ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τρί Νοέμ 12, 2013 8:38 am

1. Να λυθεί η εξίσωση \displaystyle{\frac{x-\alpha-1}{x-\alpha-2}-\frac{x-\alpha}{x-\alpha-1}=\frac{x-\beta-1}{x-\beta-2}-\frac{x-\beta}{x-\beta-1}}


2. Να λυθεί το σύστημα \displaystyle{\begin{cases} 
x^2+y^2=100 \\  
xy=w \\ 
x+y=14 
\end{cases} }


3.Να λυθεί το σύστημα \displaystyle{\begin{cases} 
x(x+y)+y(x-y)=158 \\  
7x(x+y)-72y(x-y)=0 
\end{cases} }


Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Τρί Νοέμ 12, 2013 4:16 pm

Μια γρήγορη λύση για το δεύτερο.

2.
\displaystyle{x^2+y^2=100\Leftrightarrow x^2+y^2 -2xy+2xy=10^2 \Leftrightarrow (\underbrace{x+y}_{14})^2 -2 xy=10^2\Leftrightarrow 14^2-2xy=10^2 \Leftrightarrow 2xy = 14^2-10^2\Leftrightarrow  }

\displaystyle{ 2xy= (14-10)(14+10)\Leftrightarrow 2xy=4\cdot 24\Leftrightarrow xy=48}, έτσι λοιπόν w=48 και η τομή της ευθείας y=14-x με τον κύκλο κέντρου (0,0) και ακτίνας 10 είναι τα σημεία (6,8) και (8,6). Άρα \displaystyle{(x,y,w)=(6,8,48)\bigvee(8,6,48)}.


What's wrong with a Greek in Hamburg?
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8967
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 19, 2013 10:24 am

parmenides51 έγραψε: 2. Να λυθεί το σύστημα \displaystyle{\begin{cases} 
x^2+y^2=100 \\  
xy=w \\ 
x+y=14 
\end{cases} }
Για το \displaystyle{\omega } η λύση είναι όπως και παραπάνω:
\displaystyle{{x^2} + {y^2} = {(x + y)^2} - 2xy \Leftrightarrow 100 = 196 - 2\omega  \Leftrightarrow \omega  = 48.}

Αφού \displaystyle{x + y = 14} και \displaystyle{xy = 48}, οι αριθμοί x,y είναι ρίζες της εξίσωσης:
\displaystyle{{z^2} - 14z + 48 = 0 \Leftrightarrow {z_1} = 6,{z_2} = 8}
Άρα (x=6, y=8) ή (x=8, y=6).


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8967
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 19, 2013 11:03 am

parmenides51 έγραψε:1. Να λυθεί η εξίσωση \displaystyle{\frac{x-\alpha-1}{x-\alpha-2}-\frac{x-\alpha}{x-\alpha-1}=\frac{x-\beta-1}{x-\beta-2}-\frac{x-\beta}{x-\beta-1}}
Θέτω \displaystyle{x - \alpha  - 2 = y} και \displaystyle{x - \beta  - 2 = z}, οπότε η εξίσωση γράφεται:

\displaystyle{\frac{{y + 1}}{y} - \frac{{y + 2}}{{y + 1}} = \frac{{z + 1}}{z} - \frac{{z + 2}}{{z + 1}} \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{y} - 1 - \frac{1}{{y + 1}} = 1 + \frac{1}{z} - 1 - \frac{1}{{z + 1}}}

\displaystyle{\frac{1}{y} - \frac{1}{{y + 1}} = \frac{1}{z} - \frac{1}{{z + 1}}} με \displaystyle{y \ne 0,y \ne  - 1,z \ne 0,z \ne  - 1}.

\displaystyle{\frac{1}{{{y^2} + y}} = \frac{1}{{{z^2} + z}} \Leftrightarrow (y - z)(y + z + 1) = 0 \Leftrightarrow y = z} ή \displaystyle{y + z + 1 = 0}.

Αν \displaystyle{y = z} τότε προκύπτει ότι \displaystyle{a = \beta } και η εξίσωση ισχύει για κάθε \displaystyle{x \in R - \left\{ {a + 1,a + 2} \right\}}

Αν \displaystyle{y + z + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{a + \beta  + 3}}{2}} και λόγω των περιορισμών \displaystyle{a - \beta  \ne  \pm 1}.


Άβαταρ μέλους
Paolos
Δημοσιεύσεις: 172
Εγγραφή: Παρ Δεκ 28, 2012 9:57 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Paolos » Τετ Νοέμ 20, 2013 11:48 pm

Να λυθεί η εξίσωση \displaystyle{\frac{x-\alpha-1}{x-\alpha-2}-\frac{x-\alpha}{x-\alpha-1}=\frac{x-\beta-1}{x-\beta-2}-\frac{x-\beta}{x-\beta-1}}

Μια παρόμοια λύση
Θέτουμε
\displaystyle{x-a=k\,\,\,,\,\,\,x-b=m}.
Η αρχική εξίσωση γίνεται:
\displaystyle{\frac{k-1}{k-2}-\frac{k}{k-1}=\frac{m-1}{m-2}-\frac{m}{m-1}}
\displaystyle{\frac{{{\left( k-1 \right)}^{2}}-k(k-2)}{\left( k-1 \right)\left( k-2 \right)}=\frac{{{\left( m-1 \right)}^{2}}-m(m-2)}{\left( m-1 \right)\left( m-2 \right)}}
\displaystyle{\frac{1}{\left( k-1 \right)\left( k-2 \right)}=\frac{1}{\left( m-1 \right)\left( m-2 \right)}}
\displaystyle{\left( k-1 \right)\left( k-2 \right)=\left( m-1 \right)\left( m-2 \right)}
\displaystyle{{{k}^{2}}-{{m}^{2}}=3(k-m)}
\displaystyle{(k-m)(k+m-3)=0}
\displaystyle{k=m\vee k+m-3=0}.

Από τη σχέση \displaystyle{k=m} προκύπτει ότι \displaystyle{a=b} και η αρχική εξίσωση είναι αόριστη, για \displaystyle{x\ne a+1,a+2.}

Από τη σχέση \displaystyle{k+m-3=0} προκύπτει ότι \displaystyle{x=\frac{a+b+3}{2}}.


\sqrt{{{\mathsf{(\Pi \alpha  \acute{\upsilon} \lambda o\varsigma )}}^{\mathsf{2}}}\mathsf{+(\ T \rho \acute{\upsilon} \varphi \omega \nu }{{\mathsf{)}}^{\mathsf{2}}}}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8967
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 21, 2013 1:20 pm

parmenides51 έγραψε:
3.Να λυθεί το σύστημα \displaystyle{\begin{cases} 
x(x+y)+y(x-y)=158 \\  
7x(x+y)-72y(x-y)=0 
\end{cases} }
Εύκολα διαπιστώνουμε ότι \displaystyle{y \ne 0}.
Θέτω \displaystyle{x = ay} και η δεύτερη εξίσωση του συστήματος γράφεται:

\displaystyle{7a{y^2}(a + 1) = 72{y^2}(a - 1) \Leftrightarrow 7{a^2} - 65a + 72 = 0}.
Άρα \displaystyle{a = 8} ή \displaystyle{a = \frac{9}{7}}.

Για \displaystyle{a = 8}, είναι \displaystyle{x = 8y} και αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση βρίσκουμε:

\displaystyle{79{y^2} = 158 \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt 2 }. Έχουμε λοιπόν τις λύσεις:

\displaystyle{(x,y) = \left( {8\sqrt 2 ,\sqrt 2 } \right),y\left( { - 8\sqrt 2 , - \sqrt 2 } \right)}

Για \displaystyle{a = \frac{9}{7}}, είναι \displaystyle{x = \frac{9}{7}y} και η πρώτη εξίσωση δίνει \displaystyle{y =  \pm 7}, οπότε βρίσκουμε τις λύσεις

\displaystyle{(x,y) = (9,7),( - 9, - 7)}
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Πέμ Νοέμ 21, 2013 3:48 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Paolos
Δημοσιεύσεις: 172
Εγγραφή: Παρ Δεκ 28, 2012 9:57 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Paolos » Πέμ Νοέμ 21, 2013 1:27 pm

3.Να λυθεί το σύστημα \displaystyle{\begin{cases} 
x(x+y)+y(x-y)=158 \\  
7x(x+y)-72y(x-y)=0 
\end{cases} }
\displaystyle{x(x+y)+y(x-y)=158\,\,\,\,(1)}
\displaystyle{7x(x+y)-72y(x-y)=0\,\,\,\,(2)}


Πολλαπλασιάζουμε την \displaystyle{(1)} με \displaystyle{-7}

\displaystyle{-7x(x+y)-7y(x-y)=-7\cdot 158\,\,\,\,(3)}.

Από \displaystyle{(2)+(3)\Rightarrow -79y(x-y)=-7\cdot 158\Rightarrow y(x-y)=14.}

Πολλαπλασιάζουμε την \displaystyle{(1)} με \displaystyle{72} και προσθέτουμε το αποτέλεσμα στην \displaystyle{(2)}.
Προκύπτει:
\displaystyle{x(x+y)=144.}

Έτσι έχουμε:
\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} 
x(x + y) = 144\\ 
y(x - y) = 14 
\end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
xy + {x^2} = 144\\ 
xy - {y^2} = 14 
\end{array} \right\} \Rightarrow 14 + {y^2} = 144 - {x^2} \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 130 \Rightarrow }

\displaystyle{{{(x+y)}^{2}}-2xy=130\Rightarrow {{\left( \frac{144}{x} \right)}^{2}}-2\left( 144-{{x}^{2}} \right)=130\Rightarrow {{x}^{4}}-209{{x}^{2}}+10368=0}.
Λύνοντας τη διτετράγωνη εξίσωση βρίσκουμε
\displaystyle{\left( {{x}^{2}}=128\vee {{x}^{2}}=81 \right)\Rightarrow \left( {{y}^{2}}=2\vee {{y}^{2}}=49 \right).}
Από τη σχέση \displaystyle{y(x-y)=14\Rightarrow xy={{y}^{2}}+14>0\Rightarrow x,y} ομόσημα.
Άρα
\displaystyle{(x,y)=(8\sqrt{2},\sqrt{2})\vee (-8\sqrt{2},-\sqrt{2})\vee (9,7)\vee (-9,-7).}


\sqrt{{{\mathsf{(\Pi \alpha  \acute{\upsilon} \lambda o\varsigma )}}^{\mathsf{2}}}\mathsf{+(\ T \rho \acute{\upsilon} \varphi \omega \nu }{{\mathsf{)}}^{\mathsf{2}}}}
Άβαταρ μέλους
Paolos
Δημοσιεύσεις: 172
Εγγραφή: Παρ Δεκ 28, 2012 9:57 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Paolos » Πέμ Νοέμ 21, 2013 1:30 pm

Γιώργο καλημέρα.
Ίσως κάπου διαφέρουν τα αποτελέσματά μας.
Θα την ξανακοιτάξω όταν βρω χρόνο..


\sqrt{{{\mathsf{(\Pi \alpha  \acute{\upsilon} \lambda o\varsigma )}}^{\mathsf{2}}}\mathsf{+(\ T \rho \acute{\upsilon} \varphi \omega \nu }{{\mathsf{)}}^{\mathsf{2}}}}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8967
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 21, 2013 3:38 pm

Paolos έγραψε:Γιώργο καλημέρα.
Ίσως κάπου διαφέρουν τα αποτελέσματά μας.
Θα την ξανακοιτάξω όταν βρω χρόνο..
Καλημέρα,
Εσύ σωστά το βρήκες.Εγώ πρέπει να έχω κάνει λάθος.
Θα κοιτάξω να το διορθώσω.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Εξετάσεις Σχολών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης