ΕΜΠ 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

ΕΜΠ 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Κυρ Ιαν 26, 2014 10:26 pm

Εξεταστής: Ι. Αργυράκος


1. Θεωρούμε τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} όπου \displaystyle{\widehat{\Gamma}>\widehat{B}}. Έστω \displaystyle{(O,R) } ο περιγεγραμμένος και \displaystyle{(O',p ) } ο εγγεγραμμένος κύκλος αντίστοιχα στο τρίγωνο αυτό. Να δειχθεί οτι
α) αν η \displaystyle{OO'} είναι παράλληλη προς την \displaystyle{B\Gamma} τότε \displaystyle{\sigma\upsilon\nu B+\sigma\upsilon\nu \Gamma=1}
β) αν τα σημεία \displaystyle{O,O' } βρίσκονται εκατέρωθεν της \displaystyle{B\Gamma} και ισαπέχουν από αυτήν, να δειχθεί οτι \displaystyle{\sigma\upsilon\nu B+\sigma\upsilon\nu \Gamma=1+\frac{2p}{R}}


2. Έστω δυο κύκλοι \displaystyle{(O_1,R_1) } και \displaystyle{(O_2,R_2) } διερχόμενοι από δυο σημεία \displaystyle{A} και \displaystyle{B} κι εφαπτόμενοι σε ευθεία \displaystyle{(\varepsilon) }, την οποία τέμνει η \displaystyle{AB} στο σημείο \displaystyle{I}.
α) Να δειχθεί οτι οι ακτίνες \displaystyle{R_1} και \displaystyle{R_2} των κύκλων αυτών δίνονται από τις σχέσεις \displaystyle{R_1=\frac{\alpha+\beta-2\sqrt{\alpha\beta}\sigma\upsilon\nu x}{2\eta\mu x},R_2=\frac{\alpha+\beta+2\sqrt{\alpha\beta}\sigma\upsilon\nu x}{2\eta\mu x}}
όπου \displaystyle{(IA)=\alpha,(IB)=\beta} και \displaystyle{x } είναι η οξεία γωνία την οποία σχηματίζει η \displaystyle{AB } με την \displaystyle{ (\varepsilon)}
β) Να βρεθούν τα \displaystyle{\alpha,\beta,x } εαν γνωρίζουμε τις ακτίνες \displaystyle{R_1} και \displaystyle{R_2} και οτι οι κύκλοι τέμνονται υπό δοθείσα γωνία \displaystyle{ \omega}.


3. Να λυθεί η εξίσωση \displaystyle{\frac{\eta\mu (x+\alpha)}{1+\sigma\upsilon(x+\alpha)}+ \frac{\eta\mu x}{1+\sigma\upsilon x}+ \frac{\eta\mu (x-\alpha)}{1+\sigma\upsilon(x-\alpha)}=0 }.
Εφαρμογή για \displaystyle{\alpha=\frac{\pi}{12}}


Υ.Γ. Όλα τα θέματα έπεσαν (σαν τα 3 από τα 4) και στις εξετάσεις Αλλοδαπών του ΕΜΠ (σχετικά)..


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 874
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: ΕΜΠ 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Κυρ Ιούλ 01, 2018 8:11 pm

parmenides51 έγραψε:
Κυρ Ιαν 26, 2014 10:26 pm
Εξεταστής: Ι. Αργυράκος


1. Θεωρούμε τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} όπου \displaystyle{\widehat{\Gamma}>\widehat{B}}. Έστω \displaystyle{(O,R) } ο περιγεγραμμένος και \displaystyle{(O',p ) } ο εγγεγραμμένος κύκλος αντίστοιχα στο τρίγωνο αυτό. Να δειχθεί οτι
α) αν η \displaystyle{OO'} είναι παράλληλη προς την \displaystyle{B\Gamma} τότε \displaystyle{\sigma\upsilon\nu B+\sigma\upsilon\nu \Gamma=1}
β) αν τα σημεία \displaystyle{O,O' } βρίσκονται εκατέρωθεν της \displaystyle{B\Gamma} και ισαπέχουν από αυτήν, να δειχθεί οτι \displaystyle{\sigma\upsilon\nu B+\sigma\upsilon\nu \Gamma=1+\frac{2p}{R}}
To ίδιο ακριβώς θέμα έπεσε την ίδια χρονιά στην Τριγωνομετρία των Αγρονόμων Τοπογράφων του Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 99#p198032
Ήταν και το τρίτο θέμα του ΠΜΔΜ 1960-1961.
Σύμπτωση ή σκοπιμότητα ; Δεν θα το μάθουμε...
Έχουν περάσει τόσα πολλά χρόνια και οι πρωταγωνιστές του 1963 έφυγαν από τη ζωή...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Εξετάσεις Σχολών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης