ΕΜΠ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΗΜ. ΜΗΧ.

parmenides51 · #1

Εξεταστής: Α. Καλογεράς

1. Κράμα περιέχει τρια μέταλλα, το $\displaystyle{A}$ κατά $\displaystyle{50\%}$ , το $\displaystyle{B}$ κατά $\displaystyle{30\%}$ και το $\displaystyle{\Gamma}$ κατά $\displaystyle{20\%}$ . Δεύτερο κράμα περιέχει μόνο τα μέταλλα $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{\Gamma}$ . Υποθέτουμε οτι , αν δυο μέρη βάρους του πρώτου κράματος αναμιχθούν με ένα μέρος του δευτέρου, τότε στο νέο κράμα ο λόγος μεταξύ των βαρών των μετάλλων $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{ B}$ είναι ο ίδιος με τον λόγο μεταξύ των βαρών των μετάλλων $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{\Gamma}$ . Ζητείται η σύνθεση του δεύτερου κράματος.

2. Να βρεθούν οι πραγματικές λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle{\sqrt[4]{41+x}+ \sqrt[4]{41-x}=4}$

3. Δίνονται οι παραστάσεις $\displaystyle{A=\alpha^2-4\beta^2, B=\alpha^3+8\beta^3, \Gamma=\alpha^2+5\alpha\beta+6\beta^2}$
α) Να βρεθούν ο ΜΚΔ και το ΕΚΠ των παραστάσεων αυτών
β) Να βρεθούν οι αριθμητικές τιμές των παραπάνω παραστάσεων για $\displaystyle{\alpha=6}$ και $\displaystyle{\beta=2}$ καθώς και ο ΜΚΔ και το ΕΚΠ των αριθμητικών αυτών τιμών.
γ) Γιατί οι αριθμητικές τιμές για $\displaystyle{\alpha=6 }$ και $\displaystyle{\beta=2}$ του ΜΚΔ και του ΕΚΠ των δοθείσων παραστάσεων δεν συμπίπτουν με τα αντίστοιχα αποτελέσματα στο (β) ερώτημα;

4. α) Εαν $\displaystyle{\alpha>1}$ και $\displaystyle{\nu}$ φυσικός μεγαλύτερος του $\displaystyle{1}$ , να δειχθεί η ανισότητα $\displaystyle{\frac{\alpha^{\nu}-1}{\alpha-1}>\nu}$ (1).
β) Θεωρώντας γνωστό ότι $\displaystyle{10^{0,3010}<2<10^{0,3011}}$ , να δειχθούν με την βοήθεια της ανισότητας (1)
οι ανισότητες $\displaystyle{2-10^{0,3010}<\frac{2}{1000}}$ και $\displaystyle{10^{0,3011}-2<\frac{2}{1000}}$

kostas_zervos · #2

parmenides51 έγραψε: 2. Να βρεθούν οι πραγματικές λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle{\sqrt[4]{41+x}+ \sqrt[4]{41-x}=4}$

Πρέπει $-41\leq x\leq 41$ .

Έστω $\sqrt[4]{41+x}=a\;,\;\sqrt[4]{41-x}=b$ .

Τότε $a+b=4\;\;\;(1)$ και

$a^4+b^4=41-x+41+x\iff a^4+b^4=82\iff \left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2=82\iff$

$\iff \left[(a+b)^2-2ab\right]^2-2(ab)^2=82\overset{(1)}{\iff}\left(16-2ab)^2-2(ab)^2=82\iff$

$(ab)^2-32(ab)+87=0\iff ab=3$ ή ab=29

.

Αν

, έχουμε το σύστημα $\begin{cases}a+b=4\\ab=3\end{cases}\iff (a,b)=(1,3)$ ή (a,b)=(3,1)

.

Επομένως

$\begin{cases}\sqrt[4]{41+x}=1\\\sqrt[4]{41-x}=3\end{cases}\iff x=-40$ ή

$\begin{cases}\sqrt[4]{41+x}=3\\\sqrt[4]{41-x}=1\end{cases}\iff x=40$ .

Αν ab=29

, έχουμε το σύστημα $\begin{cases}a+b=4\\ab=29\end{cases}$ που είναι αδύνατο στο $\Bbb{R}$ .

apotin · #3

parmenides51 έγραψε: 2. Να βρεθούν οι πραγματικές λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle{\sqrt[4]{41+x}+ \sqrt[4]{41-x}=4}$

και εδώ την έλυσε πάλι ο Κώστας

kostas_zervos · #4

apotin έγραψε:
parmenides51 έγραψε: 2. Να βρεθούν οι πραγματικές λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle{\sqrt[4]{41+x}+ \sqrt[4]{41-x}=4}$
και εδώ την έλυσε πάλι ο Κώστας

(κάτι μου θύμιζε...

) . Μεγαλώσαμε....

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

parmenides51 έγραψε:Εξεταστής: Α. Καλογεράς

1. Κράμα περιέχει τρια μέταλλα, το $\displaystyle{A}$ κατά $\displaystyle{50\%}$ , το $\displaystyle{B}$ κατά $\displaystyle{30\%}$ και το $\displaystyle{\Gamma}$ κατά $\displaystyle{20\%}$ . Δεύτερο κράμα περιέχει μόνο τα μέταλλα $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{\Gamma}$ . Υποθέτουμε οτι , αν δυο μέρη βάρους του πρώτου κράματος αναμιχθούν με ένα μέρος του δευτέρου, τότε στο νέο κράμα ο λόγος μεταξύ των βαρών των μετάλλων $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{ B}$ είναι ο ίδιος με τον λόγο μεταξύ των βαρών των μετάλλων $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{\Gamma}$ . Ζητείται η σύνθεση του δεύτερου κράματος.

Aς βάλουμε , χάριν απλότητας ,

κιλά από το πρώτο κράμα και

κιλό από το δεύτερο.
Ας υποθέσουμε ότι στο

κιλό από το δεύτερο υπάρχουν

κιλά από το μέταλλο

και

κιλά από το μέταλλο $\Gamma$ .
Τότε στα

κιλά που προκύπτουν από την ανάμειξη των δύο κραμάτων υπάρχουν

κιλό από το

,

κιλά από το

και

κιλά από το $\Gamma$ .

Σύμφωνα με τα δεδομένα , ισχύει
$\frac{1}{0.6+x}=\frac{0.6+x}{0.4+y}$

Φυσικά ισχύει ότι x+y=1

.

Aν λύσουμε τη δεύτερη εξίσωση ως προς

, αντικαταστήσουμε στην πρώτη , έχουμε να λύσουμε τη δευτεροβάθμια εξίσωση
$x^{2}+2.2x-1.04=0$
H εξίσωση αυτή έχει μια αρνητική λύση , που φυσικά απορρίπτεται , και μια θετική , x=0.4

, που γίνεται δεκτή.
Άρα y=1-0.4=0.6

.

Η σύνθεση του δεύτερου κράματος είναι :

τοις εκατό μέταλλο

.

τοις εκατό μέταλλο $\Gamma$ .

gauss1988 · #6

parmenides51 έγραψε:3. Δίνονται οι παραστάσεις $\displaystyle{A=\alpha^2-4\beta^2, B=\alpha^3+8\beta^3, \Gamma=\alpha^2+5\alpha\beta+6\beta^2}$
α) Να βρεθούν ο ΜΚΔ και το ΕΚΠ των παραστάσεων αυτών
β) Να βρεθούν οι αριθμητικές τιμές των παραπάνω παραστάσεων για $\displaystyle{\alpha=6}$ και $\displaystyle{\beta=2}$ καθώς και ο ΜΚΔ και το ΕΚΠ των αριθμητικών αυτών τιμών.
γ) Γιατί οι αριθμητικές τιμές για $\displaystyle{\alpha=6 }$ και $\displaystyle{\beta=2}$ του ΜΚΔ και του ΕΚΠ των δοθείσων παραστάσεων δεν συμπίπτουν με τα αντίστοιχα αποτελέσματα στο (β) ερώτημα;

α. $A=(a-2b)(a+2b) , B=(a+2b)(a^{2} -2ab+4b^{2}) , \Gamma =(a+2b)(a+3b)$
Ο ΜΚΔ είναι a+2b

και το ΕΚΠ είναι $(a-2b)(α+2b)(a+3b)(a^{2}-2ab+4b^{2})$

β. $A=20 , B=280 , \Gamma =120$ . Ο ΜΚΔ είναι το

και το ΕΚΠ είναι το 1680

.

γ. Για a=6 , b=2

, είναι $A=2.10 , B=10.28 , \Gamma =10.12$ . Το ότι προκύπτει ότι το

είναι κοινός διαιρέτης των $A,B,\Gamma$ , προφανώς δεν σημαινει ότι είναι ο ΜΚΔ, αφού οι υπόλοιποι παράγοντες είναι όλοι τους πολλαπλάσια του

. Δηλαδή ο ΜΚΔ είναι το 10.2 = 20

.
Κάτι ανάλογο γίνεται και με το ΕΚΠ

ΕΜΠ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΗΜ. ΜΗΧ.

ΕΜΠ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΗΜ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΗΜ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΗΜ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΗΜ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΗΜ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΗΜ. ΜΗΧ.

Μέλη σε σύνδεση