ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Να λυθεί η ανίσωση $\displaystyle{\frac{x+1}{x^2-x}>1}$ .

2. Στην εξίσωση $\displaystyle{7x^2-40x+k=0$ να ορισθεί ο

ώστε
μεταξύ των ριζών της x_1

και

να ισχύει η σχέση 2x_1+7x_2=20

.

3. Δυο αμαξοστοιχίες αναχωρούν από δυο τόπους

και

με διεύθυνση η μια προς συνάντηση της άλλης.
Η πρώτη αμαξοστοιχία διανύει την απόσταση

σε χρόνο

και η δεύτερη σε χρόνο t_2

.
Εαν οι αμαξοστοιχίες αναχωρούν συγχρόνως, να βρεθεί ο χρόνος που απαιτείται μέχρι την συνάντηση.

raf616 · #2

parmenides51 έγραψε:2. Στην εξίσωση $\displaystyle{7x^2-40x+k=0$ να ορισθεί ο ώστε
μεταξύ των ριζών της και να ισχύει η σχέση .

Σύμφωνα με τους τύπους του Vieta έχουμε:

$x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a} = \dfrac{40}{7} \Leftrightarrow x_1 = \dfrac{40}{7} - x_2$

Αντικαθιστώντας στη σχέση που μας δίνεται έχουμε:

$2x_1 + 7x_2 = 20 \Leftrightarrow \dfrac{80}{7} - 2x_2 + 7x_2 = 20 \Leftrightarrow 5x_2 = \dfrac{60}{7} \Leftrightarrow x_2 = \dfrac{12}{7}$

Εύκολα τώρα έχουμε ότι $x_1 = \dfrac{28}{7} = 4$

Πάλι από Vieta έχουμε:

$x_1x_2 = \dfrac{c}{a} \Leftrightarrow 4 \cdot \dfrac{12}{7} = \dfrac{k}{7} \Leftrightarrow k = 48$

Έτσι, το ζητούμενο προσδιορίστηκε.

#3

parmenides51 έγραψε:1. Να λυθεί η ανίσωση $\displaystyle{\frac{x+1}{x^2-x}>1}$ .

Κατ' αρχήν $\displaystyle{{x^2} - x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 0,x \ne 1}$ .

$\displaystyle{\frac{{x + 1}}{{{x^2} - x}} > 1 \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{{x^2} - x}} - 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} + 2x + 1}}{{x(x - 1)}} > 0}$

$\displaystyle{x\left( { - {x^2} + 2x + 1} \right)(x - 1) > 0}$

Το

μηδενίζεται στο

, το

στο

και το τριώνυμο $\displaystyle{{ - {x^2} + 2x - 1}}$ έχει ρίζες $\displaystyle{1 - \sqrt 2 ,1 + \sqrt 2 }$ .

Εδώ χρειάζεται πινακάκι, αλλά δεν ξέρω πώς να το φτιάξω. Γράφω λοιπόν απευθείας τις λύσεις:

$\displaystyle{x \in \left( {1 - \sqrt 2 ,0} \right) \cup \left( {1,1 + \sqrt 2 } \right)}$ .

Μάκης Χατζόπουλος · #4

parmenides51 έγραψε:
3. Δυο αμαξοστοιχίες αναχωρούν από δυο τόπους και με διεύθυνση η μια προς συνάντηση της άλλης.
Η πρώτη αμαξοστοιχία διανύει την απόσταση σε χρόνο και η δεύτερη σε χρόνο .
Εαν οι αμαξοστοιχίες αναχωρούν συγχρόνως, να βρεθεί ο χρόνος που απαιτείται μέχρι την συνάντηση.

Αν και άσκηση Φυσικής κάνω μια προσπάθεια για να κλείσει το θέμα...
________________________________________________________________________________________________________________________________________

* Για την πρώτη αμαξοστοιχία έχουμε $\displaystyle{AB = {u_1} \cdot {t_1} \Leftrightarrow {u_1} = \frac{{AB}}{{{t_1}}}\,\,\,\,\left( 1 \right)}$

* Για την δεύτερη αμαξοστοιχία έχουμε $\displaystyle{AB = {u_2} \cdot {t_2} \Leftrightarrow {u_2} = \frac{{AB}}{{{t_2}}}\,\,\,\,\left( 2 \right)}$

Έστω

η απόσταση που συναντιούνται οι δύο αμαξοστοιχίες από το σημείο

σε χρόνο

, τότε για την πρώτη αμαξοστοιχία έχουμε:

$\displaystyle{x = {u_1} \cdot t\,\,\,\left( 3 \right)}$

Για την δεύτερη αμαξοστοιχία έχουμε

$\displaystyle{\begin{array}{l} AB - x = {u_2} \cdot t\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 3 \right)} AB - {u_1} \cdot t = {u_2} \cdot t\\ \\ \Leftrightarrow t = \frac{{AB}}{{{u_1} + {u_2}}}\\ \\ \mathop \Leftrightarrow \limits_{\left( 2 \right)}^{\left( 1 \right)} t = \frac{{AB}}{{\frac{{AB}}{{{t_1}}} + \frac{{AB}}{{{t_2}}}}}\\ \\ \Leftrightarrow t = \frac{{{t_1} \cdot {t_2}}}{{{t_1} + {t_2}}} \end{array}}$

Σημείωση: Θεωρούμε ότι οι αμαξοστοιχίες κινούνται με σταθερές ταχύτητες $\displaystyle{{u_1},{u_2}}$ αντίστοιχα

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση