ΙΚΑΡΩΝ 1973 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
ΙΚΑΡΩΝ 1973 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
1. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο τέτοιο ώστε η διχοτόμος της ορθής γωνίας , να ισούται με την πλευρά . Να δειχτεί οτι .
2. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο () και σημείο πάνω στην πλευρά του . Να αχθεί από το ευθεία, που να τέμνει την ευθεία σε σημείο τέτοιο ώστε τα τρίγωνα και να είναι ισοδύναμα.
3. Πάνω στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου , φέρνουμε κάθετη σε τυχαίο σημείο αυτής. Αυτή τέμνει την στο και την στο . Φέρνουμε την , η οποία τέμνει την στο . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του .
4. α) Τα συμμετρικά σημεία του κέντρου του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ως προς τις πλευρές του τριγώνου αντίστοιχα , είναι κορυφές τριγώνου ίσου με το .
β) Το ορθόκεντρο του σχηματισμένου αυτού τριγώνου, είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου .
γ) Οι ευθείες που συνδέουν τις κορυφές των ίσων γωνιών των δύο αυτών τριγώνων, διέρχονται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος που συνδέει το και το ορθόκεντρο του τριγώνου .
5. Το επίπεδο που διέρχεται από τα μέσα δυο απέναντι ακμών τετραέδρου το διαιρεί σε δυο μέρη ισοδύναμα.
2. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο () και σημείο πάνω στην πλευρά του . Να αχθεί από το ευθεία, που να τέμνει την ευθεία σε σημείο τέτοιο ώστε τα τρίγωνα και να είναι ισοδύναμα.
3. Πάνω στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου , φέρνουμε κάθετη σε τυχαίο σημείο αυτής. Αυτή τέμνει την στο και την στο . Φέρνουμε την , η οποία τέμνει την στο . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του .
4. α) Τα συμμετρικά σημεία του κέντρου του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ως προς τις πλευρές του τριγώνου αντίστοιχα , είναι κορυφές τριγώνου ίσου με το .
β) Το ορθόκεντρο του σχηματισμένου αυτού τριγώνου, είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου .
γ) Οι ευθείες που συνδέουν τις κορυφές των ίσων γωνιών των δύο αυτών τριγώνων, διέρχονται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος που συνδέει το και το ορθόκεντρο του τριγώνου .
5. Το επίπεδο που διέρχεται από τα μέσα δυο απέναντι ακμών τετραέδρου το διαιρεί σε δυο μέρη ισοδύναμα.
Re: ΙΚΑΡΩΝ 1973 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
parmenides51 έγραψε:1. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο τέτοιο ώστε η διχοτόμος της ορθής γωνίας ,
να ισούται με την πλευρά . Να δειχτεί οτι .
Μια απάντηση με σχήμα
Re: ΙΚΑΡΩΝ 1973 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Και κάτι ακόμη .parmenides51 έγραψε:1. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο τέτοιο ώστε η διχοτόμος της ορθής γωνίας , να ισούται με την πλευρά . Να δειχτεί οτι .
Γράφουμε τον κύκλο που τέμνει την ευθεία στο . Προφανώς . Προεκτείνουμε και την προς το κατά τμήμα .
Τα τρίγωνα είναι συμμετρικά ως προς την μεσοκάθετο του άρα είναι ίσα και έτσι με άμεση συνέπεια και . Τότε όμως το τετράπλευρο είναι εγγράψιμμο και άρα δηλαδή το τρίγωνο ισοσκελές και ορθογώνιο και θα είναι : . Αλλά τα ορθογώνια τρίγωνα έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες άρα θα είναι ίσα , οπότε θα έχουν και άρα ή γίνεται : .
Φιλικά Νίκος
Re: ΙΚΑΡΩΝ 1973 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
parmenides51 έγραψε:3. Πάνω στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου , φέρνουμε κάθετη σε τυχαίο σημείο της , .
Αυτή τέμνει την στο και την στο . Φέρνουμε την , η οποία τέμνει την στο .
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του .
Το ( εσωτερικό σημείο της ) , είναι το ορθόκεντρο του , συνεπώς , δηλαδή το ,
βλέπει την υποτείνουα υπό ορθή γωνία , άρα κινείται στο ημικύκλιο διαμέτρου , στο οποίο ανήκει το
-
- Δημοσιεύσεις: 491
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 02, 2012 10:09 pm
Re: ΙΚΑΡΩΝ 1973 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
..καλημερα..
για το θεμα 1
από ν. ημιτόνων στο τρίγωνο με
Όμως:
Tέλος αφου
Έτσι από (1), με την βοήθεια των (2),(3) έχουμε:
για το θεμα 1
από ν. ημιτόνων στο τρίγωνο με
Όμως:
Tέλος αφου
Έτσι από (1), με την βοήθεια των (2),(3) έχουμε:
Re: ΙΚΑΡΩΝ 1973 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Αρκεί : . Η κατασκευή δίνεται χωρίς άλλα λόγια ...parmenides51 έγραψε:2. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο () και σημείο πάνω στην πλευρά του .
Να αχθεί από το ευθεία, που να τέμνει την ευθεία σε σημείο τέτοιο ώστε τα τρίγωνα
και να είναι ισοδύναμα.
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: ΙΚΑΡΩΝ 1973 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Το τρίγωνο προκύπτει από το τρίγωνο με την ομοιοθεσία κέντρου (κέντρο βάρους του ) και λόγου .
Το τρίγωνο προκύπτει από το με την ομοιοθεσία κέντρου και λόγου .
Επομένως το τρίγωνο είναι ομοιόθετο του με λόγο ομοιοθεσίας (Σύνθεση Ομοιοθεσιών).
Όμως η ομοιοθεσία λόγου είναι κεντρική συμμετρία (ημιστροφή). Άρα τα τρίγωνα και είναι ίσα.
Το προφανώς είναι το ορθόκεντρο του εφόσον οι , , είναι αντίστοιχα κάθετες στις , , (τα ομοιόθετα τρίγωνα έχουν τις ομόλογες πλευρές τους παράλληλες).
Το (γ) ερώτημα προκύπτει άμεσα από τον ορισμό της κεντρικής συμμετρίας εφόσον τα ζεύγη σημείων και , και , και , και , αποτελούνται από ομόλογα σημεία της.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13354
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΙΚΑΡΩΝ 1973 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
α) Έστω τα μέσα των πλευρών του τριγώνου .parmenides51 έγραψε: 4. α) Τα συμμετρικά σημεία του κέντρου του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ως προς τις πλευρές του τριγώνου αντίστοιχα , είναι κορυφές τριγώνου ίσου με το .
β) Το ορθόκεντρο του σχηματισμένου αυτού τριγώνου, είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου .
γ) Οι ευθείες που συνδέουν τις κορυφές των ίσων γωνιών των δύο αυτών τριγώνων, διέρχονται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος που συνδέει το και το ορθόκεντρο του τριγώνου .
Τα τετράπλευρα είναι ρόμβοι( οι διαγώνιες διχοτομούνται και είναι κάθετες). Άρα τα τμήματα είναι παράλληλα και ίσα, οπότε το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. Ομοίως και τα τετράπλευρα είναι παραλληλόγραμμα. Επομένως τα τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους παράλληλες και ίσες, οπότε είναι ίσα.
β). Οι μεσοκάθετοι των πλευρών του είναι ύψη του , άρα είναι το ορθόκεντρό του.
γ) Τα τμήματα είναι διαγώνιες των παραλληλογράμμων
και, οπότε διέρχονται από το ίδιο σημείο .
Έστω το συμμετρικό του ως προς το . Θα δείξω ότι είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου . Πράγματι, , οπότε και .
Re: ΙΚΑΡΩΝ 1973 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Στο ακόλουθο σχήμα έχουμε φέρει ένα επίπεδο που διέρχεται από τα μέσα αντίστοιχα των ακμών του τετραέδρου .parmenides51 έγραψε:5. Το επίπεδο που διέρχεται από τα μέσα δυο απέναντι ακμών τετραέδρου το διαιρεί σε δυο μέρη ισοδύναμα.
Το επίπεδο αυτό τέμνει τις αντίστοιχα στα σημεία .
Προεκτείνοντας το επίπεδο αυτό του τετραπλεύρου βρίσκουμε την τομή αυτού με την .
Με άλλα λόγια οι τρεις ευθείες που ορίζουν οι διέρχονται από το ίδιο σημείο, δηλαδή το .
Προφανώς οι δύο τετραγωνικές πυραμίδες , έχουν ίδια βάση την
και ίσα ύψη γιατί οι κορυφές ισαπέχουν από το επίπεδο της βάσης καθώς το είναι μέσον του τμήματος . Άρα:
Για να δείξουμε το ζητούμενο αρκεί να δείξουμε ότι τα τετράεδρα έχουν τον ίδιο όγκο.
Όμως είναι:
Από τις (2) και (3) αρκεί να δειχθεί ότι:
Στη συνέχεια εφαρμόζουμε το θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο με διατέμνουσα την . Άρα:
Όμοια το ίδιο θεώρημα στο τρίγωνο με διατέμνουσα την . Άρα:
Από τις (5) και (6) προκύπτει:
Η σχέση (7) είναι η (4) η οποία εξασφαλίζει την ισότητα των όγκων των τετραέδρων
Επομένως το επίπεδο αυτό χωρίζει το τετράεδρο σε δύο ισοδύναμα στερεά πολύεδρα.
Κώστας Δόρτσιος
-
- Δημοσιεύσεις: 491
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 02, 2012 10:09 pm
Re: ΙΚΑΡΩΝ 1973 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
2. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο () και σημείο πάνω στην πλευρά του . Να αχθεί από το ευθεία, που να τέμνει την ευθεία σε σημείο τέτοιο ώστε τα τρίγωνα και να είναι ισοδύναμα.
..καλησπέρα..
ονομάζουμε: . Ο σκοπός μας είναι να υπολογίσουμε και να κατασκευάσουμε το τμήμα , με δεδομένα τα τμήματα και με την προυπόθεση ότι .
Έχουμε: και ταυτόχρονα
Επειδή όμως: . Έτσι το ευθύγραμμο τμήμα υπολογίσθηκε και κατασκευάζεται εύκολα ως εφαρμογή του θ. Θαλή.
..καλησπέρα..
ονομάζουμε: . Ο σκοπός μας είναι να υπολογίσουμε και να κατασκευάσουμε το τμήμα , με δεδομένα τα τμήματα και με την προυπόθεση ότι .
Έχουμε: και ταυτόχρονα
Επειδή όμως: . Έτσι το ευθύγραμμο τμήμα υπολογίσθηκε και κατασκευάζεται εύκολα ως εφαρμογή του θ. Θαλή.
Re: ΙΚΑΡΩΝ 1973 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
και από το παράλληλη προς την , η οποία τέμνει την προέκταση της στο .
Από θ.Θαλή έχω : , ό.έ.δ.
Παρατήρηση : Δεν είναι απαραίτητο το αρχικό τρίγωνο να είναι ισοσκελές !
-
- Δημοσιεύσεις: 3603
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: ΙΚΑΡΩΝ 1973 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Χαιρετώ τα όμορφα Γρεβενά.KDORTSI έγραψε: ↑Σάβ Δεκ 28, 2013 6:07 pmΣτο ακόλουθο σχήμα έχουμε φέρει ένα επίπεδο που διέρχεται από τα μέσα αντίστοιχα των ακμών του τετραέδρου .parmenides51 έγραψε:5. Το επίπεδο που διέρχεται από τα μέσα δυο απέναντι ακμών τετραέδρου το διαιρεί σε δυο μέρη ισοδύναμα.
Το επίπεδο αυτό τέμνει τις αντίστοιχα στα σημεία .
Προεκτείνοντας το επίπεδο αυτό του τετραπλεύρου βρίσκουμε την τομή αυτού με την .
Με άλλα λόγια οι τρεις ευθείες που ορίζουν οι διέρχονται από το ίδιο σημείο, δηλαδή το .
Ισομερισμός Τετραέδρου 1.PNG
Προφανώς οι δύο τετραγωνικές πυραμίδες , έχουν ίδια βάση την
και ίσα ύψη γιατί οι κορυφές ισαπέχουν από το επίπεδο της βάσης καθώς το είναι μέσον του τμήματος . Άρα:
Για να δείξουμε το ζητούμενο αρκεί να δείξουμε ότι τα τετράεδρα έχουν τον ίδιο όγκο.
Όμως είναι:
Από τις (2) και (3) αρκεί να δειχθεί ότι:
Στη συνέχεια εφαρμόζουμε το θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο με διατέμνουσα την . Άρα:
Όμοια το ίδιο θεώρημα στο τρίγωνο με διατέμνουσα την . Άρα:
Από τις (5) και (6) προκύπτει:
Η σχέση (7) είναι η (4) η οποία εξασφαλίζει την ισότητα των όγκων των τετραέδρων
Επομένως το επίπεδο αυτό χωρίζει το τετράεδρο σε δύο ισοδύναμα στερεά πολύεδρα.
Κώστας Δόρτσιος
Μπορούμε να γλυτώσουμε τα τελευταία.
Η σχέση
είναι ισοδύναμη με την
(αντιστρέφουμε και σπάμε)
Αλλά είναι
(*)
οπότε χρησιμοποιώντας ότι τα
βλέπουμε ότι ισχύει.
Η σχέση (*) προκύπτει γιατί οι λόγοι είναι ισοι με τον λόγο των αποστάσεων των κορυφών
από το επίπεδο.
Γενικότερα με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχθεί ότι
Αν έχουμε , όπου σημεία στον χώρο και ένα επίπεδο τέμνει την
στο και την στο
τότε είναι
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1816
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: ΙΚΑΡΩΝ 1973 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Απλά να σημειώσουμε ότι η σχέση (*) είναι το θεώρημα Μενελάου για στρεβλά τετράπλευρα.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Κυρ Οκτ 25, 2020 10:24 am
Αλλά είναι
(*)
οπότε χρησιμοποιώντας ότι τα
βλέπουμε ότι ισχύει.
Η σχέση (*) προκύπτει γιατί οι λόγοι είναι ισοι με τον λόγο των αποστάσεων των κορυφών
από το επίπεδο.
Για όσους γνωρίζουν τις ιδιότητες και θεωρήματα αφινικών μετασχηματισμών μπορεί να δοθεί και η εξής λύση:
Εφόσον δυο οποιαδήποτε τετράεδρα είναι αφινικά ισοδύναμα, τότε η λύση του προβλήματος για το κανονικό τετράεδρο θα ισχύει και για τυχαίο. Το κανονικό τετράεδρο όμως είναι συμμετρικό ως προς την ευθεία που διέρχεται από τα μέσα δυο απέναντι ακμών του. Αυτή η αξονική συμμετρία μετασχηματίζει το τέμνον επίπεδο στον εαυτό του και τα τμήματα του τετραέρου στα οποία διαμερίζεται από αυτό το επίπεδο, το ένα στο άλλο. Οπότε οι όγκοι τους είναι ίσοι.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες