Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (3)

dement · #1

Επειδή το θέμα αυτό είναι μάλλον εύκολο (και οπωσδήποτε παρόμοια, αν όχι το ίδιο, έχουμε ήδη δει), προτείνω να ισχύσει κι εδώ ο "κανόνας των 48 ωρών" για τα έμπειρα μέλη του

.

Να προσδιοριστούν οι θετικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$ .

(Και δεν βάζουμε εμείς και τις αρνητικές; Βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις!)

harrisp · #2

Θα γράψω την λύση μου για τις θετικές ακέραιες λύσεις και θα επιστρέψω αργότερα με όλες.

Γράφουμε την εξίσωση:

$xy-6x-6y=0\Leftrightarrow xy-6x-6y+36=36\Leftrightarrow \left( x-6\right) \left( y-6\right) =36$ .

Εχουμε τις εξής περιπτώσεις:

$\begin{cases} x-6=1\\ y-6=36\end{cases}$

$\begin{cases} x-6=2\\ y-6=18\end{cases}$

$\begin{cases} x-6=3\\ y-6=12\end{cases}$

$\begin{cases} x-6=4\\ y-6=9\end{cases}$

$\begin{cases} x-6=6\\ y-6=6\end{cases}$

Απ΄όπου παίρνουμε τις λύσεις:

$\left( x,y\right) =\left( 7,42\right) ,\left( 8,24\right) ,\left( 9,18\right) ,\left( 10,15\right) ,\left( 12,12\right)$ και τις αναδιατάξεις τους.

Αν εργαστούμε με παρόμοιο τρόπο θα βρούμε και όλες τις ακέραιες λύσεις που είναι:

$(x,y)=(-30,5),(-12,4),(-6,3),(-3,2),(0,0),\left( 7,42\right) ,\left( 8,24\right) ,\left( 9,18\right) ,\left( 10,15\right) ,\left( 12,12\right)$ και οι αναδιατάξεις τους.

dement · #3

Πολύ ωραία, Χάρη. Αν θέλεις γράψε και τις υπόλοιπες ώστε να έχουμε πληρότητα.

Για τόσο μικρούς αριθμούς ίσως γλιτώνει χρόνο μια προσέγγιση brute force (κατά περίπτωση), αλλά η δική σου επιτρέπει τη γενίκευση.

BONUS: Πόσες λύσεις έχει το αντίστοιχο πρόβλημα με

στη θέση του

;

#4

dement έγραψε:
BONUS: Πόσες λύσεις έχει το αντίστοιχο πρόβλημα με στη θέση του ;

Όπως και στην λύση του Χάρη καταλήγουμε στην (x-n)(y-n) = n^2

και έχουμε μια λύση για κάθε διαιρέτη του n^2

. Το

έχει

θετικούς διαιρέτες και άρα 2d(n^2)

διαιρέτες.

Από αυτές τις λύσεις όμως πρέπει να απορρίψουμε όσες δίνουν x=0

ή

. Υπάρχει μια τέτοια λύση, η (0,0)

. Οπότε τελικά μας μένουν 2d(n^2) - 1

αποδεκτές λύσεις.

#5

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Θα γράψω την λύση μου για τις θετικές ακέραιες λύσεις και θα επιστρέψω αργότερα με όλες.

Γράφουμε την εξίσωση:

$xy-6x-6y=0\Leftrightarrow xy-6x-6y+36=36\Leftrightarrow \left( x-6\right) \left( y-6\right) =36$ .

Εχουμε τις εξής περιπτώσεις:

Χάρη, μία διόρθωση.

Έλεγξες τις περιπτώσεις όπου x-6

και

θετικοί ακέραιοι. Έπρεπε όμως να ελέγξεις τις περιπτώσεις όπου x,y

θετικοί ακέραιοι. Η τελική απάντηση τυγχάνει να είναι η ίδια.

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (3)

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (3)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (3)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (3)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (3)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (3)

Μέλη σε σύνδεση