Εισαγωγικά καψόνια

Al.Koutsouridis · #1

Οι ρίζες της εξίσωσης

$x^3-\left( \log_{p/8} p\right) x^2 + \left | \dfrac{5}{2} \log_{4} p \ \right | x-\dfrac{15}{8} = 0$

αποτελούν τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου και οι ρίζες της εξίσωσης

$x^3 -\dfrac{2}{3} \sqrt{p} x^2 +\dfrac{2p}{15} x- \dfrac{p}{p+14} = 0$

τα μήκη των υψών του ίδιου τριγώνου. Να βρείτε την τιμή του

και το εμβαδόν του τριγώνου.

Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις Φυσικο-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 1994.

#2

Αλέξανδρε, σαν μια πρώτη ιδέα, λύσε μου την εξίσωση:

$p=(log_{(p/8)}p)^3\dfrac{225}{(p+14)^2}$ , p>8

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Al.Koutsouridis έγραψε: Παρ Σεπ 04, 2020 10:08 pm Οι ρίζες της εξίσωσης

$x^3-\left( \log_{p/8} p\right) x^2 + \left | \dfrac{5}{2} \log_{4} p \ \right | x-\dfrac{15}{8} = 0$

αποτελούν τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου και οι ρίζες της εξίσωσης

$x^3 -\dfrac{2}{3} \sqrt{p} x^2 +\dfrac{2p}{15} x- \dfrac{p}{p+14} = 0$

τα μήκη των υψών του ίδιου τριγώνου. Να βρείτε την τιμή του και το εμβαδόν του τριγώνου.

Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις Φυσικο-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 1994.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σάβ Σεπ 05, 2020 9:04 pm
Al.Koutsouridis έγραψε: Παρ Σεπ 04, 2020 10:08 pm Οι ρίζες της εξίσωσης

$x^3-\left( \log_{p/8} p\right) x^2 + \left | \dfrac{5}{2} \log_{4} p \ \right | x-\dfrac{15}{8} = 0$

αποτελούν τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου και οι ρίζες της εξίσωσης

$x^3 -\dfrac{2}{3} \sqrt{p} x^2 +\dfrac{2p}{15} x- \dfrac{p}{p+14} = 0$

τα μήκη των υψών του ίδιου τριγώνου. Να βρείτε την τιμή του και το εμβαδόν του τριγώνου.

Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις Φυσικο-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 1994.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
,

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

rek2 έγραψε: Σάβ Σεπ 05, 2020 9:12 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σάβ Σεπ 05, 2020 9:04 pm
Al.Koutsouridis έγραψε: Παρ Σεπ 04, 2020 10:08 pm Οι ρίζες της εξίσωσης

$x^3-\left( \log_{p/8} p\right) x^2 + \left | \dfrac{5}{2} \log_{4} p \ \right | x-\dfrac{15}{8} = 0$

αποτελούν τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου και οι ρίζες της εξίσωσης

$x^3 -\dfrac{2}{3} \sqrt{p} x^2 +\dfrac{2p}{15} x- \dfrac{p}{p+14} = 0$

τα μήκη των υψών του ίδιου τριγώνου. Να βρείτε την τιμή του και το εμβαδόν του τριγώνου.

Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις Φυσικο-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 1994.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
,

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σάβ Σεπ 05, 2020 9:37 pm
rek2 έγραψε: Σάβ Σεπ 05, 2020 9:12 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σάβ Σεπ 05, 2020 9:04 pm
Al.Koutsouridis έγραψε: Παρ Σεπ 04, 2020 10:08 pm Οι ρίζες της εξίσωσης

$x^3-\left( \log_{p/8} p\right) x^2 + \left | \dfrac{5}{2} \log_{4} p \ \right | x-\dfrac{15}{8} = 0$

αποτελούν τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου και οι ρίζες της εξίσωσης

$x^3 -\dfrac{2}{3} \sqrt{p} x^2 +\dfrac{2p}{15} x- \dfrac{p}{p+14} = 0$

τα μήκη των υψών του ίδιου τριγώνου. Να βρείτε την τιμή του και το εμβαδόν του τριγώνου.

Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις Φυσικο-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 1994.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
,

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Εντάξει είναι Εκανα γρήγορα πράξεις και ξέχασα το 1/2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Εστω

οι ρίζες της πρώτης εξίσωσης.
Οι ρίζες της δεύτερης θα είναι $\frac{E}{a},\frac{E}{b},\frac{E}{c}$
οπου

το διπλάσιο του εμβαδού.
Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις Vieta παίρνουμε

$E^{3}=\frac{15}{8}\frac{p}{p+4}$

$E^{2}(\log _{\frac{p}{8}}p)=\frac{p}{4}$

$E|\frac{5}{2}\log _{4}p|=\frac{15}{8}\frac{2}{3}\sqrt{p}$

Από την δεύτερη και τρίτη παίρνουμε

$(\ln 4)^2=\ln p \ln \frac{p}{8}$

προφανής λύση η p=16

και προφανώς μοναδική.
Αντικαθιστώντας σε όποια μας αρέσει βγαίνει
E=1

Ετσι το εμβαδό είναι $\frac{1}{2}$

#8

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Κυρ Σεπ 06, 2020 9:49 am
προφανής λύση η και προφανώς μοναδική..

...και p=1/2...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

rek2 έγραψε: Κυρ Σεπ 06, 2020 4:42 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Κυρ Σεπ 06, 2020 9:49 am
προφανής λύση η και προφανώς μοναδική..

...και p=1/2...

rek2 έγραψε: Σάβ Σεπ 05, 2020 7:30 pm Αλέξανδρε, σαν μια πρώτη ιδέα, λύσε μου την εξίσωση:

$p=(log_{(p/8)}p)^3\dfrac{225}{(p+14)^2}$ ,

Εννοείται ότι p>8

.
Οταν ξεκινάει κάποιος την λύση το βλέπει.

Εισαγωγικά καψόνια

Εισαγωγικά καψόνια

Re: Εισαγωγικά καψόνια

Re: Εισαγωγικά καψόνια

Re: Εισαγωγικά καψόνια

Re: Εισαγωγικά καψόνια

Re: Εισαγωγικά καψόνια

Re: Εισαγωγικά καψόνια

Re: Εισαγωγικά καψόνια

Re: Εισαγωγικά καψόνια

Μέλη σε σύνδεση