ΔΟΚΙΜΩΝ 1931 - ΑΛΓΕΒΡΑ
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
ΔΟΚΙΜΩΝ 1931 - ΑΛΓΕΒΡΑ
1. Να λυθεί η εξίσωση
2. Μετά από πόσα έτη ένα κεφάλαιο δραχμών αναλογιζόμενο προς γίνεται δρχ ;
(εαν ο αριθμός των ετών δεν είναι ακέραιος να βρεθεί και το κλάσμα)
3. Να μετατραπεί διπλό ριζικό σε αλγεβρικό άθροισμα απλών ριζικών.
4. Πότε η διαίρεση είναι τέλεια;
Να βρεθεί το πηλίκο χωρίς να εκτελεσθεί η διαίρεση.
2. Μετά από πόσα έτη ένα κεφάλαιο δραχμών αναλογιζόμενο προς γίνεται δρχ ;
(εαν ο αριθμός των ετών δεν είναι ακέραιος να βρεθεί και το κλάσμα)
3. Να μετατραπεί διπλό ριζικό σε αλγεβρικό άθροισμα απλών ριζικών.
4. Πότε η διαίρεση είναι τέλεια;
Να βρεθεί το πηλίκο χωρίς να εκτελεσθεί η διαίρεση.
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: ΔΟΚΙΜΩΝ 1931 - ΑΛΓΕΒΡΑ
Ισχύουν και .parmenides51 έγραψε: 1. Να λυθεί η εξίσωση
Αν έχουμε την εξίσωση
Αν έχουμε ισοδύναμα
. Αφού η εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού με διακρίνουσα
Αν τότε και η εξίσωση έχει ρίζες
Αν τότε και η εξίσωση έχει ρίζες
Γιώργος
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: ΔΟΚΙΜΩΝ 1931 - ΑΛΓΕΒΡΑ
Έστω . Για να είναι η διαίρεση τέλεια, πρέπει και αρκείparmenides51 έγραψε: 4. Πότε η διαίρεση είναι τέλεια;
Να βρεθεί το πηλίκο χωρίς να εκτελεσθεί η διαίρεση.
.
Στην περίπτωση αυτή ισχύει η ταυτότητα
άρα το πηλίκο είναι το
Γιώργος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: ΔΟΚΙΜΩΝ 1931 - ΑΛΓΕΒΡΑ
Έστω ότι θέλουμε να μετατρέψουμε το διπλό ριζικό σε αλγεβρικό άθροισμα δύο απλών ριζικών.parmenides51 έγραψε:3. Να μετατραπεί διπλό ριζικό σε αλγεβρικό άθροισμα απλών ριζικών.
(Όπου ρητοί αριθμοί με )
Ζητάμε λοιπόν να βρούμε δύο (μη αρνητικούς) αριθμούς και , έτσι ώστε να είναι:
Άρα πρέπει:
και , δηλαδή και
Συνεπώς τα είναι οι ρίζες της εξίσωσης
Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι . Για να υπάρχουν ρίζες ρητές, πρέπει ο αριθμός
να είναι τέλειο τετράγωνο ρητού. Δηλαδή
Τότε έχουμε , από όπου και προκύπτει ότι:
, με
- Καρδαμίτσης Σπύρος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2338
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
- Επικοινωνία:
Re: ΔΟΚΙΜΩΝ 1931 - ΑΛΓΕΒΡΑ
Ένας προβληματισμός ;
Γιατί από την ισότητα
Προκύπτουν οι ισότητες
και ;
Γιατί από την ισότητα
Προκύπτουν οι ισότητες
και ;
Καρδαμίτσης Σπύρος
Re: ΔΟΚΙΜΩΝ 1931 - ΑΛΓΕΒΡΑ
Καλημέρα Σπύρο ,γράφω κάποιες σκέψεις.Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Ένας προβληματισμός ;
Γιατί από την ισότητα
Προκύπτουν οι ισότητες
και ;
Αν ,με ρητοί, άρρητοι,τότε
Έχουμε
Αν , ρητός ---> άτοπο
άρα
Φωτεινή Καλδή
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: ΔΟΚΙΜΩΝ 1931 - ΑΛΓΕΒΡΑ
Καλημέρα Φωτεινή και Σπύρο.Φωτεινή έγραψε:Καλημέρα Σπύρο ,γράφω κάποιες σκέψεις.Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Ένας προβληματισμός ;
Γιατί από την ισότητα
Προκύπτουν οι ισότητες
και ;
Αν ,με θετικοί ρητοί, άρρητοι,τότε
Έχουμε
Αν , ρητός ---> άτοπο
άρα
Ακριβώς Φωτεινή έτσι έχουν τα πράγματα. Στο μεταξύ, δεν θα μπορούσε ο να ήταν ρητός, γιατί τότε δεν θα
ήταν διπλό το αρχικό ριζικό. Και βέβαια ούτε και ο θα μπορούσε να ήταν ρητός, γιατί τότε θα έπρεπε να ήταν
ρητός και ο , πράγμα άτοπο από την υπόθεση.
- Καρδαμίτσης Σπύρος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2338
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
- Επικοινωνία:
Re: ΔΟΚΙΜΩΝ 1931 - ΑΛΓΕΒΡΑ
Ωραία, έθεσα τον προβληματισμό γιατί δεν αναφέρεται πουθενά στα σχολικά βιβλία, συνεπώς η πιθανή χρήση του μέσα στην σχολική τάξη θα πρέπει να ακολουθείται από την απόδειξή του όπως κάνατε.
Ευχαριστώ για την ενασχόλησή σας
Ευχαριστώ για την ενασχόλησή σας
Καρδαμίτσης Σπύρος
-
- Δημοσιεύσεις: 1291
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: ΔΟΚΙΜΩΝ 1931 - ΑΛΓΕΒΡΑ
Ας λυθεί κι αυτό να μην παραπονιέται...parmenides51 έγραψε: 2. Μετά από πόσα έτη ένα κεφάλαιο δραχμών ανατοκιζόμενο προς γίνεται δρχ ;
(εαν ο αριθμός των ετών δεν είναι ακέραιος να βρεθεί και το κλάσμα)
Είναι πολύ πιθανό η απάντηση που ζητούσαν οι εξεταστές να ήθελε να λυθεί το πρόβλημα σε ρεαλιστική βάση , δηλαδή ως πρόβλημα σύνθετου και όχι απλού τόκου. Νομίζω ότι αξίζει τον κόπο να το δούμε έτσι...
Ας ξεκινήσουμε με τον τύπο του ανατοκισμού . Αν είναι το τελικό κεφάλαιο , το αρχικό κεφάλαιο και το επιτόκιο , τότε ισχύει ότι , όπου ο αριθμός των ετών που μεσολαβούν έτσι ώστε το αρχικό κεφάλαιο να φτάσει στο ύψος του τελικού κεφαλαίου.
Έτσι λοιπόν ισχύει ότι και έτσι
Αν λογαριθμήσω και τα δύο μέλη , προκύπτει ότι , δηλαδή
. Το τελικό αποτέλεσμα είναι έτη.
Φυσικά χρησιμοποίησα επιστημονικό κομπιουτεράκι για το τελικό αποτέλεσμα. Αν αναρωτιούνται κάποιοι για τη μέθοδο που θα χρησιμοποιούσε ένας υποψήφιος του 1931 για να φτάσει στο ίδιο αποτέλεσμα , έχω να γράψω ότι αυτό αποτελεί ένα ερέθισμα για μια ωφέλιμη έρευνα που δικαιώνει πολλά από αυτά που ίσως νομίζουμε παρωχημένα αλλά και που κάνει να εκτιμούμε τα πολλά και γρήγορα μέσα της εποχής μας...
Re: ΔΟΚΙΜΩΝ 1931 - ΑΛΓΕΒΡΑ
Στα βιβλία της Άλγεβρας υπήρχαν πίνακες λογαρίθμων. Λογικά θα πρέπει να τους είχαν δοθεί τιμές
- Στέλιος Μαρίνης
- Δημοσιεύσεις: 536
- Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 16, 2009 9:45 pm
- Τοποθεσία: Νέα Σμύρνη, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Μια κομψή λύση του 1
.
Προφανής ρίζα το 0 και για η εξίσωση γίνεται:
που ισοδυναμεί με την
Αν β,γ ετερόσημοι είναι αδύνατη, αν είναι ομόσημοι προκύπτουν οι δύο ρίζες
Προφανής ρίζα το 0 και για η εξίσωση γίνεται:
που ισοδυναμεί με την
Αν β,γ ετερόσημοι είναι αδύνατη, αν είναι ομόσημοι προκύπτουν οι δύο ρίζες
Κάποτε οι καμπύλες των γραφικών παραστάσεων ζωντανεύουν, είναι διαφορίσιμες γιατί είναι λείες κι όμορφες, έχουν ακρότατες τιμές γιατί αρνούνται τη μονοτονία, δεν έχουν όριο πραγματικό, αλλά μπορείς και τις φαντάζεσαι στο άπειρο και η ασύμπτωτη ευθεία είναι το καράβι που σε ταξιδεύει πλάι τους.
-
- Δημοσιεύσεις: 1291
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: ΔΟΚΙΜΩΝ 1931 - ΑΛΓΕΒΡΑ
Aπό περιέργεια και ενδιαφέρον έχω ρωτήσει ανθρώπους που έδωσαν εξετάσεις πριν 50 - 60 χρόνια.Ratio έγραψε:Στα βιβλία της Άλγεβρας υπήρχαν πίνακες λογαρίθμων. Λογικά θα πρέπει να τους είχαν δοθεί τιμές
Μου είπαν ότι επιτρεπόταν να έχεις μαζί σου τους πίνακες λογαρίθμων. Μέρος της αξιολόγησης ήταν και η ικανότητα εξαγωγής ορθών αποτελεσμάτων με χρήση των πινάκων αυτών...
Αν κάποιος θέλει να προσθέσει κάτι στα όσα γράφω , θα χαιρόμουν να το διαβάσω.
Μιλάμε για παλιές εποχές με άλλα ήθη.
Ίσως κάποιοι χρήστες των λογισμικών γελάνε με όλα αυτά , πιστεύω όμως ότι ήταν ένα σκαλοπάτι για να φτάσουμε να υπολογίζουμε σε κλάσματα δευτερολέπτου τις δόσεις ενός δανείου με δεδομένο επιτόκιο και να αντιμετωπίζουμε πολύπλοκα υπολογιστικά προβλήματα ως ζητήματα ρουτίνας...
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: Μια κομψή λύση του 1
Στέλιος Μαρίνης έγραψε:.
Προφανής ρίζα το 0 και για η εξίσωση γίνεται:
που ισοδυναμεί με την
Αν β,γ ετερόσημοι είναι αδύνατη, αν είναι ομόσημοι προκύπτουν οι δύο ρίζες
Γιώργος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες