ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1963 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΓΡΟΝΟΜΟΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΟΙ

parmenides51 · #1

Εξεταστές: Συμόπουλος - Λαδόπουλος

1. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{A_1B_1\Gamma_1}$ εγγεγραμμένο σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ (το $\displaystyle{A_1}$ βρίσκεται στην $\displaystyle{B\Gamma}$ ,το $\displaystyle{B_1}$ βρίσκεται στην $\displaystyle{ A\Gamma}$ , το $\displaystyle{\Gamma_1}$ βρίσκεται στην $\displaystyle{AB}$ ). Να δείξετε οτι για να έχουν τα τρίγωνα κοινό κέντρου βάρους πρέπει και αρκεί να ισχύει η σχέση $\displaystyle{\frac{A\Gamma_1}{\Gamma_1B}= \frac{BA_1}{A_1\Gamma}= \frac{\Gamma B_1}{B_1A}}$ .

2. Δίνεται ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon)}$ και σημείο $\displaystyle{O}$ εκτός αυτής. Φέρνουμε από το $\displaystyle{O}$ μια τυχαία ευθεία που τέμνει την $\displaystyle{(\varepsilon)}$ στο $\displaystyle{A}$ . Με πλευρά την $\displaystyle{OA}$ κατασκευάζουμε ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AOB}$ ( $\displaystyle{\widehat{A}=90^o}$ ). Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του εγγεγραμμένου κύκλου στο $\displaystyle{AOB}$ .

3. Σφαίρα εφάπτεται των ακμών τρίεδρης στερεάς γωνίας, της οποίας οι επίπεδες γωνίες είναι $\displaystyle{60^o}$ . Να αποδειχθεί οτι το τετράγωνο της επιφάνειας της σφαίρας, που βρίσκεται εσωτερικά της στερεάς γωνίας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των επιφανειών της σφαίρας που βρίσκονται εξωτερικά της τρίεδρης γωνίας.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Συμόπουλος - Λαδόπουλος

1. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{A_1B_1\Gamma_1}$ εγγεγραμμένο σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ (το $\displaystyle{A_1}$ βρίσκεται στην $\displaystyle{B\Gamma}$ ,το $\displaystyle{B_1}$ βρίσκεται στην $\displaystyle{ A\Gamma}$ , το $\displaystyle{\Gamma_1}$ βρίσκεται στην $\displaystyle{AB}$ ). Να δείξετε οτι για να έχουν τα τρίγωνα κοινό κέντρου βάρους πρέπει και αρκεί να ισχύει η σχέση $\displaystyle{\frac{A\Gamma_1}{\Gamma_1B}= \frac{BA_1}{A_1\Gamma}= \frac{\Gamma B_1}{B_1A}}$ .

Αυτό το μάλλον κλασσικό θέμα θα λυθεί με διανύσματα , έξω από τα εξεταστικά πλαίσια του 1963.Νομίζω ότι πρόκειται για μια χαρακτηριστική περίπτωση για το πώς ένα θέμα Ευκλείδειας Γεωμετρίας αντιμετωπίζεται πολύ πετυχημένα με διανύσματα.

Θα βασιστούμε στην άσκηση 7 της σελίδας 29 του τρέχοντος σχολικού βιβλίου Μαθηματικών Κατεύθυνσης της Β' Λυκείου.

Η άσκηση είναι η εξής:
Αν και είναι τα βαρύκεντρα δύο τριγώνων και , να αποδείξετε ότι
$\overrightarrow {AA'}+\overrightarrow {BB'}+\overrightarrow {CC'}=3\overrightarrow {GG'}$

Δε γράφω λύση της άσκησης αυτής , τη θεωρώ πολύ απλή.

Θα αποδείξουμε πρώτα ότι :

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{A_1B_1\Gamma_1}$ εγγεγραμμένο σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ (το $\displaystyle{A_1}$ βρίσκεται στην $\displaystyle{B\Gamma}$ ,το $\displaystyle{B_1}$ βρίσκεται στην $\displaystyle{ A\Gamma}$ , το $\displaystyle{\Gamma_1}$ βρίσκεται στην $\displaystyle{AB}$ ). Αν $\displaystyle{\frac{A\Gamma_1}{\Gamma_1B}= \frac{BA_1}{A_1\Gamma}= \frac{\Gamma B_1}{B_1A}}$ τότε τα τρίγωνα αυτά έχουν κοινό κέντρο βάρους.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θέτουμε ότι

$\displaystyle{\frac{A\Gamma_1}{\Gamma_1B}= \frac{BA_1}{A_1\Gamma}= \frac{\Gamma B_1}{B_1A}}=\lambda$

Ισχύει ότι

$\displaystyle\frac{BA_{1}}{BA_{1}+ A_{1}\Gamma}=\frac{\Gamma B_{1}}{\Gamma B_{1}+B_{1}A}=\frac{A\Gamma_{1}}{A\Gamma_{1}+\Gamma_{1} B}=\frac{\lambda }{\lambda +1}$

δηλαδή

$\displaystyle\frac{BA_{1}}{B\Gamma}=\frac{\Gamma B_{1}}{\Gamma A}=\frac{A\Gamma_{1}}{A B}=\frac{\lambda }{\lambda +1}$

Για να περάσουμε στη διανυσματική διατύπωση , ισχύει ότι

$\displaystyle\overrightarrow {BA_{1}}=\frac{\lambda }{\lambda +1}\overrightarrow {B\Gamma}$

$\displaystyle\overrightarrow {\Gamma B_{1}}=\frac{\lambda }{\lambda +1}\overrightarrow {\Gamma A}$

$\displaystyle\overrightarrow {A\Gamma_{1}}=\frac{\lambda }{\lambda +1}\overrightarrow {AB}$

Συνεπώς έχουμε

$\displaystyle \overrightarrow {AA_{1}}=\overrightarrow{AB} +\overrightarrow {BA_{1}}=\overrightarrow{AB} +\frac{\lambda }{\lambda+1}\overrightarrow {B\Gamma}$

$\displaystyle \overrightarrow {BB_{1}}=\overrightarrow{B\Gamma} +\overrightarrow {\Gamma B_{1}}=\overrightarrow{B\Gamma} +\frac{\lambda }{\lambda+1}\overrightarrow {\Gamma A}$

$\displaystyle \overrightarrow {\Gamma\Gamma_{1}}= \overrightarrow {\Gamma A} +\overrightarrow {A\Gamma_{1}}= \overrightarrow {\Gamma A} +\frac{\lambda }{\lambda+1}\overrightarrow {AB}$

Αν προστεθούν κατά μέλη οι τρεις τελευταίες ισότητες έχουμε

$\displaystyle \overrightarrow {AA_{1}}+\overrightarrow {BB_{1}} +\overrightarrow {\Gamma\Gamma_{1}}=( \overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {B\Gamma}+ \overrightarrow {\Gamma A})+\frac{\lambda }{\lambda+1}(\overrightarrow {B\Gamma}+\overrightarrow {\Gamma A}+\overrightarrow {AB})=$

$\displaystyle=\overrightarrow {0}+\frac{\lambda }{\lambda+1}\overrightarrow {0}=\overrightarrow {0}$

Έτσι λοιπόν , αν G,G'

τα βαρύκεντρα των τριγώνων $AB\Gamma, A_{1} B_{1}\Gamma_{1}$ , ισχύει ότι

$3\overrightarrow {GG'}=\overrightarrow {0}$

και συνεπώς

$\overrightarrow {GG'}=\overrightarrow {0}$

Αυτό σημαίνει ότι τα G,G'

ταυτίζονται.

Όποιος έχει κοιτάξει κάπως επισταμένα τα βιβλία Ευκλείδειας Γεωμετρίας που κυκλοφόρησαν τη δεκαετία του 1970 , έχει δει αποδείξεις της παραπάνω πρότασης.

Ας δούμε τώρα την αντίστροφη πρόταση:

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{A_1B_1\Gamma_1}$ εγγεγραμμένο σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ (το $\displaystyle{A_1}$ βρίσκεται στην $\displaystyle{B\Gamma}$ ,το $\displaystyle{B_1}$ βρίσκεται στην $\displaystyle{ A\Gamma}$ , το $\displaystyle{\Gamma_1}$ βρίσκεται στην $\displaystyle{AB}$ ). Αν τα τρίγωνα αυτά έχουν κοινό κέντρο βάρους τότε $\displaystyle{\frac{A\Gamma_1}{\Gamma_1B}= \frac{BA_1}{A_1\Gamma}= \frac{\Gamma B_1}{B_1A}}$ .

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θέτω

$\overrightarrow {BA_1}=\mu _{1}\overrightarrow {B\Gamma}$

$\overrightarrow {\Gamma B_1}=\mu _{2}\overrightarrow {\Gamma A}$

$\overrightarrow {A\Gamma_1}=\mu _{3}\overrightarrow {AB}$

Αυτό που θα αποδειχθεί είναι ότι $\mu _{1}=\mu _{2}=\mu _{3}$

Φυσικά

$\overrightarrow {AA_1}+\overrightarrow {BB_1}+\overrightarrow {\Gamma\Gamma_1}=\overrightarrow {0}$

δηλαδή

$\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BA_1}+\overrightarrow {B\Gamma}+\overrightarrow {\Gamma B_1}+\overrightarrow {\Gamma A}+\overrightarrow {A\Gamma_1}=\overrightarrow {0}$

δηλαδή

$\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {B\Gamma}+\overrightarrow {\Gamma A}+\overrightarrow {BA_1}+\overrightarrow {\Gamma B_1}+\overrightarrow {A\Gamma_1}=\overrightarrow {0}$

δηλαδή

$\overrightarrow {BA_1}+\overrightarrow {\Gamma B_1}+\overrightarrow {A\Gamma_1}=\overrightarrow {0}$

δηλαδή

$\mu _{1}\overrightarrow {B\Gamma}+\mu _{2}\overrightarrow {\Gamma A}+\mu _{3}\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {0}$

δηλαδή

$\mu _{1}(\overrightarrow {A\Gamma}-\overrightarrow {AB})-\mu _{2}\overrightarrow {A\Gamma }+\mu _{3}\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {0}$

δηλαδή

$(\mu _{1}-\mu _{2})\overrightarrow {A\Gamma}+(\mu _{3}-\mu _{1})\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {0}$

και αφού τα $\overrightarrow {A\Gamma},\overrightarrow {AB}$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα , έπεται ότι

$\mu _{1}-\mu _{2}=0$ και $\mu _{3}-\mu _{1}=0$

Από αυτές τις δυο τελευταίες βρίσκεται ότι

$\mu _{1}=\mu _{2}=\mu _{3}$

Η ουσία της απόδειξης τελειώνει εδώ. Τα υπόλοιπα νομίζω ότι είναι θέμα ρουτίνας...

Νομίζω ότι αξίζει να γράψω λίγα για τον έναν από τους δύο ανθρώπους που έβαλαν αυτά τα θέματα , τον Παναγιώτη Λαδόπουλο. Γεννήθηκε στον Πειραιά το 1914 και πέθανε το 2005. Σπούδασε πολιτικός μηχανικός και κατόπιν μαθηματικά. Το 1947 αναγορεύτηκε διδάκτορας στα Μαθηματικά. Από το 1956 δίδαξε Παραστατική Γεωμετρία στο ΑΠΘ και από το 1965 έως το 1981 δίδαξε στο ΕΜΠ. Τα βιβλία του ''Παραστατική Γεωμετρία'' και ''Στοιχεία Προβολικής Γεωμετρίας I '' και '' Στοιχεία Προβολικής Γεωμετρίας ΙI '' είναι κλασσικά.

ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1963 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΓΡΟΝΟΜΟΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΟΙ

ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1963 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΓΡΟΝΟΜΟΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΟΙ

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1963 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΓΡΟΝΟΜΟΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΟΙ

Μέλη σε σύνδεση