ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Σάβ Φεβ 01, 2014 12:35 am

1. Να λυθεί η εξίσωση \displaystyle{ \sqrt3 \eta\mu x+\sigma\upsilon\nu x=1} .


2. Εαν σε τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} ισχύει η σχέση \displaystyle{(\tau -\beta)\sigma\phi \frac{\Gamma}{2}=\tau \cdot \varepsilon \phi \frac{\Gamma}{2}} , τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.


3. Εαν \displaystyle{\varepsilon \phi^2\alpha=1+2\varepsilon \phi^2\beta} , να δειχτεί οτι \displaystyle{\sigma\upsilon\nu 2\beta-2 \sigma\upsilon\nu 2\alpha=1}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8772
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 01, 2014 12:51 am

parmenides51 έγραψε:1. Να λυθεί η εξίσωση \displaystyle{ \sqrt3 \eta\mu x+\sigma\upsilon\nu x=1} .
\displaystyle{\sqrt 3 \eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x = 1 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\eta \mu x + \frac{1}{2}\sigma \upsilon \nu x = \frac{1}{2}}

\displaystyle{\eta \mu \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = \eta \mu \frac{\pi }{6}}

\displaystyle{x + \frac{\pi }{6} = 2k\pi  + \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow x = 2k\pi ,k \in Z}

ή \displaystyle{x + \frac{\pi }{6} = 2k\pi  + \pi  - \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow x = 2k\pi  + \frac{{2\pi }}{3}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8772
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 01, 2014 1:22 am

parmenides51 έγραψε:1.

3. Εαν \displaystyle{\varepsilon \phi^2\alpha=1+2\varepsilon \phi^2\beta} , να δειχτεί οτι \displaystyle{\sigma\upsilon\nu 2\beta-2 \sigma\upsilon\nu 2\alpha=1}
\displaystyle{\varepsilon {\varphi ^2}\alpha  - 1 = 2\varepsilon {\varphi ^2}\beta  \Leftrightarrow \frac{{1 - \sigma \upsilon \nu 2\alpha }}{{1 + \sigma \upsilon \nu 2\alpha }} - 1 = 2\frac{{1 - \sigma \upsilon \nu 2\beta }}{{1 + \sigma \upsilon \nu 2\beta }} \Leftrightarrow }

\displaystyle{ - 2\frac{{\sigma \upsilon \nu 2\alpha }}{{1 + \sigma \upsilon \nu 2\alpha }} = 2\frac{{1 - \sigma \upsilon \nu 2\beta }}{{1 + \sigma \upsilon \nu 2\beta }} \Leftrightarrow }

\displaystyle{ - \sigma \upsilon \nu 2\alpha  - \sigma \upsilon \nu 2\alpha \sigma \upsilon \nu 2\beta  = 1 - \sigma \upsilon \nu 2\beta  + \sigma \upsilon \nu 2\alpha  - \sigma \upsilon \nu 2\alpha \sigma \upsilon \nu 2\beta  \Leftrightarrow }

\displaystyle{\sigma \upsilon \nu 2\beta  - 2\sigma \upsilon \nu 2\alpha  = 1}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8772
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 01, 2014 11:39 am

parmenides51 έγραψε:
2. Εαν σε τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} ισχύει η σχέση \displaystyle{(\tau -\beta)\sigma\phi \frac{\Gamma}{2}=\tau \cdot \varepsilon \phi \frac{\Gamma}{2}} , τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
\displaystyle{(\tau  - \beta )\sigma \varphi \frac{\Gamma }{2}\varepsilon \varphi \frac{\Gamma }{2} = \tau  \cdot \varepsilon {\varphi ^2}\frac{\Gamma }{2} \Leftrightarrow \tau  - \beta  = \tau  \cdot \frac{{1 - \sigma \upsilon \nu \Gamma }}{{1 + \sigma \upsilon \nu \Gamma }} \Leftrightarrow }

\displaystyle{\tau  + \tau \sigma \upsilon \nu \Gamma  - \beta  - \beta \sigma \upsilon \nu \Gamma  = \tau  - \tau \sigma \upsilon \nu \Gamma  \Leftrightarrow }

\displaystyle{(2\tau  - \beta )\sigma \upsilon \nu \Gamma  = \beta  \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \Gamma  = \frac{\beta }{{\alpha  + \gamma }}} (1)

Αλλά, \displaystyle{\frac{\beta }{{\eta \mu {\rm B}}} = \frac{\alpha }{{\eta \mu {\rm A}}} = \frac{\gamma }{{\eta \mu \Gamma }} = \frac{{\alpha  + \gamma }}{{\eta \mu {\rm A} + \eta \mu \Gamma }} \Leftrightarrow \frac{\beta }{{\alpha  + \gamma }} = \frac{{\eta \mu {\rm B}}}{{\eta \mu {\rm A} + \eta \mu \Gamma }}} (2)

Από (1), (2) έχουμε: \displaystyle{\sigma \upsilon \nu \Gamma  = \frac{{\eta \mu {\rm B}}}{{\eta \mu {\rm A} + \eta \mu \Gamma }} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \Gamma (\eta \mu {\rm A} + \eta \mu \Gamma ) = \eta \mu {\rm B} \Leftrightarrow }

\displaystyle{2\sigma \upsilon \nu \Gamma \left( {\eta \mu \frac{{{\rm A} + \Gamma }}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{{{\rm A} - \Gamma }}{2}} \right) = 2\eta \mu \frac{{\rm B}}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{\Gamma }{2}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\frac{{{\rm A} + \Gamma }}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{{\rm B}}{2}} }

\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \Gamma \sigma \upsilon \nu \frac{{{\rm A} - \Gamma }}{2} = \eta \mu \frac{{\rm B}}{2} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \left( {\Gamma  + \frac{{{\rm A} - \Gamma }}{2}} \right) + \sigma \upsilon \nu \left( {\Gamma  - \frac{{{\rm A} - \Gamma }}{2}} \right) = 2\eta \mu \frac{{\rm B}}{2}}

\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \frac{{{\rm A} + \Gamma }}{2}\sigma \upsilon \nu \left( {\Gamma  - \frac{{{\rm A} - \Gamma }}{2}} \right) = 2\sigma \upsilon \nu \frac{{{\rm A} + \Gamma }}{2} \Leftrightarrow }

\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \left( {\Gamma  - \frac{{{\rm A} - \Gamma }}{2}} \right) = \sigma \upsilon \nu \frac{{{\rm A} + \Gamma }}{2} \Leftrightarrow \Gamma  - \frac{{{\rm A} - \Gamma }}{2} = \frac{{{\rm A} + \Gamma }}{2}}

Άρα \displaystyle{2\Gamma  - {\rm A} + \Gamma  = {\rm A} + \Gamma  \Leftrightarrow {\rm A} = \Gamma }, οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

(Όλες οι απλοποιήσεις έγιναν επειδή έχουμε γωνίες τριγώνου και οι παραστάσεις είναι μη μηδενικές).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Εξετάσεις Σχολών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης