Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005

Al.Koutsouridis · #1

Εισαγωγικές εξετάσεις τμήματος Υπολογιστικών Μαθηματικών & Κυβερνητικής, 2005.

1. Να λύσετε την ανίσωση

$\displaystyle \log_{2} \left ( \dfrac{x^2+\left | x-3 \right |+3}{x+1} \right )^{2} -\left | \log_{2} x -2 \right | > \log_{2} x +2$ .

2. Να λύσετε την εξίσωση

$\displaystyle \sqrt{\cot x +1} = -\sqrt{15} \cdot \sin x$ .

3. Οι ακολουθίες $\left \{ a_{n} \right \}$ και $\left \{ b_{n} \right \}$ , n =1, 2, 3, ...

αποτελούν αριθμητικές προόδους, $a_{11} =32$ , $b_{21}=43$ . Η ακολουθία $\left \{ c_{n} \right \}$ ορίζεται από την σχέση $c_{n} =(-1)^{n} \cdot a_{n} + (-1)^{n} \cdot b_{n}$ . Το άθροισμα των πρώτων σαράντα όρων της ακολουθίας $\left \{ c_{n} \right \}$ ισούται με 100

και το άθροισμα των πρώτων είκοσι τριών όρων της, ισούται με

. Να βρείτε τον όρο $b_{40}$ καθώς και το άθροισμα των πρώτων εκατό όρων της αριθμητικής προόδου $\left \{ a_{n} \right \}$ .

4. Στην πλευρά

κυρτού τετραπλεύρου ABCD

δίνεται σημείο

τέτοιο, ώστε $\angle AMD = \angle ADB$ και $\angle ACM = \angle ABC$ . Το τριπλάσιο τετράγωνο του λόγου της απόστασης του σημείου

από την ευθεία

προς την απόσταση του σημείου

από την ευθεία

ισούται με

,

. Να βρείτε την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ACD

.

5. Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου

που ανήκουν στο διάστημα $\left [ 0, \pi \right ]$ , για τις οποίες η εξίσωση

$\sin^{5} \left ( 3x+a \right ) = \cos \left ( \pi \cdot \left [ x \right ] \right )$

έχει στο διάστημα $\left [ 1, \pi \right ]$ περιττό αριθμό λύσεων. (Εδώ με $\left [ x \right ]$ συμβολίζουμε το ακέραιο μέρος του αριθμού

, δηλαδή το μέγιστο ακέραιο, που ικανοποιεί την ανισότητα $\left [ x \right ] \leq x$ ).

6. Στις έδρες ABC

,

και

του τετραέδρου ABCD

δίνονται τα σημεία K, L, M

και

αντίστοιχα έτσι, ώστε $KL \parallel CD$ , $KM \parallel BD$ , $KN \parallel AD$ . Ο λόγος του όγκου του τετραέδρου ABCD

προς τον όγκο του τετραέδρου KLMN

είναι ίσος με

. Είναι γνωστό, ότι $2\cdot \left ( AD \cdot KM+BD \cdot KN \right ) = AD \cdot BD$ . Να βρείτε τον λόγο των εμβαδών των τριγώνων ABD

και

.

Τσιαλας Νικολαος · #2

Όλες οι ασκήσεις είναι υπεροχες!!! Θέλω να κάνω μια ερώτηση μονο γιατί δεν έχω ιδέα για το σύστημα εξετάσεων στην Ρωσία. Στο αντίστοιχο λύκειο διδάσκονται παραγώγους και ολοκληρώματα??

Al.Koutsouridis · #3

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 06, 2018 2:16 pm
Θέλω να κάνω μια ερώτηση μονο γιατί δεν έχω ιδέα για το σύστημα εξετάσεων στην Ρωσία. Στο αντίστοιχο λύκειο διδάσκονται παραγώγους και ολοκληρώματα??

Τα παρακάτω είναι η εντύπωση που έχω πάρει εγώ προσωπικά και μπορεί να αποκλίνουν από την πραγματικότητα. Αν βρω χρόνο θα προσπαθήσω να δημιουργήσω μια νέα ενότητα με το αναλυτικό πρόγραμμα καθώς και κάποια προγράμματα από φυσικομαθηματικά σχολεία που ίσως θα ήταν ενδιαφέρον να δούμε.

Στις αντίστοιχες θετικές κατευθύνσεις ναι. Το σύνολο σχεδόν της 11ης τάξης (τελευταίας) είναι αρχές μαθηματικής ανάλυσης. Με ύλη παρόμοια με το δικό μας σχολικό βιβλίο.

Στην ενιαία κρατική εξέταση (αντίστοιχο των Πανελληνίων) δεν εξετάζεται πολύ. Ίσως η εύρεση κάποιου μεγίστου, πολύ απλά πράματα. Γιατί η ύλη των θεωρητικών κατευθύνσεων σταματάει στην εύρεση παραγώγου, όπως σε εμάς στα μαθηματικά γενικής παιδείας.

Πολλά από τα κεντρικά πανεπιστήμια όμως έχουν συμπληρωματικές εξετάσεις στα μαθήματα βαρύτητας της κάθε σχολής τους. Παρ’ ότι και εκεί αποφεύγεται να μπαίνουν «καθαρά» θέματα ανάλυσης, πιθανόν κάποιες φορές να χρειαστούν. (π.χ. 8ο πρόβλημα εδώ).

Τσιαλας Νικολαος · #4

Ευχαριστώ πολύ για το χρόνο σας!!

#5

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 06, 2018 12:28 am
Εισαγωγικές εξετάσεις τμήματος Υπολογιστικών Μαθηματικών & Κυβερνητικής, 2005.

6. Στις έδρες , , και του τετραέδρου δίνονται τα σημεία και αντίστοιχα έτσι, ώστε $KL \parallel CD$ , $KM \parallel BD$ , $KN \parallel AD$ . Ο λόγος του όγκου του τετραέδρου προς τον όγκο του τετραέδρου είναι ίσος με . Είναι γνωστό, ότι $2\cdot \left ( AD \cdot KM+BD \cdot KN \right ) = AD \cdot BD$ . Να βρείτε τον λόγο των εμβαδών των τριγώνων και .

Ας είναι

οι σεβασιανές του

στο τρίγωνο ABC

με τις οποίες (απλό

) οι

συντρέχουν, κατά αντιστοιχία, στα σημεία Z, E,H

. Είναι γνωστό ότι

$\dfrac{HK}{HB}+\dfrac{ZK}{ZA}+\dfrac{EK}{EC}=1\,\,\,\,\, (1)$

Aπό τις δοθείσες παραλληλίες έχουμε

$\dfrac{KM}{BD}=\dfrac{HK}{HB}\,\,\, (2)\,\,\,\,\,\,\dfrac{KN}{DA}=\dfrac{ZK}{ZA}\,\,\, (3)\,\,\,\,\,\,\dfrac{KL}{DC}=\dfrac{EK}{EC}\,\,\, (4)\,\,\,\,\,\,$

Επειδή τα τετράεδρα ABCD

και

έχουν τις γωνίες των κορυφών τους D, K

ίσες - λόγω της παραλληλίας των πλευρών τους-, είναι

$64= \dfrac{(DABC)}{(KLMN)}=\dfrac{DA\cdot DC\cdot DB}{KN\cdot KL\cdot KM}$

$\Rightarrow \dfrac{DA \cdot DB}{KN \cdot KM}=64\,\,\dfrac{KL}{DC}\Rightarrow \dfrac{(ABD)}{(KMN)}=64 \,\,\dfrac{KL}{DC}\,\,\,\,\,(5)$

Η υπόθεση $2\cdot \left ( AD \cdot KM+BD \cdot KN \right ) = AD \cdot BD$ γράφεται

$\dfrac{KM}{BD}+\dfrac{KN}{AD}=\dfrac{1}{2}$

Λόγω αυτής και των (2), (3)

η

δίνει: $\dfrac{EK}{EC}=\dfrac{1}{2}$

Από αυτήν και την (4)

η

δίνει $\dfrac{(ABD)}{(KMN)}=32$

#6

επαναφορά...

Xriiiiistos · #7

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 06, 2018 12:28 am
1. Να λύσετε την ανίσωση

$\displaystyle \log_{2} \left ( \dfrac{x^2+\left | x-3 \right |+3}{x+1} \right )^{2} -\left | \log_{2} x -2 \right | > \log_{2} x +2$ .

Πεδίο ορισμού x>0

Για $x\geq 3$ έχουμε

$2log_{2}(\frac{x(x+1)}{x+1})-\left | log_{2}x-2 \right |>log_{2}x+2<=>2log_{2}x-\left | log_{2}x-2 \right |>log_{2}x+2<=>$

$log_{2}x-2>\left | log_{2}x-2 \right |$
To oποίο ειναι αδύνατον

Για x<3

έxουμε

$2log_{2}(\frac{x^{2}-x+6}{x+1})+log_{2}x-2>log_{2}x+2<=>log_{2}(\frac{x^{2}-x+6}{x+1})>2=log_{2}4<=>$

$\frac{x^{2}-x+6}{x+1}>4<=>(x-\frac{5+\sqrt{17}}{2})(x-\frac{5-\sqrt{17}}{2})>0$ άρα $x<\frac{5-\sqrt{17}}{2}$ ή $x>\frac{5+\sqrt{17}}{2}$ και με τους περιορισμούς που έχουμε καταλήγουμε $0<x<\frac{5-\sqrt{17}}{2}$

Xriiiiistos · #8

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 06, 2018 12:28 am
3. Οι ακολουθίες $\left \{ a_{n} \right \}$ και $\left \{ b_{n} \right \}$ , αποτελούν αριθμητικές προόδους, $a_{11} =32$ , $b_{21}=43$ . Η ακολουθία $\left \{ c_{n} \right \}$ ορίζεται από την σχέση $c_{n} =(-1)^{n} \cdot a_{n} + (-1)^{n} \cdot b_{n}$ . Το άθροισμα των πρώτων σαράντα όρων της ακολουθίας $\left \{ c_{n} \right \}$ ισούται με και το άθροισμα των πρώτων είκοσι τριών όρων της, ισούται με . Να βρείτε τον όρο $b_{40}$ καθώς και το άθροισμα των πρώτων εκατό όρων της αριθμητικής προόδου $\left \{ a_{n} \right \}$ .

$a_{2}=a_{1}+v$ και $b_{2}=b_{1}+l$ παρατηρούμε ότι

$c_{1}=-a_{1}-b_{1}$
$c_{2}=a_{1}+b_{1}+v+l$
$c_{1}+c_{2}=v+l$
$c_{3}=-a_{1}-b_{1}-2l-2v$
$c_{4}=a_{1}+b_{1}+3l+3v$
$c_{3}+c_{4}=v+l$
... και καταλήγουμε στο εξής
$c_{1}+c_{2}=c_{3}+c_{4}=...=c_{39}+c_{40}=v+l$

οπότε $\sum_{i=1}^{40}c_{i}=100<=>20v+20l=100$ (i)

$\sum_{i=1}^{23}c_{i}=\sum_{i=1}^{22}c_{i}+c_{23}=-60<=>-60=11v+11l-a_{1}-b_{1}-22u-22l<=>$

$60=11v+11l+a_{1}+b_{1}$ (ii)

$a_{11}=32=a_{1}+10v$ (iii)

$b_{21}=b_{1}+20l=43$ (iV)

Χαρίς τις

η

γίνεται $60=32+v-9l+43\Leftrightarrow -15=u-9l$ (V)

η

δίνουν

και τώρα από (iii),(iV)

πέρνουμε $b_{1}=3,a_{1}=2$

$b_{40}=b_{1}+39l=81$

$\sum_{i=1}^{100}a_{i}=\frac{100}{2}(2a_{1}+99l)=15.050$

#9

Τα θέματα απευθύνονται σε υποψήφιους για Σχολή υπολογιστικών μαθηματικών και κυβερνητικής. Είναι πιθανόν, εξ αυτού, οι υποψηφίου να χρησιμοποιούν και άλλα εργαλεία;

Al.Koutsouridis · #10

rek2 έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 20, 2018 4:38 pm
Τα θέματα απευθύνονται σε υποψήφιους για Σχολή υπολογιστικών μαθηματικών και κυβερνητικής. Είναι πιθανόν, εξ αυτού, οι υποψηφίου να χρησιμοποιούν και άλλα εργαλεία;

Όχι, ή ύλη και τα εργαλεία είναι τα σχολικά και μόνο, αντίστοιχη με τα ελληνικά σχολικά βιβλία. Με κάποιες μικροδιαφορές χωρίς ουσιαστική ουσία ως αναφορά την λύση των προβλημάτων. Για παράδειγμα στην ύλη είναι και οι αντίστροφές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, διανύσματα στο χώρο. Εκτός και αν εννοείτε κάτι άλλο με εργαλεία.

Η διαφοροποίηση στην ύλη που διδάσκεται σε σχέση με την Ελλάδα, υπάρχει μόνο στα φυσικό-μαθηματικά σχολεία. Εκεί όντως μπορεί να ποικίλει, από ύλη ολυμπιάδων μέχρι και στοιχεία από πρώτα έτη μαθηματικού τμήματος.

Ως αναφορά το όνομα, στο αντίστοιχο πανεπιστήμιο έχει δυο τμήματα σχετικά με μαθηματικά το Μηχανικό-Μαθηματικό τμήμα με τομέα ευθύνης πιο «καθαρά» μαθηματικά και θεωρητική μηχανική και το Τμήμα Υπολογιστικών Μαθηματικών και Κυβερνητικής για εφαρμοσμένα μαθηματικά πιο κοντά στο τομέα πληροφορικής, οικονομικά κτλ. Και τα δυο τμήματα είναι εξαετή. Το αντίστοιχο του τμήματος Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών του ΕΜΠ θα λέγαμε.

Για τα θέματα μαθηματικών και για τις υπόλοιπες σχολές (ακόμα και φιλολογίας, ψυχολογίας κτλ.) του πανεπιστημίου μέχρι και το 2008-9, αν δεν κάνω λάθος, ήταν υπεύθυνα τα παραπάνω δυο τμήματα (εκτός Φυσικού, αυτοί έβγαζαν δικά τους). Προσωπικά μου αρέσουν περισσότερο τα του Υπολογιστικών Μαθηματικών. Δε διαφέρουν πολύ, αλλά έχουν μια λίγο διαφορετική χροιά. Θα ανεβάσω κάποια στιγμή και του Μηχανικό-Μαθηματικού.

#11

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 20, 2018 7:33 pm

rek2 έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 20, 2018 4:38 pm
Τα θέματα απευθύνονται σε υποψήφιους για Σχολή υπολογιστικών μαθηματικών και κυβερνητικής. Είναι πιθανόν, εξ αυτού, οι υποψηφίου να χρησιμοποιούν και άλλα εργαλεία;
Όχι, ή ύλη και τα εργαλεία είναι τα σχολικά και μόνο, αντίστοιχη με τα ελληνικά σχολικά βιβλία. Με κάποιες μικροδιαφορές χωρίς ουσιαστική ουσία ως αναφορά την λύση των προβλημάτων. Για παράδειγμα στην ύλη είναι και οι αντίστροφές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, διανύσματα στο χώρο. Εκτός και αν εννοείτε κάτι άλλο με εργαλεία.

Η διαφοροποίηση στην ύλη που διδάσκεται σε σχέση με την Ελλάδα, υπάρχει μόνο στα φυσικό-μαθηματικά σχολεία. Εκεί όντως μπορεί να ποικίλει, από ύλη ολυμπιάδων μέχρι και στοιχεία από πρώτα έτη μαθηματικού τμήματος.

Ως αναφορά το όνομα, στο αντίστοιχο πανεπιστήμιο έχει δυο τμήματα σχετικά με μαθηματικά το Μηχανικό-Μαθηματικό τμήμα με τομέα ευθύνης πιο «καθαρά» μαθηματικά και θεωρητική μηχανική και το Τμήμα Υπολογιστικών Μαθηματικών και Κυβερνητικής για εφαρμοσμένα μαθηματικά πιο κοντά στο τομέα πληροφορικής, οικονομικά κτλ. Και τα δυο τμήματα είναι εξαετή. Το αντίστοιχο του τμήματος Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών του ΕΜΠ θα λέγαμε.

Για τα θέματα μαθηματικών και για τις υπόλοιπες σχολές (ακόμα και φιλολογίας, ψυχολογίας κτλ.) του πανεπιστημίου μέχρι και το 2008-9, αν δεν κάνω λάθος, ήταν υπεύθυνα τα παραπάνω δυο τμήματα (εκτός Φυσικού, αυτοί έβγαζαν δικά τους). Προσωπικά μου αρέσουν περισσότερο τα του Υπολογιστικών Μαθηματικών. Δε διαφέρουν πολύ, αλλά έχουν μια λίγο διαφορετική χροιά. Θα ανεβάσω κάποια στιγμή και του Μηχανικό-Μαθηματικού.

Οκ! Σε ευχαριστώ για την απάντηση. Βέβαια σε ευχαριστώ, πρωτίστως, για τον κόπο σου να ανεβάζεις αυτά τα θέματα. Δεν το έκρυψα ποτέ ότι είναι από τα πλέον αγαπημένα μου!

Έγραψα το σχόλιό μου γιατί λύνοντας τα τριγωνομετρικά θέματα στο πρώτο κατέληξα σε μια τριτοβάθμια εξίσωση, και, στο δεύτερο έκανα περίπλοκους συλλογισμούς...
(Η γεωμετρία έχει μεν απλή λύση, αλλά είναι και γρίφος!!)
Αναρωτήθηκα, λοιπόν, μήπως π.χ. επιτρέπεται προγραμματισμός ή κάτι τέτοιο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #12

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 06, 2018 12:28 am
Εισαγωγικές εξετάσεις τμήματος Υπολογιστικών Μαθηματικών & Κυβερνητικής, 2005.

2. Να λύσετε την εξίσωση

$\displaystyle \sqrt{\cot x +1} = -\sqrt{15} \cdot \sin x$ .

Είναι φανερό ότι $\sin x\leq 0$ και $\cot x\geq -1$

Υψώνοντας στο τετράγωνο και θέτοντας $t=(\sin x)^{2}$

καταλήγουμε στην $(15)^{2}t^{3}-30t^{2}+2t-1=0$

Μια λύση είναι η $t=\frac{1}{5}$ .

Κάνοντας την διαίρεση βλέπουμε ότι αυτή είναι η μόνη πραγματική ρίζα.

Αρα $\sin x=\pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

Βρίσκουμε ότι $\cot x=\pm 2$

Για να πληρούνται οι περιορισμοί πρέπει

$\sin x=-\frac{1}{\sqrt{5}},\cot x=2$

Αρα το

πρέπει να βρίσκεται στο τρίτο τεταρτημόριο.

Αν λοιπόν $\pi < \theta < \frac{3\pi }{2}$

με $\sin \theta =-\frac{1}{\sqrt{5}}$

οι λύσεις είναι $2k\pi +\theta ,k\in \mathbb{Z}$

Al.Koutsouridis · #13

rek2 έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 20, 2018 9:43 pm
Έγραψα το σχόλιό μου γιατί λύνοντας τα τριγωνομετρικά θέματα στο πρώτο κατέληξα σε μια τριτοβάθμια εξίσωση, και, στο δεύτερο έκανα περίπλοκους συλλογισμούς...
(Η γεωμετρία έχει μεν απλή λύση, αλλά είναι και γρίφος!!)
Αναρωτήθηκα, λοιπόν, μήπως π.χ. επιτρέπεται προγραμματισμός ή κάτι τέτοιο.

Το δεύτερο θέμα είναι ύπουλο κατά μια έννοια γιατί, όντως ανάλογα με το ποιά αντικατάσταση θα γίνει η αντίστοιχη εξίσωση τρίτου βαθμού μπορεί να δυσκολέψει στην επίλυση.

Αν μετά την παρατήρηση ότι $\sin x \leq 0$ γράψουμε την εξίσωση ισοδύναμα

$\sqrt{\cot x +1} = -\sqrt{15} \sin x \Leftrightarrow \cot x +1 = 15\sin^2 x$

και αντί να εκφράσουμε το $\cot x$ συναρτήσει του $\sin x$ κάνουμε το αντίστροφο, προκύτει η εξίσωση

$\cot x +1 = 15\sin^2 x \Leftrightarrow \cot x +1 = \dfrac{15}{\cot^2 x +1} \Leftrightarrow \cot^3 x +\cot^2 x +\cot x - 14 =0$

Στην τελευταία ως είθιστε εξετάζουμε πρώτα αν έχει ακέραιες λύσεις (διαιρέτες του 14) και εύκολα βρίσκουμε ότι το 2 είναι ρίζα κτλ.

#14

Για το 5, καμμιά ιδέα;;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #15

rek2 έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 21, 2018 10:24 am
Για το 5, καμμιά ιδέα;;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005

Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005

Re: Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005

Re: Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005

Re: Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005

Re: Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005

Re: Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005

Re: Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005

Re: Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005

Re: Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005

Re: Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005

Re: Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005

Re: Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005

Re: Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005

Re: Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005

Re: Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005

Μέλη σε σύνδεση