ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΓΡΟΝΟΜΟΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΟΙ

parmenides51 · #1

Εξεταστές: Φαιδρός - Σφήκας

1. Εαν είναι $\displaystyle{\varepsilon\phi x=\frac{2\beta}{\alpha-\gamma}}$ , να υπολογισθούν τα $\displaystyle{y,z}$ που ορίζονται από τις σχέσεις
$\displaystyle{y=\alpha\eta\mu^2x+2\sigma\upsilon\nu \alpha\sigma\upsilon\nu \beta+\gamma \sigma\upsilon\nu^2x}$
$\displaystyle{z=\alpha\sigma\upsilon\nu^2x-2\sigma\upsilon\nu \alpha\sigma\upsilon\nu \beta+\gamma\eta\mu^2x}$

2. Να υπολογισθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί του τόξου $\displaystyle{\frac{\pi}{12}}$ και να αποδειχθεί η σχέση $\displaystyle{\varepsilon\phi^2\frac{\pi}{12} +\varepsilon\phi^2\frac{5\pi}{12}=14 }$ .

3. Εαν $\displaystyle{(O,R)}$ και $\displaystyle{(O',R')}$ είναι ο περιγεγραμμένος και εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου $\displaystyle{ AB\Gamma}$ αντίστοιχα, να αποδειχθεί οτι
α) εαν η ευθεία που συνδέει τα κέντρα $\displaystyle{O,O'}$ είναι παράλληλη προς την $\displaystyle{B\Gamma}$ τότε $\displaystyle{ \sigma\upsilon\nu B+\sigma\upsilon\nu\Gamma=1}$
β) εαν τα $\displaystyle{O,O'}$ ισαπέχουν από την $\displaystyle{B\Gamma}$ και βρίσκονται εκατέρωθεν της, τότε θα είναι $\displaystyle{ \sigma\upsilon\nu B+\sigma\upsilon\nu\Gamma=1+\frac{2R'}{R}}$

4. Εαν οι $\displaystyle{\frac{\pi}{7},\frac{2\pi}{7},\frac{4\pi}{7}}$ αποτελούν γωνίες τριγώνου, να αποδειχθεί οτι $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu \frac{\pi}{7}\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi}{7}\sigma\upsilon\nu\frac{4\pi}{7} =-\frac{1}{8}}$

hlkampel · #2

parmenides51 έγραψε:2. Να υπολογισθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί του τόξου $\displaystyle{\frac{\pi}{12}}$ και να αποδειχθεί η σχέση $\displaystyle{\varepsilon\phi^2\frac{\pi}{12} +\varepsilon\phi^2\frac{5\pi}{12}=14 }$ .

$\displaystyle\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{6} = 2\sigma \upsilon {\nu ^2}\frac{\pi }{{12}} - 1 \Leftrightarrow \sigma \upsilon {\nu ^2}\frac{\pi }{{12}} = \frac{{\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{6} + 1}}{2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle\sigma \upsilon {\nu ^2}\frac{\pi }{{12}} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2} + 1}}{2} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{{12}} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{2}$

$\displaystyle\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{6} = 1 - 2\eta {\mu ^2}\frac{\pi }{{12}} \Leftrightarrow \eta {\mu ^2}\frac{\pi }{{12}} = \frac{{1 - \sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{6}}}{2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle\eta {\mu ^2}\frac{\pi }{{12}} = \frac{{1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{2} \Leftrightarrow \eta \mu \frac{\pi }{{12}} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{2}$

$\displaystyle{\varepsilon \varphi \frac{\pi }{{12}} = \frac{{\eta \mu \frac{\pi }{{12}}}}{{\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{{12}}}} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}}$

$\displaystyle{\sigma \varphi \frac{\pi }{{12}} = \frac{{\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{{12}}}}{{\eta \mu \frac{\pi }{{12}}}} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}}$

Είναι $\displaystyle\frac{\pi }{{12}} + \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \frac{{5\pi }}{{12}} = \sigma \varphi \frac{\pi }{{12}} \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}$

$\displaystyle\varepsilon {\varphi ^2}\frac{\pi }{{12}} + \varepsilon {\varphi ^2}\frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }} + \frac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }} = \frac{{4 - 2\sqrt 3 + 3 + 4 + 2\sqrt 3 + 3}}{{4 - 3}} = 14$

gauss1988 · #3

parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Φαιδρός - Σφήκας

1. Εαν είναι $\displaystyle{\varepsilon\phi x=\frac{2\beta}{\alpha-\gamma}}$ , να υπολογισθούν τα $\displaystyle{y,z}$ που ορίζονται από τις σχέσεις
$\displaystyle{y=\alpha\eta\mu^2x+2\sigma\upsilon\nu \alpha\sigma\upsilon\nu \beta+\gamma \sigma\upsilon\nu^2x}$
$\displaystyle{z=\alpha\sigma\upsilon\nu^2x-2\sigma\upsilon\nu \alpha\sigma\upsilon\nu \beta+\gamma\eta\mu^2x}$

Προσθέτουμε καtά μέλη: $y+z=a+\gamma$ $\rightarrow (1)$
Aφαιρούμε κατά μέλη και γνωρίζοντας ότι $\sigma\upsilon\n ^2 x=\frac{1}{1+\epsilon\phi ^2 x} , \eta\mu ^2 x=\frac{\epsilon\phi ^2 x}{1+\epsilon\phi ^2 x}$ , βρίσκουμε

$y-z=4\sigma\upsilon\nu a\sigma\upsilon\nu\beta -(a-\gamma)\frac{(a-\gamma)^2 -4\beta ^2}{(a-\gamma)^2 +4\beta ^2}$ $\rightarrow (2)$

Aπό (1),(2) με πρόσθεση και αφαίρεση κατά μέλη, θα βρούμε τα y,z

pito · #4

parmenides51 έγραψε: 4. Εαν οι $\displaystyle{\frac{\pi}{7},\frac{2\pi}{7},\frac{4\pi}{7}}$ αποτελούν γωνίες τριγώνου, να αποδειχθεί οτι $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu \frac{\pi}{7}\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi}{7}\sigma\upsilon\nu\frac{4\pi}{7} =-\frac{1}{8}}$

Είναι $\displaystyle\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{7}\sigma \upsilon \nu \frac{2\pi }{7}\sigma \upsilon \nu \frac{4\pi }{7}=\frac{\eta \mu \frac{2\pi }{7}}{2\eta \mu \frac{\pi }{7}}\frac{\eta \mu \frac{4\pi }{7}}{2\eta \mu \frac{2\pi }{7}}\frac{\eta \mu \frac{8\pi }{7}}{2\eta \mu \frac{4\pi }{7}}=\frac{\eta \mu \frac{8\pi }{7}}{8\eta \mu \frac{\pi }{7}}=\frac{\eta \mu (\pi +\frac{\pi }{7})}{8\eta \mu \frac{\pi }{7}}=\frac{-\eta \mu \frac{\pi }{7}}{8\eta \mu \frac{\pi }{7}}=-\frac{1}{8}$

όπου χρησιμοποιήθηκε η σχέση $\sigma \upsilon \nu a=\frac{\eta \mu 2\alpha }{2\eta \mu \alpha }$ , όπου και $\eta \mu \alpha \neq 0,\alpha =\frac{\pi }{7},\frac{2\pi }{7},\frac{4\pi }{7}$ , αφού αυτές ως γωνίες τριγώνου δεν μπορεί να είναι ούτε $0^{o}$ , ούτε $180^{o}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Φαιδρός - Σφήκας

3. Εαν $\displaystyle{(O,R)}$ και $\displaystyle{(O',R')}$ είναι ο περιγεγραμμένος και εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου $\displaystyle{ AB\Gamma}$ αντίστοιχα, να αποδειχθεί οτι
α) εαν η ευθεία που συνδέει τα κέντρα $\displaystyle{O,O'}$ είναι παράλληλη προς την $\displaystyle{B\Gamma}$ τότε $\displaystyle{ \sigma\upsilon\nu B+\sigma\upsilon\nu\Gamma=1}$
β) εαν τα $\displaystyle{O,O'}$ ισαπέχουν από την $\displaystyle{B\Gamma}$ και βρίσκονται εκατέρωθεν της, τότε θα είναι $\displaystyle{ \sigma\upsilon\nu B+\sigma\upsilon\nu\Gamma=1+\frac{2R'}{R}}$

Η λύση στην παρακάτω δημοσίευση.Πρόκειται για το τρίτο θέμα. Εντύπωση κάνει το γεγονός ότι οι θεματοδέτες πήραν αυτούσιο θέμα από το διαγωνισμό της ΕΜΕ για να το βάλουν σε εισαγωγικές εξετάσεις....
viewtopic.php?f=58&t=38373

ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΓΡΟΝΟΜΟΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΟΙ

ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΓΡΟΝΟΜΟΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΟΙ

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΓΡΟΝΟΜΟΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΟΙ

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΓΡΟΝΟΜΟΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΟΙ

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΓΡΟΝΟΜΟΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΟΙ

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΓΡΟΝΟΜΟΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΟΙ

Μέλη σε σύνδεση