ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1963 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1963 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Παρ Ιαν 31, 2014 11:01 pm

Εξεταστής: Διον. Βυθούλκας


1. Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} και από τις κορυφές του… \displaystyle{A,B,\Gamma} διέρχονται αντίστοιχα‚ \displaystyle{AA',BB',\Gamma\Gamma' } που ορίζουν οι ευθείες αντίστοιχα τα σημεία \displaystyle{A',B',\Gamma}. Εαν οι \displaystyle{AA',BB',\Gamma\Gamma' } διέρχονται από το ίδιο σημείο \displaystyle{O} και είναι \displaystyle{\widehat{AA'\Gamma}=\widehat{BB'A}=\widehat{\Gamma\Gamma'B}}, να βρεθεί ποιες από τις χαρακτηριστικές ευθείες του τριγώνου είναι οι ευθείες \displaystyle{AA',BB,\Gamma\Gamma'} .


2. Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} και οι ευθείες \displaystyle{\Delta E,ZH } και \displaystyle{\Theta I } παράλληλες αντίστοιχα προς τις \displaystyle{B\Gamma,\Gamma A,AB} και εφαπτόμενες του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου. Εαν \displaystyle{R_1,R_2,R_3,R} είναι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων στα τρίγωνα \displaystyle{A\Delta E, BZH, \Gamma\Theta I,AB\Gamma}, να δειχθεί η ισότητα \displaystyle{R_1+R_2+R_3=R}.


3. Εαν \displaystyle{U_{\alpha},U_{\beta},U_{\gamma}} είναι τα ύψη τριγώνου και \displaystyle{E} το εμβαδόν του \displaystyle{AB\Gamma} , να δειχτεί οτι
\displaystyle{E=\frac{1}{\sqrt{\displaystyle \left(\frac{1}{ U_{\alpha}}+\frac{1}{ U_{\beta}}+\frac{1}{ U_{\gamma}}}\right)\left(-\frac{1}{ U_{\alpha}}+\frac{1}{ U_{\beta}}+\frac{1}{ U_{\gamma}}}\right)\left(\frac{1}{ U_{\alpha}}-\frac{1}{ U_{\beta}}+\frac{1}{ U_{\gamma}}}\right)\left(\frac{1}{ U_{\alpha}}+\frac{1}{ U_{\beta}}-\frac{1}{ U_{\gamma}}}\right)}}}


Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 944
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1963 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Παρ Ιαν 31, 2014 11:24 pm

parmenides51 έγραψε: size=150]3.[/size] Εαν \displaystyle{U_{\alpha},U_{\beta},U_{\gamma}} είναι τα ύψη τριγώνου και \displaystyle{E} το εμβαδόν του \displaystyle{AB\Gamma} , να δειχτεί οτι
\displaystyle{E=\frac{1}{\sqrt{\displaystyle \left(\frac{1}{ U_{\alpha}}+\frac{1}{ U_{\beta}}+\frac{1}{ U_{\gamma}}}\right)\left(-\frac{1}{ U_{\alpha}}+\frac{1}{ U_{\beta}}+\frac{1}{ U_{\gamma}}}\right)\left(\frac{1}{ U_{\alpha}}-\frac{1}{ U_{\beta}}+\frac{1}{ U_{\gamma}}}\right)\left(\frac{1}{ U_{\alpha}}+\frac{1}{ U_{\beta}}-\frac{1}{ U_{\gamma}}}\right)}}}
Είναι: \displaystyle\alpha  = \frac{{2{\rm E}}}{{{U_\alpha }}},\;\beta  = \frac{{2{\rm E}}}{{{U_\beta }}},\;\gamma  = \frac{{2{\rm E}}}{{{U_\gamma }}}

Η ημιπερίμετρος του τριγώνου είναι \displaystyle\tau  = \frac{{\rm E}}{{{U_\alpha }}} + \frac{{\rm E}}{{{U_\beta }}} + \frac{{\rm E}}{{{U_\gamma }}} = {\rm E}\left( {\frac{1}{{{U_\alpha }}} + \frac{1}{{{U_\beta }}} + \frac{1}{{{U_\gamma }}}} \right)

Από τον τύπο του Ήρωνα είναι:

\displaystyle{{\rm E} = \sqrt {\tau \left( {\tau  - \alpha } \right)\left( {\tau  - \beta } \right)\left( {\tau  - \gamma } \right)}  \Rightarrow }

\displaystyle {\rm E} = \sqrt {{{\rm E}^4}\left( {\frac{1}{{{U_\alpha }}} + \frac{1}{{{U_\beta }}} + \frac{1}{{{U_\gamma }}}} \right)\left( { - \frac{1}{{{U_\alpha }}} + \frac{1}{{{U_\beta }}} + \frac{1}{{{U_\gamma }}}} \right)\left( {\frac{1}{{{U_\alpha }}} - \frac{1}{{{U_\beta }}} + \frac{1}{{{U_\gamma }}}} \right)\left( {\frac{1}{{{U_\alpha }}} + \frac{1}{{{U_\beta }}} - \frac{1}{{{U_\gamma }}}} \right)}  \Rightarrow


\displaystyle {\rm E} = {{\rm E}^2}\sqrt {\left( {\dfrac{1}{{{U_\alpha }}} + \dfrac{1}{{{U_\beta }}} + \dfrac{1}{{{U_\gamma }}}} \right)\left( { - \dfrac{1}{{{U_\alpha }}} + \dfrac{1}{{{U_\beta }}} + \dfrac{1}{{{U_\gamma }}}} \right)\left( {\dfrac{1}{{{U_\alpha }}} - \dfrac{1}{{{U_\beta }}} + \dfrac{1}{{{U_\gamma }}}} \right)\left( {\dfrac{1}{{{U_\alpha }}} + \dfrac{1}{{{U_\beta }}} - \dfrac{1}{{{U_\gamma }}}} \right)}  \Rightarrow


\displaystyle {\rm E} = \dfrac{1}{{\sqrt {\left( {\dfrac{1}{{{U_\alpha }}} + \dfrac{1}{{{U_\beta }}} + \dfrac{1}{{{U_\gamma }}}} \right)\left( { - \dfrac{1}{{{U_\alpha }}} + \dfrac{1}{{{U_\beta }}} + \dfrac{1}{{{U_\gamma }}}} \right)\left( {\dfrac{1}{{{U_\alpha }}} - \dfrac{1}{{{U_\beta }}} + \dfrac{1}{{{U_\gamma }}}} \right)\left( {\dfrac{1}{{{U_\alpha }}} + \dfrac{1}{{{U_\beta }}} - \dfrac{1}{{{U_\gamma }}}} \right)} }}


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8772
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1963 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 01, 2014 5:13 pm

parmenides51 έγραψε:Εξεταστής: Διον. Βυθούλκας


1. Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} και από τις κορυφές του… \displaystyle{A,B,\Gamma} διέρχονται αντίστοιχα‚ \displaystyle{AA',BB',\Gamma\Gamma' } που ορίζουν οι ευθείες αντίστοιχα τα σημεία \displaystyle{A',B',\Gamma}. Εαν οι \displaystyle{AA',BB',\Gamma\Gamma' } διέρχονται από το ίδιο σημείο \displaystyle{O} και είναι \displaystyle{\widehat{AA'\Gamma}=\widehat{BB'A}=\widehat{\Gamma\Gamma'B}}, να βρεθεί ποιες από τις χαρακτηριστικές ευθείες του τριγώνου είναι οι ευθείες \displaystyle{AA',BB,\Gamma\Gamma'} .
Μικρό Πολυτεχνείο 1963.png
Μικρό Πολυτεχνείο 1963.png (10.4 KiB) Προβλήθηκε 950 φορές
Έστω \displaystyle{{\rm A}\widehat {{\rm A}'}\Gamma  = {\rm B}\widehat {{\rm B}'}{\rm A} = \Gamma \widehat {\Gamma '}{\rm B} = \omega }.

Τα τετράπλευρα \displaystyle{{\rm H}\Gamma '{\rm B}{\rm A}',{\rm H}{\rm B}'\Gamma {\rm A}'} είναι εγγράψιμα (μία γωνία τους είναι ίση με την απέναντι εξωτερική).

Άρα, \displaystyle{{\rm A}\Gamma ' \cdot {\rm A}{\rm B} = {\rm A}{\rm H} \cdot {\rm A}{\rm A}' = {\rm A}{\rm B}' \cdot {\rm A}\Gamma }.

Οπότε και το \displaystyle{{\rm B}\Gamma {\rm B}'\Gamma '} είναι εγγράψιμο, άρα \displaystyle{{\rm B}\widehat {{\rm B}'}\Gamma  = {\rm B}\widehat {\Gamma '}\Gamma  = \omega  \Leftrightarrow \omega  = {90^0}}.

Πρόκειται λοιπόν για τα ύψη του τριγώνου.


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 938
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1963 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Δευ Απρ 07, 2014 3:43 pm

parmenides51 έγραψε:Εξεταστής: Διον. Βυθούλκας

2. Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} και οι ευθείες \displaystyle{\Delta E,ZH } και \displaystyle{\Theta I } παράλληλες αντίστοιχα προς τις \displaystyle{B\Gamma,\Gamma A,AB} και εφαπτόμενες του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου. Εαν \displaystyle{R_1,R_2,R_3,R} είναι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων στα τρίγωνα \displaystyle{A\Delta E, BZH, \Gamma\Theta I,AB\Gamma}, να δειχθεί η ισότητα \displaystyle{R_1+R_2+R_3=R}.
Αυτό το θέμα μου αρέσει πολύ....

Το κάθε ένα από τα τρίγωνα A\Delta E,BZH,\Gamma \Theta I είναι όμοιο με το AB\Gamma. Αυτό το καταλαβαίνει εύκολα μαθητής γυμνασίου....
Το θεώρημα που ουσιαστικά λύνει το θέμα είναι το όμορφο συμπέρασμα : Ο λόγος ομοιότητας δύο ομοίων τριγώνων είναι ίσος με το λόγο δύο αντιστοίχων γραμμικών στοιχείων του , στην περίπτωση που εξετάζουμε το αξιοποιούμε ως : ο λόγος ομοιότητας δύο ομοίων τριγώνων είναι ίσος με το λόγο των ακτίνων των περιγεγραμμένων κύκλων του και ο λόγος ομοιότητας δύο ομοίων τριγώνων είναι ίσος με το λόγο των αντιστοίχων υψών τους.

Έτσι ο λόγος ομοιότητας \lambda _{1} των τριγώνων A\Delta E , AB\Gamma είναι ίσος με \frac{R_{1}}{R} και με \frac{h_{a}-2r}{h_{a}} .

Mε αντίστοιχες σκέψεις

ο λόγος ομοιότητας \lambda _{2} των τριγώνων BZH , AB\Gamma είναι ίσος με \frac{R_{2}}{R} και με \frac{h_{b}-2r}{h_{b}}

ο λόγος ομοιότητας \lambda _{3} των τριγώνων \Gamma \Theta I , AB\Gamma είναι ίσος με \frac{R_{3}}{R} και με \frac{h_{c}-2r}{h_{c}}

\lambda _{1}+ \lambda _{2}+\lambda _{3}=

\frac{h_{a}-2r}{h_{a}}+\frac{h_{b}-2r}{h_{b}}+\frac{h_{c}-2r}{h_{c}}=

1-\frac{2r}{h_{a}}+1-\frac{2r}{h_{b}}+1-\frac{2r}{h_{c}}=

3-\left(\frac{2r}{h_{a}}+\frac{2r}{h_{b}}+\frac{2r}{h_{c}} \right)=

3-2r\left(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}} \right)=

3-2r\frac{1}{r}=3-2=1

Iσχύει ότι

\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=\frac{R_{1}+R_{2}+R_{3}}{R}

και αφού \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1

η προς απόδειξη ισότητα έπεται αμέσως.

Χρησιμοποιήθηκε η γνωστή ισότητα

\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{1}{r}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8772
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1963 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Απρ 08, 2014 11:26 am

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
parmenides51 έγραψε:Εξεταστής: Διον. Βυθούλκας

2. Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} και οι ευθείες \displaystyle{\Delta E,ZH } και \displaystyle{\Theta I } παράλληλες αντίστοιχα προς τις \displaystyle{B\Gamma,\Gamma A,AB} και εφαπτόμενες του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου. Εαν \displaystyle{R_1,R_2,R_3,R} είναι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων στα τρίγωνα \displaystyle{A\Delta E, BZH, \Gamma\Theta I,AB\Gamma}, να δειχθεί η ισότητα \displaystyle{R_1+R_2+R_3=R}.
Αυτό το θέμα μου αρέσει πολύ....

Το κάθε ένα από τα τρίγωνα A\Delta E,BZH,\Gamma \Theta I είναι όμοιο με το AB\Gamma. Αυτό το καταλαβαίνει εύκολα μαθητής γυμνασίου....
Το θεώρημα που ουσιαστικά λύνει το θέμα είναι το όμορφο συμπέρασμα : Ο λόγος ομοιότητας δύο ομοίων τριγώνων είναι ίσος με το λόγο δύο αντιστοίχων γραμμικών στοιχείων του , στην περίπτωση που εξετάζουμε το αξιοποιούμε ως : ο λόγος ομοιότητας δύο ομοίων τριγώνων είναι ίσος με το λόγο των ακτίνων των περιγεγραμμένων κύκλων του και ο λόγος ομοιότητας δύο ομοίων τριγώνων είναι ίσος με το λόγο των αντιστοίχων υψών τους.

Έτσι ο λόγος ομοιότητας \lambda _{1} των τριγώνων A\Delta E , AB\Gamma είναι ίσος με \frac{R_{1}}{R} και με \frac{h_{a}-2r}{h_{a}} .

Mε αντίστοιχες σκέψεις

ο λόγος ομοιότητας \lambda _{2} των τριγώνων BZH , AB\Gamma είναι ίσος με \frac{R_{2}}{R} και με \frac{h_{b}-2r}{h_{b}}

ο λόγος ομοιότητας \lambda _{3} των τριγώνων \Gamma \Theta I , AB\Gamma είναι ίσος με \frac{R_{3}}{R} και με \frac{h_{c}-2r}{h_{c}}
Μικρό Πολυτεχνείο Γεωμετρία 1963.2.png
Μικρό Πολυτεχνείο Γεωμετρία 1963.2.png (25.81 KiB) Προβλήθηκε 823 φορές
\lambda _{1}+ \lambda _{2}+\lambda _{3}=

\frac{h_{a}-2r}{h_{a}}+\frac{h_{b}-2r}{h_{b}}+\frac{h_{c}-2r}{h_{c}}=

1-\frac{2r}{h_{a}}+1-\frac{2r}{h_{b}}+1-\frac{2r}{h_{c}}=

3-\left(\frac{2r}{h_{a}}+\frac{2r}{h_{b}}+\frac{2r}{h_{c}} \right)=

3-2r\left(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}} \right)=

3-2r\frac{1}{r}=3-2=1

Iσχύει ότι

\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=\frac{R_{1}+R_{2}+R_{3}}{R}

και αφού \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1

η προς απόδειξη ισότητα έπεται αμέσως.

Χρησιμοποιήθηκε η γνωστή ισότητα

\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{1}{r}

Δίνω το σχήμα στη λύση του Τηλέμαχου, επειδή έχει κάποιο πρόβλημα με το geogebra.


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 938
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1963 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Τετ Απρ 09, 2014 5:10 pm

Να ευχαριστήσω το Γιώργο Βισβίκη για το όμορφο σχήμα του .
Το όμορφο με αυτό το θέμα είναι ότι μπορούν να προκύψουν κι άλλες αντίστοιχες ισότητες.
Για παράδειγμα , όμοια μπορεί να αποδειχθεί ότι

\rho _{1}+\rho _{2}+\rho _{3}=\rho

όπου \rho _{1},\rho _{2},\rho _{3} ,\rho

οι ακτίνες των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων A\Delta E,BZH ,\Gamma \Theta I , AB\Gamma αντίστοιχα.


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 938
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1963 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Δευ Ιουν 09, 2014 9:09 pm

parmenides51 έγραψε:Εξεταστής: Διον. Βυθούλκας

2. Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} και οι ευθείες \displaystyle{\Delta E,ZH } και \displaystyle{\Theta I } παράλληλες αντίστοιχα προς τις \displaystyle{B\Gamma,\Gamma A,AB} και εφαπτόμενες του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου. Εαν \displaystyle{R_1,R_2,R_3,R} είναι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων στα τρίγωνα \displaystyle{A\Delta E, BZH, \Gamma\Theta I,AB\Gamma}, να δειχθεί η ισότητα \displaystyle{R_1+R_2+R_3=R}.
Aς δώσω άλλη μια λύση σ' αυτό το θέμα. Το καλό μ' αυτή τη λύση είναι ότι χρησιμοποιεί γνώσεις μόνο μέχρι και τα όμοια τρίγωνα.

Έστω \Lambda το σημείο τομής των ευθειών ZH και I\Theta.
Φυσικά το τρίγωνο \Lambda \Theta  H είναι όμοιο με το τρίγωνο A\Delta E.
Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου AB\Gamma είναι κοινός παρεγγεγραμμένος για τα τρίγωνα \Lambda\Theta  H , A\Delta E που αντιστοιχεί στις αντίστοιχες κορυφές A και \Lambda.

Θα αξιοποιήσουμε το γεγονός ότι σε δύο όμοια τρίγωνα ο λόγος ομοιότητας είναι ίσος με το λόγο των ακτίνων των παρεγγεγραμμένων κύκλων που αντιστοιχούν σε αντίστοιχες κορυφές.

Άρα

\displaystyle \frac{\Delta E}{ \Theta H}=\frac{\rho }{\rho } =1.

Συνεπώς
\Delta E= \Theta H

Τα τρίγωνα A B \Gamma,A \Delta E,ZBH,I \Theta \Gamma είναι όμοια και τώρα θα χρησιμοποιήσω το γεγονός ότι σε δύο όμοια τρίγωνα ο λόγος ομοιότητας είναι ίσος με το λόγο των ακτίνων των περιγγεγραμμένων κύκλων τους.


Aπό εδώ προκύπτει ότι

\displaystyle \frac{B\Gamma }{R} =\frac{\Delta E}{R_{1}}=\frac{BH}{R_{2}}=\frac{\Theta\Gamma }{R_{3}}=\frac{\Delta E+BH+\Theta\Gamma }{R_{1}+R_{2}+R_{3}}=\frac{\Theta H+BH+\Theta\Gamma }{R_{1}+R_{2}+R_{3}}=\frac{B\Gamma }{R_{1}+R_{2}+R_{3}}

Το ζητούμενο συμπέρασμα έπεται πλέον εύκολα.
Συνημμένα
MIKΡΟ  ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ   1963.png
MIKΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1963.png (11.3 KiB) Προβλήθηκε 619 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Εξετάσεις Σχολών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης