ΕΜΠ 1958 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΜΗΧ.

parmenides51 · #1

Εξεταστής: Παναγιωτουνάκος

1. Την ακολουθία των φυσικών αριθμών την χωρίζουμε σε ομάδες ως εξής : $\displaystyle{(1), \,\, \,\,( 2,3,4,5), \,\,\,\, (6,7,8,9,10,11,12), \,\,\,\,(13,14,15,...,22), \,\,\,\, (24,...}$
να βρεθεί ο πρώτος όρος της $\displaystyle{\nu}$ -ιοστής ομάδας συναρτήσει του $\displaystyle{ \nu}$ και να δειχθεί οτι το άθροισμα των αριθμών που περιλαμβάνονται στην $\displaystyle{\nu}$ -ιοστή ομάδα ισούται με $\displaystyle{ (3\nu-2)\left[(\nu-1)^2+\frac{\nu^2+1}{2}\right]}$

2. Να δειχτεί οτι για φυσικό αριθμό $\displaystyle{\nu }$ και οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό $\displaystyle{ \alpha}$ , το πολυώνυμο $\displaystyle{g(x)=(x-\alpha)^{2\nu}+(x-\alpha+1)^{\nu} -1}$ διαιρείται (ακριβώς) από το πολυώνυμο $\displaystyle{f(x)=(x-\alpha)^{2}+(x-\alpha)}$ και να βρεθεί το πηλίκο της διαίρεσης αυτής.

3. Εαν $\displaystyle{\lambda, \mu, \nu}$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και $\displaystyle{\alpha, \omega}$ είναι αντίστοιχα ο πρώτος όρος και η διαφορά αριθμητικής προόδου της οποίας ο $\displaystyle{\lambda}$ -οστός, $\displaystyle{\mu}$ -οστός, $\displaystyle{\nu}$ -οστός όρος είναι διαδοχικοί όροι αρμονικής προόδου, να δειχθεί οτι ισχύει η σχέση $\displaystyle{\alpha=(\mu+1) \omega}$ .
Υπόμνηση: Μεταξύ τριων διαδοχικών όρων $\displaystyle{\rho,\sigma,\tau}$ αρμονικής προόδου ισχύει η σχέση $\displaystyle{\frac{ \rho}{\tau}=\frac{\rho-\sigma}{\sigma-\tau}}$

4. α) Να λυθεί και να διερευνηθεί γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους
β) Οι μιγαδικοί αριθμοί $\displaystyle{\sqrt{i\sqrt{7+24i}}}$ να γραφτούν στην μορφή $\displaystyle{ a+bi }$ όπου $\displaystyle{a}$ και $\displaystyle{b}$ πραγματικοί αριθμοί και $\displaystyle{ i=\sqrt{-1}}$

edit
προσθήκη εξεταστή

Γιώργος Απόκης · #2

parmenides51 έγραψε: 2. Να δειχτεί οτι για φυσικό αριθμό $\displaystyle{\nu }$ και οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό $\displaystyle{ \alpha}$ , το πολυώνυμο $\displaystyle{g(x)=(x-\alpha)^{2\nu}+(x-\alpha+1)^{\nu} -1}$ διαιρείται (ακριβώς) από το πολυώνυμο $\displaystyle{f(x)=(x-\alpha)^{2}+(x-\alpha)}$ και να βρεθεί το πηλίκο της διαίρεσης αυτής.

Αρκεί να δείξουμε ότι κάθε ρίζα του $\displaystyle{f(x)}$ είναι ρίζα και του $\displaystyle{g(x)}$ .

Έχουμε $\displaystyle{f(x)=(x-a)(x-a+1)}$ το οποίο έχει ρίζες $\displaystyle{a,~a-1}$ .

$\displaystyle{g(a)=(a-a)^{2\nu}+(a-a+1)^\nu-1=1^\nu-1=0}$ και

$\displaystyle{g(a-1)=(a-1-a)^{2\nu}+(a-1-a+1)^\nu-1=(-1)^{2\nu}-1=0}$

BAGGP93 · #3

parmenides51 έγραψε:

4. α) Να λυθεί και να διερευνηθεί γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους
β) Οι μιγαδικοί αριθμοί $\displaystyle{\sqrt{i\sqrt{7+24i}}}$ να γραφτούν στην μορφή $\displaystyle{ a+bi }$ όπου $\displaystyle{a}$ και $\displaystyle{b}$ πραγματικοί αριθμοί και $\displaystyle{ i=\sqrt{-1}}$

α) Θεωρία

β) Θα δείξουμε ότι $\displaystyle{\sqrt{7+24\,i}=-4-3\,i}$ ή $\displaystyle{\sqrt{7+24\,i}=4+3\,i}$ .

Απόδειξη

Για $\displaystyle{z=x+y\,i\,,x\,,y\in\mathbb{R}}$ είναι $\displaystyle{z^2=\left(x^2-y^2\right)+2\,x\,y\,i}$ .

Τα πραγματικά και φανταστικά μέρη των μιγαδικών $\displaystyle{z=x+y\,i\,,x\,,y\in\mathbb{R}}$ που ικανοποιούν την εξίσωση $\displaystyle{z=\sqrt{7+24\,i}}$ είναι οι λύσεις του συστήματος

$\displaystyle{\begin{cases} x^2-y^2=7\\ x\,y=12 \end{cases}}$

ως προς $\displaystyle{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2}$

Έστω $\displaystyle{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2}$ λύση του παραπάνω συστήματος. Τότε,

$\displaystyle{u\,v=12\neq 0\Rightarrow u\neq 0\,\,\kappa \alpha \iota\,\,v\neq 0}$ , οπότε, από την $\displaystyle{v=\frac{12}{u}}$ , η πρώτη εξίσωση γράφεται

$\displaystyle{\begin{aligned} u^2-\frac{144}{u^2}=7&\Leftrightarrow u^4-7\,u^2-144=0\\&\Leftrightarrow \left(u^2-\frac{7}{2}\right)^2=\frac{625}{4}\\&\Leftrightarrow u^2-\frac{7}{2}\in\left\{-\frac{25}{2},\frac{25}{2}\right\}\\&\Leftrightarrow u^2\in\left\{-9,16\right\}\\&\Leftrightarrow u\in\left\{-4,4\right\}\end{aligned}}$

Έυκολα βλέπουμε ότι τα ζεύγη $\displaystyle{\left(x,y\right)\in\left\{\left(-4,-3\right),\left(4,3\right)\right\}$ επαληθεύουν

το σύστημα, άρα είναι οι μοναδικές λύσεις αυτού.

Ώστε, $\displaystyle{\sqrt{7+24\,i}=-4-3\,i}$ ή $\displaystyle{\sqrt{7+24\,i}=4+3\,i}$ .

Αν $\displaystyle{\sqrt{7+24\,i}=-4-3\,i}$ , τότε

$\displaystyle{\begin{aligned} a+b\,i=\sqrt{i\,\sqrt{7+24\,i}}&\Leftrightarrow a+b\,i=\sqrt{3-4\,i}\\&\Leftrightarrow \left(a^2-b^2\right)+2\,a\,b\,i=3-4\,i\\&\Leftrightarrow \begin{cases} a^2-b^2=3\\ a\,b=-2 \end{cases} \\&\Leftrightarrow \left(a,b\right)\in\left\{\left(-2,1\right),\left(2,-1\right)\right\}\end{aligned}}$

Αν $\displaystyle{\sqrt{7+24\,i}=4+3\,i}$ , τότε

$\displaystyle{\begin{aligned} a+b\,i=\sqrt{i\,\sqrt{7+24\,i}}&\Leftrightarrow a+b\,i=\sqrt{-3+4\,i}\\&\Leftrightarrow \left(a^2-b^2\right)+2\,a\,b\,i=-3+4\,i\\&\Leftrightarrow \begin{cases} a^2-b^2=-3\\ a\,b=2 \end{cases} \\&\Leftrightarrow \left(a,b\right)\in\left\{\left(-1,-2\right),\left(1,2\right)\right\}\end{aligned}}$

Άρα, $\displaystyle{\sqrt{i\,\sqrt{7+24\,i}}\in\left\{-2+i,2-i,-1-2\,i,1+2\,i\right\}}$ .

Οι εικόνες των παραπάνω μιγαδικών είναι σημεία του κύκλου $\displaystyle{x^2+y^2=5}$ , αυτό προκύπτει και από το γεγονός ότι

$\displaystyle{z=\sqrt{i\,\sqrt{7+24\,i}}\Rightarrow z^4=-7-24\,i\Rightarrow \left|z\right|^4=\left|-7-24\,i\right|\Rightarrow \left|z\right|=\sqrt[4]{\left|-7-24\,i\right|}=\sqrt{5}}$

#4

parmenides51 έγραψε: 3. Εαν $\displaystyle{\lambda, \mu, \nu}$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και $\displaystyle{\alpha, \omega}$ είναι αντίστοιχα ο πρώτος όρος και η διαφορά αριθμητικής προόδου της οποίας ο $\displaystyle{\lambda}$ -οστός, $\displaystyle{\mu}$ -οστός, $\displaystyle{\nu}$ -οστός όρος είναι διαδοχικοί όροι αρμονικής προόδου, να δειχθεί οτι ισχύει η σχέση $\displaystyle{\alpha=(\mu+1) \omega}$ .
Υπόμνηση: Μεταξύ τριων διαδοχικών όρων $\displaystyle{\rho,\sigma,\tau}$ αρμονικής προόδου ισχύει η σχέση $\displaystyle{\frac{ \rho}{\tau}=\frac{\rho-\sigma}{\sigma-\tau}}$

Από υπόθεση έχουμε $\displaystyle{{\mu ^2} = \lambda \nu }$ και $\displaystyle{\frac{{{\alpha _\lambda }}}{{{\alpha _\nu }}} = \frac{{{\alpha _\lambda } - {\alpha _\mu }}}{{{\alpha _\mu } - {\alpha _\nu }}}}$

$\displaystyle{\frac{{{\alpha _\lambda }}}{{{\alpha _\nu }}} = \frac{{{\alpha _\lambda } - {\alpha _\mu }}}{{{\alpha _\mu } - {\alpha _\nu }}} \Leftrightarrow \frac{{\alpha + (\lambda - 1)\omega }}{{\alpha + (\nu - 1)\omega }} = \frac{{\lambda - \mu }}{{\mu - \nu }} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\alpha \mu - \alpha \nu + (\lambda - 1)(\mu - \nu )\omega = \alpha \lambda - \alpha \mu + (\nu - 1)(\lambda - \mu )\omega \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{2\alpha \mu - \alpha \nu - \alpha \lambda = [(\nu - 1)(\lambda - \mu ) - (\lambda - 1)(\mu - \nu )]\omega \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{(2\mu - \nu - \lambda )\alpha = (\lambda \nu - \lambda - \mu \nu + \mu - \lambda \mu + \mu + \lambda \nu - \nu )\omega \mathop \Leftrightarrow \limits^{{\mu ^2} = \lambda \nu } }$

$\displaystyle{(2\mu - \nu - \lambda )\alpha = (2{\mu ^2} - \mu \nu - \lambda \mu + 2\mu - \lambda - \nu )\omega \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{(2\mu - \nu - \lambda )\alpha = (2\mu - \nu - \lambda )(\mu + 1)\omega }$

Άρα $\displaystyle{\alpha = (\mu + 1)\omega }$ .

(Υποθέτουμε βέβαια ότι οι αριθμοί $\displaystyle{\lambda ,\mu ,\nu }$ δεν είναι ταυτόχρονα και διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, γιατί τότε θα ήταν $\displaystyle{\lambda = \mu = \nu }$ και δεν θα ίσχυε η Υπόμνηση αφού θα ήταν $\displaystyle{{\alpha _\mu } - {\alpha _\nu } = 0}$ ).

Πιστεύω ότι η σωστή διατύπωση θα ήταν: Αν οι διαφορετικοί μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{\lambda, \mu, \nu}$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου...

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

parmenides51 έγραψε:

1. Την ακολουθία των φυσικών αριθμών την χωρίζουμε σε ομάδες ως εξής : $\displaystyle{(1), \,\, \,\,( 2,3,4,5), \,\,\,\, (6,7,8,9,10,11,12), \,\,\,\,(13,14,15,...,22), \,\,\,\, (24,...}$
να βρεθεί ο πρώτος όρος της $\displaystyle{\nu}$ -ιοστής ομάδας συναρτήσει του $\displaystyle{ \nu}$ και να δειχθεί οτι το άθροισμα των αριθμών που περιλαμβάνονται στην $\displaystyle{\nu}$ -ιοστή ομάδα ισούται με $\displaystyle{ (3\nu-2)\left[(\nu-1)^2+\frac{\nu^2+1}{2}\right]}$

Πρόκειται για θέμα που τυπώθηκε μετά στο περίφημο σχολικό βιβλίο του Ηλία Ντζιώρα ως άλυτη άσκηση.

Έστω $\left(a_{\nu } \right)$ η ακολουθία των πρώτων όρων των ομάδων στις οποίες χωρίστηκε το σύνολο των φυσικών αριθμών.

Ισχύουν οι εξής , $\nu -1$ το πλήθος , ισότητες :

$a_{2}-a_{1}=1$

$a_{3}-a_{2}=4$

$a_{4}-a_{3}=7$

$a_{5}-a_{4}=10$
...............................
...............................
...............................
$a_{\nu }-a_{\nu -1}=1+3\left(\nu -1-1 \right)$

Oι διαφορές αυτές είναι όροι αριθμ.προόδου με πρώτο όρο το

και διαφορά

.

Αν τις προσθέσουμε κατά μέλη προκύπτει ότι

$\displaystyle a_{\nu }-a_{1}=1+4+7+10+...+\left[1+3\left\ (\nu-2 \right) \right]$

$\displaystyle a_{\nu }-1=1+4+7+10+...+\left(3\nu -5 \right)$

$\displaystyle a_{\nu }-1=\frac{1+3\nu -5}{2}\left(\nu -1 \right)$

$\displaystyle a_{\nu }=\frac{3\nu -4}{2}\left(\nu -1 \right)+1$

Βρέθηκε ο τύπος της ακολουθίας που δίνει τον πρώτο όρο της νιοστής ομάδας.

Θα υπολογιστεί το πλήθος των αριθμών που περιλαμβάνονται στη νιοστή ομάδα.
Το πλήθος αυτό είναι όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο το

και διαφορά

.
Έτσι το πλήθος των αριθμών που περιλαμβάνεται στη νιοστή ομάδα είναι $1+\left(\nu -1 \right)3=3\nu -2$ .

Τώρα μπορεί άνετα να υπολογιστεί το άθροισμα των αριθμών που περιλαμβάνονται στη νιοστή ομάδα.

Οι αριθμοί που περιλαμβάνονται στη νιοστή ομάδα είναι όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο $a_{\nu }$ και διαφορά

.

Το ζητούμενο άθροισμα είναι ίσο με

$\displaystyle \left(3\nu -2 \right)\frac{2a_{\nu }+\left( 3\nu-2-1 \right)\cdot1 }{2} =$

$\displaystyle \left(3\nu -2 \right)\frac{\left(3\nu -4 \right)\left(\nu-1 \right)+2+ 3\nu-3 }{2} =$

$\displaystyle \left(3\nu -2 \right)\frac{3\nu ^{2}-4\nu+3 }{2}=$

$\displaystyle \left(3\nu -2 \right)\frac{2\nu ^{2}-4\nu+2+\nu^{2}+1 }{2}=$

$\displaystyle \left(3\nu -2 \right)\frac{2\left(\nu-1 \right)^{2}+\nu^{2}+1 }{2}=$

$\displaystyle \left(3\nu -2 \right)\left[\left(\nu -1 \right)^{2}+\frac{\nu ^{2}+1}{2} \right]$

#6

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 15, 2013 12:01 am

parmenides51 έγραψε:

1. Την ακολουθία των φυσικών αριθμών την χωρίζουμε σε ομάδες ως εξής : $\displaystyle{(1), \,\, \,\,( 2,3,4,5), \,\,\,\, (6,7,8,9,10,11,12), \,\,\,\,(13,14,15,...,22), \,\,\,\, (24,...}$
να βρεθεί ο πρώτος όρος της $\displaystyle{\nu}$ -ιοστής ομάδας συναρτήσει του $\displaystyle{ \nu}$ και να δειχθεί οτι το άθροισμα των αριθμών που περιλαμβάνονται στην $\displaystyle{\nu}$ -ιοστή ομάδα ισούται με $\displaystyle{ (3\nu-2)\left[(\nu-1)^2+\frac{\nu^2+1}{2}\right]}$

Πρόκειται για θέμα που τυπώθηκε μετά στο περίφημο σχολικό βιβλίο του Ηλία Ντζιώρα ως άλυτη άσκηση.

Έστω $\left(a_{\nu } \right)$ η ακολουθία των πρώτων όρων των ομάδων στις οποίες χωρίστηκε το σύνολο των φυσικών αριθμών.

Ισχύουν οι εξής , $\nu -1$ το πλήθος , ισότητες :

$a_{2}-a_{1}=1$

$a_{3}-a_{2}=4$

$a_{4}-a_{3}=7$

$a_{5}-a_{4}=10$
...............................
...............................
...............................
$a_{\nu }-a_{\nu -1}=1+3\left(\nu -1-1 \right)$

Oι διαφορές αυτές είναι όροι αριθμ.προόδου με πρώτο όρο το και διαφορά .

Αν τις προσθέσουμε κατά μέλη προκύπτει ότι

$\displaystyle a_{\nu }-a_{1}=1+4+7+10+...+\left[1+3\left\ (\nu-2 \right) \right]$

$\displaystyle a_{\nu }-1=1+4+7+10+...+\left(3\nu -5 \right)$

$\displaystyle a_{\nu }-1=\frac{1+3\nu -5}{2}\left(\nu -1 \right)$

$\displaystyle a_{\nu }=\frac{3\nu -4}{2}\left(\nu -1 \right)+1$

Βρέθηκε ο τύπος της ακολουθίας που δίνει τον πρώτο όρο της νιοστής ομάδας.

Θα υπολογιστεί το πλήθος των αριθμών που περιλαμβάνονται στη νιοστή ομάδα.
Το πλήθος αυτό είναι όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο το και διαφορά .
Έτσι το πλήθος των αριθμών που περιλαμβάνεται στη νιοστή ομάδα είναι $1+\left(\nu -1 \right)3=3\nu -2$ .

Τώρα μπορεί άνετα να υπολογιστεί το άθροισμα των αριθμών που περιλαμβάνονται στη νιοστή ομάδα.

Οι αριθμοί που περιλαμβάνονται στη νιοστή ομάδα είναι όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο $a_{\nu }$ και διαφορά .

Το ζητούμενο άθροισμα είναι ίσο με

$\displaystyle \left(3\nu -2 \right)\frac{2a_{\nu }+\left( 3\nu-2-1 \right)\cdot1 }{2} =$

$\displaystyle \left(3\nu -2 \right)\frac{\left(3\nu -4 \right)\left(\nu-1 \right)+2+ 3\nu-3 }{2} =$

$\displaystyle \left(3\nu -2 \right)\frac{3\nu ^{2}-4\nu+3 }{2}=$

$\displaystyle \left(3\nu -2 \right)\frac{2\nu ^{2}-4\nu+2+\nu^{2}+1 }{2}=$

$\displaystyle \left(3\nu -2 \right)\frac{2\left(\nu-1 \right)^{2}+\nu^{2}+1 }{2}=$

$\displaystyle \left(3\nu -2 \right)\left[\left(\nu -1 \right)^{2}+\frac{\nu ^{2}+1}{2} \right]$

ΕΜΠ 1958 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΜΗΧ.

ΕΜΠ 1958 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1958 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1958 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1958 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1958 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1958 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΜΗΧ.

Μέλη σε σύνδεση