Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

Επιτροπή Θεμάτων 2023 · #1

Αγαπητές/τοί φίλες/οι

Στο θέμα αυτό θα αναρτηθούν (αμέσως μόλις δημοσιευθούν στη σελίδα του Υπουργείου) και, αποκλειστικά, θα λυθούν τα θέματα των Μαθηματικών προσανατολισμού 2022 (των ημερησίων ΓΕΛ). Επομένως σχολιασμοί-κριτική επί της δυσκολίας κ.λ.π. των θεμάτων θα απομακρύνονται από αυτήν την συζήτηση. Αυτές μπορούν να γίνουν στο Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2022

#2

Τα σημερινά θέματα.

#3

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2022 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ.docx: (151.03 KiB) Μεταφορτώθηκε 352 φορές

Τα θέματα σε word

#4

Θέμα 1
Α1. Θεωρία στο σχολικό βιβλίο στη σελίδα 186.
Α2. Θεωρία στο σχολικό βιβλίο στη σελίδα 192.
Α3. Θεωρία στο σχολικό βιβλίο στη σελίδα 161.
Α4. α) Σ , β) Σ , γ) Σ , δ) Λ , ε) Λ.

Θέμα 2
Για $x \in D_f=(-\infty,1],$ ισχύει ότι f(x)=x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2.

Επίσης $g(x)=\sqrt{x},\;x\in D_g=[0,+\infty).$
B1. Έχουμε ότι:
$\displaystyle{\left\{ x \in D_g : g(x) \in D_f \right\}=\left\{ x \in [0,+\infty) : \sqrt{x} \in (-\infty,1] \right\}=}$
$\displaystyle{=\left\{x \geq 0 : \sqrt{x} \leq 1 \right\}=\left\{x \geq 0 : x\leq 1 \right\}=[0,1] \neq \varnothing,}$
άρα $D_h=D_{f \circ g} = [0,1].$
Συνεπώς:
$\displaystyle{h(x)=f(g(x))=f\left(\sqrt{x} \right)=\left((\sqrt{x})^2-1 \right)^2=(x-1)^2,\;x \in D_h.}$

B2. H συνάρτηση

είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο [0,1]

ως πολυωυμική, με h’(x)=2(x-1).

Για $x\in[0,1)$ , ισχύει h’(x)<0,

οπότε η

είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,1]

ως συνεχής στο [0,1].

Αφού η

είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,1],

άρα και 1-1, οπότε η

αντιστρέφεται.
H

είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο [0,1],

οπότε

και κατά συνέπεια το πεδίο ορισμού της $h^{-1}$ είναι το $D_{h^{-1}}=[0,1].$
Τότε για $x\in[0,1],$ $y \in [0,1],$ ισχύει:
$\displaystyle{y=f(x) \Leftrightarrow y=(x-1)^2 \Leftrightarrow \sqrt{y}=|x-1|\Leftrightarrow \sqrt{y}=-(x-1) \Leftrightarrow \sqrt{y}=1-x \Leftrightarrow x=1-\sqrt{y},}$
άρα $\displaystyle{h^{-1}(x)=1-\sqrt{x},\;x \in [0,1].}$

Β3. Έχουμε ότι
$\displaystyle{\phi(x)=\begin{cases} \frac{1-\sqrt{x}}{1-x},&x \in [0,1) \\ \frac{1}{2},&x=1 \end{cases}.}$
(i) H συνάρτηση $\phi$ είναι συνεχής στο (0,1)

ως πηλίκο των συνεχών $1-\sqrt{x}$ (διαφορά των συνεχών

- σταθερή - και $\sqrt{x}$ ) με την 1-x

(πολυωνυμική).
Επίσης:
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}=\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}{(1-x)(1+\sqrt{x})}=\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{1-x}{ (1-x)((1+\sqrt{x})}=\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{1}{1+\sqrt{x}}=\frac{1}{2}=\phi(1),}$
οπότε η $\phi$ είναι συνεχής στο

Τέλος
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}=1=\phi(0),}$
οπότε η $\phi$ είναι συνεχής στο

Συνεπώς η $\phi$ είναι συνεχής στο [0,1].

Επιπλέον:
$\displaystyle{\phi(1)=\frac{1}{2} \neq \phi(0)= 1,}$
οπότε ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών για τη συνάρτηση $\phi$ στο [0,1].

(ii) Η συνάρτηση $\eta \mu x$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\left( \frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right),$ οπότε
$\displaystyle{\frac{\pi}{6}<a <\frac{\pi}{2} \Rightarrow \eta \mu \frac{\pi}{6}<\eta \mu a <\eta \mu \frac{\pi}{2} \Rightarrow \frac{1}{2}<\eta \mu a <1.}$
Επομένως
$\phi(1)<\eta \mu a <\phi(0),$
και δεδομένου ότι η $\phi$ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών, υπάρχει $x_0 \in (0,1)$ έτσι ώστε $\phi(x_0)=\eta \mu a.$

#5

Το Β2 γαι το 1-1

χωρίς παράγωγο.

$\displaystyle h({x_1}) = h({x_2}) \Rightarrow {({x_1} - 1)^2} = {({x_2} - 1)^2} \Rightarrow 1 - {x_1} = 1 - {x_2} \Rightarrow {x_1} = {x_2}$

kostas.zig · #6

Ένα αρχείο geogebra για το θέμα Γ

Το σημείο μπήκε κατά λάθος πάνω στην συνάρτηση και όχι στην ευθεία που είναι το σωστό (ΜΕ συγχωρείτε...), οπότε διαγράφεται. Το σωστό σχήμα είναι παρκάτω σε δημοσίευση!

4ptil · #7

Αν για να αιτιολογήσω το τελευταίο ερώτημα έκανα άτοπο και κατέληξα με την κυρτότητα και το ελάχιστο στο ότι x_2=1

αντί να δείξω απευθείας της ανίσωση υπάρχει περίπτωση κάποιος βαθμολογητής να το θεωρήσει λάθος;

abgd · #8

4ptil έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 06, 2022 3:11 pm
Αν για να αιτιολογήσω το τελευταίο ερώτημα έκανα άτοπο και κατέληξα με την κυρτότητα και το ελάχιστο στο ότι αντί να δείξω απευθείας της ανίσωση υπάρχει περίπτωση κάποιος βαθμολογητής να το θεωρήσει λάθος;

Σωστό είναι, αρκεί να το διατύπωσες καλά.

#9

Στο Δ3 είναι κλειδί ότι 2-x_1<x_2

ή ισοδύναμα $\dfrac{x_1+x_2}{2}>1$ .

Φυσικά, ο πιο εύκολος τρόπος είναι από το Δ2.

Το πρωί στο σχολείο αναρτωτιόμουν αν υπάρχει και άλλος τρόπος. Πράγματι, ένας άλλος τρόπος είναι ο εξής:

Μια "γνωστή" ανισότητα είναι η ανισότητα λογαριθμικού-αριθμητικού μέσου: Αν 0<a<b

, τότε

$\dfrac{a-b}{\ln a- \ln b}<\dfrac{a+b}{2}$ (*)

Από αυτή με a=x_1

και

παίρνουμε $a-b=\ln(3a)-\ln (3b)=\ln a-\ln b$ ,

οπότε

$1<\dfrac{x_1+x_2}{2}$ ,

και άρα 2-x_1<x_2

κτλ.

* Ισοδύναμα για τη συνάρτηση $g(x)=\ln x-2\frac{x-1}{x+1}$ είναι g(b/a)>0

.

[Απόδειξη: Πράγματι, η g(x)

έχει

και $g'(x)=\frac{(x-1)^2}{x(x+1)^2}>0$ για $0<x\ne 1$ . Αφού b/a>1

, έπεται ότι g(b/a)>g(1)=0

.]

Φιλικά,

Αχιλλέας

#10

Μια άλλη προσέγγιση για το Δ4, χωρίς κυρτότητα ή ΘΜΤ, αλλά με (κάποιες) πράξεις:

Θεωρούμε τη συνάρτηση

$\displaystyle{g\left( x \right) =2f\left( x \right) +\ln 3-1-f'\left( x_2 \right) \left( x-x_2 \right) ,}$

με x>0

.

Η

είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$ , με

$\displaystyle{g'\left( x \right) =2f{'}\left( x \right) -f'\left( x_2 \right) = 2\left( 1-\frac{1}{x} \right) -\left( 1-\frac{1}{x_2} \right) =1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x_2} }$

για κάθε x>0

.

Είναι:

$\displaystyle{ g{'}\left( x \right) =0\Longleftrightarrow 1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x_2}=0\Longleftrightarrow \frac{2}{x}=\frac{x_2+1}{x_2}\Longleftrightarrow x=x_0:=\frac{2x_2}{x_2+1} }$

και

$\displaystyle{ g{'}\left( x \right) >0\Longleftrightarrow 1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x_2}>0\Longleftrightarrow \frac{2}{x}<\frac{x_2+1}{x_2}\Longleftrightarrow x>x_0. }$

Eπομένως, η

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x_0

. Θα αποδείξουμε ότι g(x_0) >0

, οπότε θα είναι g(x) >0

για κάθε

και η δοσμένη εξίσωση είναι αδύνατη. Πράγματι, είναι:

$\displaystyle{ g\left( x_0 \right) =2f\left( x_0 \right) +\ln 3-1-f{'}\left( x_2 \right) \left( x_0-x_2 \right) = }$
$\displaystyle{ =2x_0-2\ln \left( 3x_0 \right) +\ln 3-1-\left( 1-\frac{1}{x_2} \right) \left( x_0-x_2 \right) = }$
$\displaystyle{ =2x_0-2\ln \left( \frac{6x_2}{x_2+1} \right) +\ln 3-1-x_0+x_2+\frac{x_0}{x_2}-1= }$
$\displaystyle{ =x_0-2\ln \left( \frac{6x_2}{x_2+1} \right) +\ln 3-2+x_2+\frac{2}{x_2+1}= }$
$\displaystyle{ =\frac{2x_2}{x_2+1}-2\ln \left( \frac{6x_2}{x_2+1} \right) +\ln 3-2+x_2+\frac{2}{x_2+1}= }$
$\displaystyle{ =\frac{2\left( x_2+1 \right)}{x_2+1}-2\ln \left( \frac{6x_2}{x_2+1} \right) +\ln 3-2+x_2= }$
$\displaystyle{ =x_2+\ln 3-2\ln \left( \frac{6x_2}{x_2+1} \right) =\ln \left( 3x_2 \right) +\ln 3-2\ln \left( \frac{6x_2}{x_2+1} \right) = }$
$\displaystyle{ =\ln \left[ \frac{9x_2}{\frac{36x_{2}^{2}}{\left( x_2+1 \right) ^2}} \right] =\ln \left[ \frac{\left( x_2+1 \right) ^2}{4x_2} \right] >\ln 1=0, }$
αφού
$\displaystyle{ \frac{\left( x_2+1 \right) ^2}{4x_2}>1\Longleftrightarrow x_{2}^{2}+2x_2+1>4x_2\Longleftrightarrow \left( x_2-1 \right) ^2>0, }$
που ισχύει.

KARKAR · #11

Το σχήμα της συνάρτησης του θέματος Γ

: Συνάρτηση του Γ.png (19.09 KiB) Προβλήθηκε 3897 φορές

Pantelis.N · #12

Στο θέμα Γ4 πήρα λάθος κλάδο για τον υπολογισμό του δεύτερου ορίου.

Στο Δ4 έκανα ένα μεγάλο λάθος...από λάθη σε πράξεις έβγαλα ότι με βάση το θεώρημα Μπολζάνο υπάρχει λύση και μετά δεν ξανακοίταξα τη λύση μου. Έχοντας βρει την εξίσωση της εφαπτομένης στο και αναφέροντας τα περί κυρτότητας και θεωρώντας πως τα λάθη μου είναι μόνο αυτά που ανέφερα, πόσο μπορώ να περιμένω πως θα πάρω;

Πραγματικά έχω απογοητευθεί πλήρως από την τραγική μου επίδοση.

Tolaso J Kos · #13

Pantelis.N έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 06, 2022 7:40 pm
.... πόσο μπορώ να περιμένω πως θα πάρω;

Για μένα κοιτάς παρακάτω. Ό, τι έγινε , έγινε! Δεν σε ανησυχεί ... το κεφάλι ψηλά και κοιτάς το επόμενο μάθημα. Ό, τι και να σου πούμε εμείς τώρα πιο πολύ άγχος θα σου μεταδώσουμε!!

Καλή συνέχεια με τα υπόλοιπα μαθήματα ... και καλά αποτελέσματα.

KARKAR · #14

: D.png (26.23 KiB) Προβλήθηκε 3498 φορές

Ένα σχήμα και για την συνάρτηση του - έξοχου αλλά πολύ απαιτητικού - θέματος Δ .

Τσιαλας Νικολαος · #15

Pantelis.N έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 06, 2022 7:40 pm
Στο θέμα Γ4 πήρα λάθος κλάδο για τον υπολογισμό του δεύτερου ορίου.

Στο Δ4 έκανα ένα μεγάλο λάθος...από λάθη σε πράξεις έβγαλα ότι με βάση το θεώρημα Μπολζάνο υπάρχει λύση και μετά δεν ξανακοίταξα τη λύση μου. Έχοντας βρει την εξίσωση της εφαπτομένης στο και αναφέροντας τα περί κυρτότητας και θεωρώντας πως τα λάθη μου είναι μόνο αυτά που ανέφερα, πόσο μπορώ να περιμένω πως θα πάρω;

Πραγματικά έχω απογοητευθεί πλήρως από την τραγική μου επίδοση.

Αγαπητέ Παντελή δεν υπάρχει λόγος απογοήτευσης! Λάθη γίνονται και θα γίνονται μια ζωή! Συνέχισε δυνατά και στα αλλά 2 μαθήματα και τίποτα δεν εχει χαθεί!

Επιτροπή Θεμάτων 2023 · #16

Αναρτούμε σήμερα, 6 Ιουνίου 2022, τη 1η έκδοση των λύσεων των θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού 2022 η οποία είναι αποτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Επιμελητών του mathematica.gr.
Θέματα & Λύσεις Μαθηματικών προσαν. 2022 (1η έκδοση)

Pantelis.N · #17

Σας ευχαριστώ για τα καλά σας λόγια.
Οι εκτιμήσεις των καθηγητών μου είναι από 92 στην χειρότερη περίπτωση μέχρι και 96 στην καλύτερη.
Ίσως με σώζει το γεγονός ότι θα ανέβουν οι βάσεις και από όσο έμαθα οι μαθητές δυσκολεύθηκαν πιο πολύ στο Δ3, πολύ λίγοι υποψήφιοι το έχουν λύσει, ενώ πάρα πολλά άτομα την πάτησαν στο Γ4 στην επιλογή κλάδου.

JimKas · #18

Καλησπέρα,
Παρατήρησα ότι για το Δ.4 θέμα κυκλοφορούν στο διαδίκτυο και στο site του mathematica δύο τρόποι επίλυσης, κυρίως με την εφαπτομένη και με το να θεωρήσουμε συνάρτηση η οποία έχει θετικό ολικό ακρότατο. Το έλυσα με εναν διαφορετικό τρόπο, εφαρμόζοντας Θεωρημα Μέσης Τιμής δύο φορές. Θα ήθελα να μου πείτε αν είναι σωστή ή αν υπάρχει κάτι μεμπτό στη λύση. Επισυνάπτω στις φωτογραφίες τη λύση μου.

Λύση Δ4 σελ1.pdf: (1.61 MiB) Μεταφορτώθηκε 217 φορές

Λύση Δ4 σελ2.pdf: (1.95 MiB) Μεταφορτώθηκε 148 φορές

Λευτέρης Παπανικολάου · #19

Pantelis.N έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 06, 2022 7:40 pm
Στο θέμα Γ4 πήρα λάθος κλάδο για τον υπολογισμό του δεύτερου ορίου.

Στο Δ4 έκανα ένα μεγάλο λάθος...από λάθη σε πράξεις έβγαλα ότι με βάση το θεώρημα Μπολζάνο υπάρχει λύση και μετά δεν ξανακοίταξα τη λύση μου. Έχοντας βρει την εξίσωση της εφαπτομένης στο και αναφέροντας τα περί κυρτότητας και θεωρώντας πως τα λάθη μου είναι μόνο αυτά που ανέφερα, πόσο μπορώ να περιμένω πως θα πάρω;

Πραγματικά έχω απογοητευθεί πλήρως από την τραγική μου επίδοση.

Ό,τι έγινε, έγινε. Να κοιτάς μπροστά και θα πας μπροστά. Καλή συνέχεια στα επόμενα

abgd · #20

JimKas έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 07, 2022 12:34 am
Καλησπέρα,
Παρατήρησα ότι για το Δ.4 θέμα κυκλοφορούν στο διαδίκτυο και στο site του mathematica δύο τρόποι επίλυσης, κυρίως με την εφαπτομένη και με το να θεωρήσουμε συνάρτηση η οποία έχει θετικό ολικό ακρότατο. Το έλυσα με εναν διαφορετικό τρόπο, εφαρμόζοντας Θεωρημα Μέσης Τιμής δύο φορές. Θα ήθελα να μου πείτε αν είναι σωστή ή αν υπάρχει κάτι μεμπτό στη λύση. Επισυνάπτω στις φωτογραφίες τη λύση μου.

Σωστή είναι η λύση σου.
Ουσιαστικά χρησιμοποιείς αποδεικτικά την πρόταση ότι η εφαπτομένη στο x_2

είναι πιο κάτω από την γραφική παράσταση της συνάρτησης.

Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2022 (Θέματα & Λύσεις)

Μέλη σε σύνδεση