ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1976 ΑΛΓΕΒΡΑ

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1976 ΑΛΓΕΒΡΑ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Παρ Νοέμ 22, 2013 9:35 pm

1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση \displaystyle{\alpha^4-\beta^4+2\alpha\beta(\alpha^2-\beta^2)}


2. Για ποιες τιμές του \displaystyle{\lambda} οι ρίζες \displaystyle{\rho_1,\rho_2} της εξίσωσης \displaystyle{f(x)=x^2-(\lambda+2)x+2=0}
πληρούν την σχέση \displaystyle{\rho_1^2+\rho_2^2=5} ;


3. Να βρεθούν οι αριθμοί \displaystyle{x,y,z} εαν είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου,
εαν οι \displaystyle{x,z,y} είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και αληθεύει η ισότητα \displaystyle{x+y+z=17}.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8967
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1976 ΑΛΓΕΒΡΑ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Νοέμ 22, 2013 9:44 pm

parmenides51 έγραψε:1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση \displaystyle{\alpha^4-\beta^4+2\alpha\beta(\alpha^2-\beta^2)}
\displaystyle{{\alpha ^4} - {\beta ^4} + 2\alpha \beta ({\alpha ^2} - {\beta ^2}) = ({\alpha ^2} - {\beta ^2})({\alpha ^2} + {\beta ^2}) + 2\alpha \beta ({\alpha ^2} - {\beta ^2}) = }

\displaystyle{({\alpha ^2} - {\beta ^2})({\alpha ^2} + {\beta ^2} + 2\alpha \beta ) = (\alpha  - \beta )(\alpha  + \beta ){(\alpha  + \beta )^2} = (\alpha  - \beta ){(\alpha  + \beta )^3}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8967
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1976 ΑΛΓΕΒΡΑ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Νοέμ 22, 2013 9:55 pm

parmenides51 έγραψε: 2. Για ποιες τιμές του \displaystyle{\lambda} οι ρίζες \displaystyle{\rho_1,\rho_2} της εξίσωσης \displaystyle{f(x)=x^2-(\lambda+2)x+2=0}
πληρούν την σχέση \displaystyle{\rho_1^2+\rho_2^2=5};
Από τύπους Vieta έχουμε \displaystyle{{\rho _1} + {\rho _2} = \lambda  + 2} και \displaystyle{{\rho _1}{\rho _2} = 2}.

\displaystyle{\rho_1^2+\rho_2^2=5}\displaystyle{ \Leftrightarrow {({\rho _1} + {\rho _2})^2} - 2{\rho _1}{\rho _2} = 5 \Leftrightarrow {(\lambda  + 2)^2} - 4 = 5 \Leftrightarrow {\lambda ^2} + 4\lambda  - 5 = 0},

απ' όπου \displaystyle{\lambda  = 1} ή \displaystyle{\lambda  =  - 5}.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8967
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1976 ΑΛΓΕΒΡΑ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Νοέμ 22, 2013 10:23 pm

parmenides51 έγραψε: 3. Να βρεθούν οι αριθμοί \displaystyle{x,y,z} εαν είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου,
εαν οι \displaystyle{x,z,y} είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και αληθεύει η ισότητα \displaystyle{x+y+z=17}.
Από υπόθεση είναι
\displaystyle{2y = x + z,{z^2} = xy} και \displaystyle{x+y+z=17}.
Από την πρώτη και τρίτη εξίσωση με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει άμεσα ότι \displaystyle{y = \frac{{17}}{3}}.
Άρα \displaystyle{x = \frac{{34}}{3} - z \Leftrightarrow {z^2} = \left( {\frac{{34}}{3} - z} \right) \cdot \frac{{17}}{3} \Leftrightarrow 9{z^2} + 51z - 578 = 0}, απ' όπου (όποιος αντέξει να κάνεις τις πράξεις χωρίς κομπιουτεράκι) βρίσκουμε \displaystyle{z = \frac{{17}}{3}} ή \displaystyle{z =  - \frac{{34}}{3}}.

Οπότε έχουμε τις λύσεις \displaystyle{(x,y,z) = \left( {\frac{{17}}{3},\frac{{17}}{3},\frac{{17}}{3}} \right)} ή \displaystyle{\left( {\frac{{68}}{3},\frac{{17}}{3}, - \frac{{34}}{3}} \right)}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Εξετάσεις Σχολών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης