ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Σάβ Φεβ 01, 2014 3:43 pm

1. Να λυθεί η ανίσωση \displaystyle{\frac{x+1}{x^2-x}>1} .


2. Στην εξίσωση \displaystyle{7x^2-40x+k=0 να ορισθεί ο k ώστε
μεταξύ των ριζών της x_1 και x_2 να ισχύει η σχέση 2x_1+7x_2=20.


3. Δυο αμαξοστοιχίες αναχωρούν από δυο τόπους A και B με διεύθυνση η μια προς συνάντηση της άλλης.
Η πρώτη αμαξοστοιχία διανύει την απόσταση AB σε χρόνο t_1 και η δεύτερη σε χρόνο t_2.
Εαν οι αμαξοστοιχίες αναχωρούν συγχρόνως, να βρεθεί ο χρόνος που απαιτείται μέχρι την συνάντηση.


raf616
Δημοσιεύσεις: 680
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 17, 2013 4:35 pm
Τοποθεσία: Μυτιλήνη

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από raf616 » Σάβ Φεβ 01, 2014 4:50 pm

parmenides51 έγραψε:2. Στην εξίσωση \displaystyle{7x^2-40x+k=0 να ορισθεί ο k ώστε
μεταξύ των ριζών της x_1 και x_2 να ισχύει η σχέση 2x_1+7x_2=20.
Σύμφωνα με τους τύπους του Vieta έχουμε:

x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a} = \dfrac{40}{7} \Leftrightarrow x_1 = \dfrac{40}{7} - x_2

Αντικαθιστώντας στη σχέση που μας δίνεται έχουμε:

2x_1 + 7x_2 = 20 \Leftrightarrow \dfrac{80}{7} - 2x_2 + 7x_2 = 20 \Leftrightarrow 5x_2 = \dfrac{60}{7} \Leftrightarrow x_2 = \dfrac{12}{7}

Εύκολα τώρα έχουμε ότι x_1 = \dfrac{28}{7} = 4

Πάλι από Vieta έχουμε:

x_1x_2 = \dfrac{c}{a} \Leftrightarrow 4 \cdot \dfrac{12}{7} = \dfrac{k}{7} \Leftrightarrow k = 48

Έτσι, το ζητούμενο προσδιορίστηκε.


Πάντα κατ' αριθμόν γίγνονται... ~ Πυθαγόρας

Ψυρούκης Ραφαήλ
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8806
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 01, 2014 5:34 pm

parmenides51 έγραψε:1. Να λυθεί η ανίσωση \displaystyle{\frac{x+1}{x^2-x}>1} .
Κατ' αρχήν \displaystyle{{x^2} - x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 0,x \ne 1}.

\displaystyle{\frac{{x + 1}}{{{x^2} - x}} > 1 \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{{x^2} - x}} - 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} + 2x + 1}}{{x(x - 1)}} > 0}

\displaystyle{x\left( { - {x^2} + 2x + 1} \right)(x - 1) > 0}

Το x μηδενίζεται στο 0, το x-1 στο 1 και το τριώνυμο \displaystyle{{ - {x^2} + 2x - 1}} έχει ρίζες \displaystyle{1 - \sqrt 2 ,1 + \sqrt 2 }.

Εδώ χρειάζεται πινακάκι, αλλά δεν ξέρω πώς να το φτιάξω. Γράφω λοιπόν απευθείας τις λύσεις:

\displaystyle{x \in \left( {1 - \sqrt 2 ,0} \right) \cup \left( {1,1 + \sqrt 2 } \right)}.


Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Σάβ Φεβ 01, 2014 6:38 pm

parmenides51 έγραψε:
3. Δυο αμαξοστοιχίες αναχωρούν από δυο τόπους A και B με διεύθυνση η μια προς συνάντηση της άλλης.
Η πρώτη αμαξοστοιχία διανύει την απόσταση AB σε χρόνο t_1 και η δεύτερη σε χρόνο t_2.
Εαν οι αμαξοστοιχίες αναχωρούν συγχρόνως, να βρεθεί ο χρόνος που απαιτείται μέχρι την συνάντηση.
Αν και άσκηση Φυσικής κάνω μια προσπάθεια για να κλείσει το θέμα...
________________________________________________________________________________________________________________________________________

* Για την πρώτη αμαξοστοιχία έχουμε \displaystyle{AB = {u_1} \cdot {t_1} \Leftrightarrow {u_1} = \frac{{AB}}{{{t_1}}}\,\,\,\,\left( 1 \right)}

* Για την δεύτερη αμαξοστοιχία έχουμε \displaystyle{AB = {u_2} \cdot {t_2} \Leftrightarrow {u_2} = \frac{{AB}}{{{t_2}}}\,\,\,\,\left( 2 \right)}

Έστω x η απόσταση που συναντιούνται οι δύο αμαξοστοιχίες από το σημείο A σε χρόνο t, τότε για την πρώτη αμαξοστοιχία έχουμε:

\displaystyle{x = {u_1} \cdot t\,\,\,\left( 3 \right)}

Για την δεύτερη αμαξοστοιχία έχουμε

\displaystyle{\begin{array}{l} 
AB - x = {u_2} \cdot t\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\left( 3 \right)} AB - {u_1} \cdot t = {u_2} \cdot t\\ 
\\ 
 \Leftrightarrow t = \frac{{AB}}{{{u_1} + {u_2}}}\\ 
\\ 
\mathop  \Leftrightarrow \limits_{\left( 2 \right)}^{\left( 1 \right)} t = \frac{{AB}}{{\frac{{AB}}{{{t_1}}} + \frac{{AB}}{{{t_2}}}}}\\ 
\\ 
 \Leftrightarrow t = \frac{{{t_1} \cdot {t_2}}}{{{t_1} + {t_2}}} 
\end{array}}

Σημείωση: Θεωρούμε ότι οι αμαξοστοιχίες κινούνται με σταθερές ταχύτητες \displaystyle{{u_1},{u_2}} αντίστοιχα


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Απάντηση

Επιστροφή σε “Εξετάσεις Σχολών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης