ΙΚΑΡΩΝ 1979 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
ΙΚΑΡΩΝ 1979 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
1. Να κατασκευαστεί τρίγωνο δοθέντων των στοιχείων
2. Δίνεται κύκλος και σημείο εξωτερικά του. Πάνω στην στο φέρνουμε την κάθετο και πάνω σε αυτήν παίρνουμε τυχαίο σημείο , από το οποίο φέρνουμε τις εφαπτόμενες . Από το φέρνουμε τις και . Να δειχτεί οτι η ευθεία που συνδέει τα ίχνη και των καθέτων αυτών, διέρχεται από σταθερό σημείο.
3. Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου και δυο σημεία και του ημικυκλίου. Πάνω στην παίρνουμε και πάνω στην παίρνουμε . Να δειχτεί ότι .
4. Σε ορθογώνιο είναι και . Το περιστρέφουμε γύρω από άξονα του επιπέδου του ορθογωνίου κάθετο στην στο . Να βρεθεί ο όγκος του παραγόμενου στερεού.
5. Δίνεται τραπέζιο με βάσεις και , εγγεγραμμένο σε κύκλο και είναι . Να δειχθεί οτι η απόσταση του από την είναι
edit
προσθήκη δεδομένων στο 5ο, ευχαριστώ τον KARKAR που το πρόσεξε
προσθήκη δεδομένων στο 4ο, γιατί ήταν ελλιπής όπως ορθά παρατήρησε παρακάτω ο Κώστας (Δόρτσιος)
2. Δίνεται κύκλος και σημείο εξωτερικά του. Πάνω στην στο φέρνουμε την κάθετο και πάνω σε αυτήν παίρνουμε τυχαίο σημείο , από το οποίο φέρνουμε τις εφαπτόμενες . Από το φέρνουμε τις και . Να δειχτεί οτι η ευθεία που συνδέει τα ίχνη και των καθέτων αυτών, διέρχεται από σταθερό σημείο.
3. Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου και δυο σημεία και του ημικυκλίου. Πάνω στην παίρνουμε και πάνω στην παίρνουμε . Να δειχτεί ότι .
4. Σε ορθογώνιο είναι και . Το περιστρέφουμε γύρω από άξονα του επιπέδου του ορθογωνίου κάθετο στην στο . Να βρεθεί ο όγκος του παραγόμενου στερεού.
5. Δίνεται τραπέζιο με βάσεις και , εγγεγραμμένο σε κύκλο και είναι . Να δειχθεί οτι η απόσταση του από την είναι
edit
προσθήκη δεδομένων στο 5ο, ευχαριστώ τον KARKAR που το πρόσεξε
προσθήκη δεδομένων στο 4ο, γιατί ήταν ελλιπής όπως ορθά παρατήρησε παρακάτω ο Κώστας (Δόρτσιος)
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Τρί Ιαν 21, 2014 1:00 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13233
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΙΚΑΡΩΝ 1979 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Κατ' αρχήν θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Parmenides51 που μας τροφοδοτεί με όλα αυτά τα ξεχασμένα, αλλά ωραία, θέματα των εξετάσεων.parmenides51 έγραψε: 5. Δίνεται τραπέζιο με βάσεις και , εγγεγραμμένο σε κύκλο και είναι . Να δειχθεί οτι η απόσταση του από την είναι
edit
Προσθήκη δεδομένων στο 5ο, ευχαριστώ τον KARKAR που το πρόσεξε
Αφού το τραπέζιο είναι εγγεγραμμένο θα είναι ισοσκελές, οπότε η θα διέρχεται από το μέσο της . (είναι επίκεντρη και βαίνει στο ίδιο τόξο με γωνία .
Τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα διότι και (είναι οξείες και έχουν τις πλευρές τους κάθετες).
Άρα
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: ΙΚΑΡΩΝ 1979 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
της στο και ένα τυχαίο σημείο επί αυτής. Έστω και τα εφαπτόμενα τμήματα και
, . Να αποδείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο.
Τα σημεία , , , και είναι ομοκυκλικά. Ανήκουν όλα στον κύκλο διαμέτρου ,
τον ονομάζουμε . Έστω το σημείο τομής της με τη . Θεωρούμε την αντιστροφή ως προς τον
κύκλο . Το αντίστροφο του κύκλου είναι η ευθεία . Άρα το είναι το αντίστροφο του
με την υπόψη αντιστροφή, και εφόσον το είναι σταθερό, είναι επίσης σταθερό και το .
Έστω το σημείο τομής των ευθειών και . Τώρα η ευθεία είναι η ευθεία Simson του ισοσκελούς
τριγώνου . Άρα, αν το σημείο τομής της με τη , τότε ,
δηλαδή, . Επίσης, γνωρίζουμε ότι:
η ευθεία Simson διχοτομεί το ευθύγραμμο τμήμα , όπου το ορθόκεντρο του ,
δηλαδή το μέσο του , και
εφόσον και η τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου
στο σημείο , τότε .
Εύκολα προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι ρόμβος. Πράγματι,
(αμφότερα κάθετα στη )
(αμφότερα κάθετα στη )
και .
Άρα η μεσοκάθετος της , δηλαδή το είναι ισοσκελές.
Επίσης το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο ( ως κάθετες στη ), άρα
και , οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα, οπότε .
Τώρα
,
άρα , οπότε εφόσον το μέσο του , τότε και το θα είναι το μέσο του , δηλαδή η διέρχεται από σταθερό σημείο,
που είναι το μέσο του σταθερού ευθύγραμμου τμήματος .
Υ.Γ. Από τη στιγμή που διαπίστωσα ότι η είναι η ευθεία Simson του "κόλλησα" πάνω σ' αυτό και συνέχισα.
Αναζητείται άλλη λύση, πιο απλή! Απορία μου, ποιοι υποψήφιοι στρατιωτικών σχολών έλυναν τέτοιες ασκήσεις;
Οι αποδείξεις των ιδιοτήτων της ευθείας Simson βρίσκονται εύκολα, ακόμα και στο διαδίκτυο.
Έγινε ΔΙΟΡΘΩΣΗ λάθους.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13233
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΙΚΑΡΩΝ 1979 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Ανάλυση: Έστω το ζητούμενο τρίγωνο με .parmenides51 έγραψε:1. Να κατασκευαστεί τρίγωνο δοθέντων των στοιχείων
Φέρνω ημιευθεία , ώστε και από το παράλληλη στην που τέμνει την στο σημείο και τη στο σημείο .
Τότε θα έχουμε κι επειδή .
Άρα , οπότε το τρίγωνο είναι κατασκευάσιμο, αφού γνωρίζουμε δύο πλευρές του και την περιεχομένη γωνία.
Σύνθεση: Κατασκευάζουμε το τρίγωνο με .
Από το φέρνουμε τη , ώστε και από το παράλληλη στη που τέμνει τη στο σημείο . Το είναι το ζητούμενο τρίγωνο.
Απόδειξη: Από κατασκευής είναι , οπότε και .
Το τρίγωνο πληροί τις προϋποθέσεις του προβλήματος, άρα είναι το ζητούμενο τρίγωνο.
Διερεύνηση: Για να έχει λύση το πρόβλημα πρέπει αρχικά να κατασκευάζεται το τρίγωνο . Πρέπει λοιπόν .
Επειδή, όμως δίνεται . Οπότε θα πρέπει να είναι και .
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13233
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΙΚΑΡΩΝ 1979 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Είναι κι επειδή τα τρίγωνα είναι ισοσκελή, θα είναι , οπότε και .parmenides51 έγραψε: 3. Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου και δυο σημεία και του ημικυκλίου. Πάνω στην παίρνουμε και πάνω στην παίρνουμε . Να δειχτεί ότι .
Άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
(εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο).
Αλλά, (εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο), οπότε . Άρα .
Re: ΙΚΑΡΩΝ 1979 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Το παρακάτω σχήμα κατασκευάστηκε σύμφωνα με τα δεδομένα της άσκησης(Δες το 1ο υστερόγραφο):parmenides51 έγραψε:4. Σε ορθογώνιο είναι και .
Το περιστρέφουμε γύρω από άξονα κάθετο στην στο .
Να βρεθεί ο όγκος του παραγόμενου στερεού.
Συγκεκριμένα:
Ο άξονας περιστροφής (ο κίτρινος οριζόντιος ) είναι κάθετος στη διαγώνιο
του ορθογωνίου .
Από το ορθογώνιο τρίγωνο προκύπτει:
Από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων προκύπτουν τα μεγέθη:
Τα παραγόμενα στερεά εκ περιστροφής που προκύπτουν κατά την περιστροφή του ορθογωνίου αυτού
είναι εκείνο που παράγεται από το τρίγωνο κι εκείνο που παράγεται από το τρίγωνο
Επειδή ο άξονας περιστροφής διέρχεται από μια κορυφή του τριγώνου και ο οποίος δεν τέμνει το τρίγωνο αυτό,
ο παραγόμενος όγκος δίνεται από το γνωστό τύπο:
όπου είναι το εμβαδόν της παραγόμενης κυρτής επιφάνειας που διαγράφεται από την
και το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή επί του άξονος περιστροφής.
Η επιφάνεια αυτή είναι η κυρτή επιφάνεια ενός κόλουρου κώνου και σύμφωνα με τις (1) και (2) δίνεται από τον τύπο:
Άρα σύμφωνα με τον τύπο (4) ο όγκος που παράγεται από την περιστροφή του τριγώνου θα είναι:
Όμοια:
Άρα ο συνολικός όγκος του παραγόμενου στερεού είναι:
Κώστας Δόρτσιος
1ο) ΥΓ. Εκείνο που θα μπορούσε να παρατηρήσει κανείς είναι ότι στην εκφώνηση της άσκησης ο θεματοδότης μιλά για μια κάθετη προς την
χωρίς να αναφέρει ότι η κάθετη αυτή ανήκει στο ίδιο επίπεδο με το επίπεδο του ορθογωνίου .
Η ανωτέρω λύση αναφέρεται σ' αυτήν την περίπτωση γιατί με τυχούσα κάθετη στην και στο σημείο το στερεό που
παράγεται είναι πολύπλοκο διότι περιβάλλεται από ευθειογενείς επιφάνειες υπερβολοειδών και προφανώς ξεφεύγει σε άλλες
περιοχές.
2ο) ΥΓ.Στο ακόλουθο σχήμα εμφανίζεται το στερεό που παράγεται και είναι αυτό που περιβάλλεται από τη δικτυακή επιφάνεια των δύο κόλουρων κώνων καθώς επίσης
και από τους δύο κώνους χρώματος κεραμιδί.
Re: ΙΚΑΡΩΝ 1979 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Ας δούμε τα σταθερά δεδομένα της άσκησης : Ο κύκλος , το σημείο και άρα η ευθεία καθώς και το μήκος και η σταθερή ευθεία .parmenides51 έγραψε: 2. Δίνεται κύκλος και σημείο εξωτερικά του. Πάνω στην στο φέρνουμε την κάθετο και πάνω σε αυτήν παίρνουμε τυχαίο σημείο , από το οποίο φέρνουμε τις εφαπτόμενες . Από το φέρνουμε τις και . Να δειχτεί οτι η ευθεία που συνδέει τα ίχνη και των καθέτων αυτών, διέρχεται από σταθερό σημείο.
Φέρνουμε το εφαπτόμενο τμήμα του και έστω η προβολή του στην . Από το θεώρημα Ευκλείδη στο τρίγωνο έχουμε : .
Άρα και το σταθερό σημείο .
Η πολική του ως προς τον , δηλαδή η χορδή , θα διέρχεται από το σταθερό σημείο αφού απ’ αυτό διέρχεται και η πολική του . Τώρα τα σημεία είναι ομοκυκλικά γιατί τα βλέπουν το υπό ίσες και μάλιστα ορθές γωνίες . Ο κύκλος που ανήκουν τα πιο πάνω σημεία εφάπτεται του στο αφού έχει διάμετρο το . Αν το σημείο τομής της με την , από τη δύναμη του ως προς τον θα έχουμε : Επειδή όμως και το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο ( το είναι το σημείο τομής των θα προκύψει ότι ο κύκλος που διέρχεται από τα εφάπτεται της στο και άρα : . Από τις έχουμε δηλαδή το είναι το σταθερό μέσο του .
Φιλικά Νίκος
Δεν νομίζω τελικά ότι έχει και μεγάλες διαφορές από την προηγούμενη.
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: ΙΚΑΡΩΝ 1979 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Αντιγράφω την υπάρχουσα λύση από το Δελτίο του Πάλλα για τον φίλο Γιάννη Μανίκα (giannimani)
Ως είναι γνωστό το είναι συζυγές αρμονικό του , ως προς τα άκρα της διαμέτρου ( πόλος της ).
Επειδή τα τρίγωνα και έχουν
θα έχουμε οπότε (1) .
Τα τρίγωνα είναι όμοια και συνεπώς θα έχουν (2)
Επίσης από τα όμοια τρίγωνα έχουμε (3)
Από τις (2) και (3) έπεται (4)
Από τις (1) και (4) έπεται
Άρα τα και είναι συζυγή αρμονικά ως προς τα και .
Επομένως εαν είναι το μέσον του τμήματος θα έχουμε (5) .
Επειδή έπεται οτι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου ,
οπότε η θα είναι εφαπτομένη στον κύκλο αυτό και συνεπώς εαν θα έχουμε (6).
Αλλά οπότε
Άρα το είναι εγγράψιμο σε κύκλο και συνεπώς θα έχουμε (7)
Από τις (6) και (7) έχουμε (8)
Από τις (5) και (8) έχουμε που σημαίνει οτι τα και συμπίπτουν στο το οποίο είναι το μέσο του .
Άρα η διέρχεται από το μέσο του , το οποίο, όπως δείχθηκε, είναι σταθερό σημείο.
Υ.Γ. Νομίζω οτι μοιάζει η παραπάνω προσέγγιση με του Νίκου Φραγκάκη (Doloros), από το σημείο με τα εγγράψιμα και κάτω.
Έστω τα σημεία τομής της με τις αντίστοιχα.parmenides51 έγραψε:2. Δίνεται κύκλος και σημείο εξωτερικά του. Πάνω στην στο φέρνουμε την κάθετο και πάνω σε αυτήν παίρνουμε τυχαίο σημείο , από το οποίο φέρνουμε τις εφαπτόμενες . Από το φέρνουμε τις και . Να δειχτεί οτι η ευθεία που συνδέει τα ίχνη και των καθέτων αυτών, διέρχεται από σταθερό σημείο.
Ως είναι γνωστό το είναι συζυγές αρμονικό του , ως προς τα άκρα της διαμέτρου ( πόλος της ).
Επειδή τα τρίγωνα και έχουν
θα έχουμε οπότε (1) .
Τα τρίγωνα είναι όμοια και συνεπώς θα έχουν (2)
Επίσης από τα όμοια τρίγωνα έχουμε (3)
Από τις (2) και (3) έπεται (4)
Από τις (1) και (4) έπεται
Άρα τα και είναι συζυγή αρμονικά ως προς τα και .
Επομένως εαν είναι το μέσον του τμήματος θα έχουμε (5) .
Επειδή έπεται οτι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου ,
οπότε η θα είναι εφαπτομένη στον κύκλο αυτό και συνεπώς εαν θα έχουμε (6).
Αλλά οπότε
Άρα το είναι εγγράψιμο σε κύκλο και συνεπώς θα έχουμε (7)
Από τις (6) και (7) έχουμε (8)
Από τις (5) και (8) έχουμε που σημαίνει οτι τα και συμπίπτουν στο το οποίο είναι το μέσο του .
Άρα η διέρχεται από το μέσο του , το οποίο, όπως δείχθηκε, είναι σταθερό σημείο.
Υ.Γ. Νομίζω οτι μοιάζει η παραπάνω προσέγγιση με του Νίκου Φραγκάκη (Doloros), από το σημείο με τα εγγράψιμα και κάτω.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης