ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1977 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Ιστοσελίδα · #1

Ζήτημα 1ο: Δίνεται γωνία $x\widehat{O}y=60^{\circ}$ και

εσωτερικό αυτής.
Φέρνουμε $MA\perp Ox$ και $MB\perp Oy ,$ με $MA=\alpha$ και $MB=\beta.$
Να υπολογιστεί το μήκος της

συναρτήσει των $\alpha , \beta .$

Ζήτημα 2ο: Δίνεται τετράγωνο $AB\varGamma\varDelta$ πλευράς a=4cm .

α) Να εγγραφούν εντός αυτού τέσσερις κύκλοι εφαπτόμενοι ανά δύο μεταξύ των και ο καθένας
να εφάπτεται στο μέσο εκάστης πλευράς του τετραγώνου.
β) Να υπολογιστεί και η ακτίνα $\rho$ των κύκλων αυτών.

Ζήτημα 3ο: Δίδονται τα ευθύγραμμα τμήματα

και $\varGamma\varDelta,$ μη κείμενα επί του
αυτού επιπέδου. Ενώνουμε τα μέσα

και

των

και $\varGamma\varDelta$ αντιστοίχως.
Να δειχθεί ότι: $\dfrac{A\varDelta+B\varGamma}{2}>MN .$

#2

stranton έγραψε:Ζήτημα 1ο: Δίνεται γωνία $x\widehat{O}y=60^{\circ}$ και εσωτερικό αυτής.
Φέρνουμε $MA\perp Ox$ και $MB\perp Oy ,$ με $MA=\alpha$ και $MB=\beta.$
Να υπολογιστεί το μήκος της συναρτήσει των $\alpha , \beta .$

: 1977.png (20.14 KiB) Προβλήθηκε 2583 φορές

$Z\equiv Ox\cap MB,\quad H\equiv Oy\cap MA$

MZA=30^o,BHM=30^o

, τα

γνωστά

με την $\epsilon \phi 60^o$ υπολογίζουμε τα OA,OB

(από τα τρίγωνα OBZ,OAH

)

Στο $\vartriangle OAH$ με θεώρημα Stewart

έχουμε

$MH\cdot OA^2+MA\cdot OH^2=AH\cdot OM^2+MA\cdot MH\cdot AH\Rightarrow \dots \Rightarrow$

$\displaystyle OM=\frac{2\sqrt 3}{3}\sqrt{a^2+a\beta+\beta^2}$

dkaramperis · #3

Στα τρία συνημμένα είναι οι λύσεις και των τριών θεμάτων, όπως τα έλυσα στις εισαγωγικές εξετάσεις του 1977 και βαθμολογήθηκα με 20.
Δημήτριος Καραμπέρης

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1977 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1977 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1977 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1977 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση