δηλαδή οτι αναφέρει η θεωρια ,είναι
αποδεκτή απο την επιτροπή εξετασεων;

#35

Έχω ήδη τοποθετηθεί σε προηγούμενη ανάρτηση, γενικά πάνω στα φετινά θέματα. Τώρα όμως που καταλάγιασε ο θόρυβος και έχει κατακαθίσει η σκόνη, ας δούμε για ποια θέματα, έσπευσαν πολλοί να συγχαρούν την επιτροπή.

ΘΕΜΑ Α:
Α1α) Αψυχολόγητο.
Ο ορισμός της συνάρτησης διδάσκεται στην Α΄ Λυκείου και έχει εξεταστεί επανειλημμένως. Αναφέρεται στο βιβλίο στα πλαίσια της επανάληψης βασικών εννοιών και τύπων, όπως ο ορισμός της απόλυτης τιμής, οι ιδιότητες των λογαρίθμων, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις, κλπ. Δεν είχε λοιπόν νόημα να ζητηθεί κάτι τέτοιο που αποτελεί εξεταστική ύλη προηγούμενων τάξεων.
Α1β) Άστοχο.
Δεν υπάρχει σαφής ορισμός της αντίστροφης συνάρτησης στο σχολικό βιβλίο. Θεωρώ ότι είναι κάτι που πιθανόν μπέρδεψε τους υποψήφιους και αυτό θα φανεί στη βαθμολογία. Υπάρχουν τόσοι άλλοι ορισμοί που θα μπορούσαν να ζητηθούν. Ενδεικτικά αναφέρω: συνέχεια, μονοτονία, ακρότατα (τοπικά και ολικά), κυρτότητα, ασύμπτωτες,…κλπ.

Α4 α,β) Στα Σ-Λ και στα αντιπαραδείγματα, αναφέρθηκε εκτενώς ο Χρήστος Κανάβης (με τον οποίο συμφωνώ απόλυτα) εδώ.

ΘΕΜΑ Β
Β1, Β2, Β3 προσεκτικά επιλεγμένα, χωρίς εκπλήξεις, καλύπτουν ένα μεγάλο κομμάτι της ύλης. Όλα καλά λοιπόν, μέχρι το δεύτερο σκέλος του Β4: «Να κάνετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση των συναρτήσεων…» Κι ερχόμαστε στο επίμαχο σημείο του τι σημαίνει πρόχειρη γραφική παράσταση. Το υποερώτημα δίνει 6 μονάδες, χωρίς να διευκρινίζει ποια στοιχεία απαιτούν οι θεματοδότες από αυτή τη γραφική παράσταση ώστε ο υποψήφιος να πάρει και τις 6 μονάδες. Η λέξη πρόχειρη κατάφερε να φέρει γενική αναστάτωση και θα υπάρξουν προβλήματα στη βαθμολόγηση.

ΘΕΜΑ Γ
Δεν θα είχα κανένα πρόβλημα με αυτό το θέμα, αν δεν είχε προηγηθεί το Β. Δίνεται και πάλι παραμετρική συνάρτηση και ζητείται η τιμή των παραμέτρων α και β (Γ1). Εξετάζεται και πάλι η μονοτονία και ζητείται το σύνολο τιμών(Γ2). Ζητείται να αποδειχθεί και πάλι η μοναδικότητα ρίζας (Γ3).Ποιο το νόημα να εξεταστούν δύο φορές οι ίδιες γνώσεις; Για το Γ4 δεν έχω να πω τίποτα.

ΘΕΜΑ Δ
Στο Δ1 ισχύουν όσα και στα Β1, Γ1. Δίνεται και πάλι παραμετρική συνάρτηση και για τρίτη φορά ζητείται η τιμή παραμέτρων. Το Δ2 απλό και αναμενόμενο.
Στο Δ3ii) ζητείται να αποδειχθεί μία ανισοϊσότητα (με το ίσον να μην ισχύει ποτέ). Θεωρώ ότι είναι αστοχία της επιτροπής. Αν και τυπικά δεν υπάρχει λάθος σε αυτό, ωστόσο είναι αντιδεοντολογικό. Είναι σίγουρο ότι κάποιοι διαβασμένοι μαθητές αφιέρωσαν χρόνο για να εξετάσουν πότε ισχύει η ισότητα.
Το Δ4 απαιτητικό, αλλά καλό. Πιστεύω ότι θα κάνει τη διαφορά στη βαθμολογία.

Εν κατακλείδι, τα θέματα δεν μου άρεσαν για όλους του λόγους που προανέφερα και για ένα επιπλέον. Οι προτεινόμενες συναρτήσεις αντλήθηκαν από το ίδιο τσουβάλι της εκθετικής και της λογαριθμικής (απουσίαζαν οι ρητές, οι τριγωνομετρικές, κλπ.) και τα όρια, όπου χρειάστηκαν ήταν παιδαριώδη. Όπως γράφει κάπου και ο Αλέξανδρος (Al. Koutsouridis) θέματα αδιάφορα που ξεχνιούνται εύκολα.

Προς αποφυγή παρεξηγήσεων, διευκρινίζω ότι αυτή είναι η προσωπική μου γνώμη, εντελώς υποκειμενική και, σε καμία περίπτωση δεν διεκδικώ την ορθότητα αυτών των απόψεών.

pana1333 · #36

margk έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 12, 2019 11:29 pm
Γνωρίζει κάποιος αν η αιτιολόγηση στο Α4 β) μέσω της συνεχειας ,δηλαδή οτι αναφέρει η θεωρια ,είναι
αποδεκτή απο την επιτροπή εξετασεων;

Καλημέρα. Όχι δεν είναι αποδεκτή. Βγήκε οδηγία από την κεε πως είναι δεκτή η αιτιολόγηση μόνο με αντιπαράδειγμα συνάρτησης δίνοντας είτε ο τύπος είτε το σχήμα της.

#37

pana1333 έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 14, 2019 5:56 am

margk έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 12, 2019 11:29 pm
Γνωρίζει κάποιος αν η αιτιολόγηση στο Α4 β) μέσω της συνεχειας ,δηλαδή οτι αναφέρει η θεωρια ,είναι
αποδεκτή απο την επιτροπή εξετασεων;
Καλημέρα. Όχι δεν είναι αποδεκτή. Βγήκε οδηγία από την κεε πως είναι δεκτή η αιτιολόγηση μόνο με αντιπαράδειγμα συνάρτησης δίνοντας είτε ο τύπος είτε το σχήμα της.

Γεια σου Χρήστο !

Δεν είναι δεκτή ως πλήρης απάντηση, ωστόσο οι συνάδελφοι αξιολογούν ανάλογα κάθε άλλη απάντηση.

Καλημέρα σε όλους !

margk · #38

Ηταν πολύ δύσκολο στην κεε να δώσει αυτή την απαίτηση στην διατύπωση του ερωτηματος ώστε να ξέρουν και οι μαθητές πως πρεπει να απαντήσουν;
Φοβάμαι οτι ουτε και αυτοι δεν ήξεραν τι ζητούσαν ακριβως ως απάντηση.

Λάμπρος Μπαλός · #39

Δεν ήξερα ότι ένας βαθμολογητής μπορεί να αγνοήσει της οδηγίες της ΚΕΕ. Στο Α4β, είμαι της άποψης ότι πρέπει να αγνοηθεί, αλλά από όλους. Ειδικά για μαθητές που βρίσκονται στο 90+ μπορεί να κοστίσει. Δεν είναι να καταφεύγει κόσμος και ντουνιάς τώρα στο ΣΤΕ. Κατά τα άλλα, είχαμε καιρό να δούμε ωραία θέματα!

#40

Λάμπρος Μπαλός έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 14, 2019 1:09 pm
Δεν ήξερα ότι ένας βαθμολογητής μπορεί να αγνοήσει της οδηγίες της ΚΕΕ. Στο Α4β, είμαι της άποψης ότι πρέπει να αγνοηθεί, αλλά από όλους. Ειδικά για μαθητές που βρίσκονται στο 90+ μπορεί να κοστίσει. Δεν είναι να καταφεύγει κόσμος και ντουνιάς τώρα στο ΣΤΕ. Κατά τα άλλα, είχαμε καιρό να δούμε ωραία θέματα!

Λάμπρο, δεν τις αγνοούν.Το αντίθετο : τις υιοθετούν συνήθως , ακόμα και αν διαφωνούν. Όμως εκτιμούν τις άλλες περιπτώσεις, τις όχι πλήρεις απαντήσεις, κατά την κρίση τους !

Δεν αγνοούν ποια είναι η σωστή απάντηση,αφού την ορίζει η ΚΕΕ, αλλά έχουν κάθε δικαίωμα να βαθμολογήσουν τις άλλες περιπτώσεις όπως αυτοί κρίνουν.
Αλίμονο αν δεν ήταν έτσι.

Αυτός είναι και ο λόγος που πάντα διατείνομαι ότι η ΚΕΕ δεν θα έπρεπε να εμπλέκεται σε θέματα βαθμολόγησης, πέραν της πρώτης

κατανομής των μονάδων που αναγράφονται στα θέματα.

Ούτε άλλη απάντηση θα έπρεπε να δίνει που αφορά την βαθμολόγηση.Οφείλει να απαντά σε περίπτωση λαθών.Ευτυχώς μαθηματικά λάθη δεν βλέπουμε και αυτό είναι πολύ καλό.

Καλό καλοκαίρι και καλά αποτελέσματα !

Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2019

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2019

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2019

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2019

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2019

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2019

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2019

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2019

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2019

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2019

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2019

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2019

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2019

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2019

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2019

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2019

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2019

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2019

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2019

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2019

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2019

Μέλη σε σύνδεση