Οικονομικά προβλήματα

Al.Koutsouridis · #1

Υποδείξτε όλες τις τιμές της παραμέτρου

, για τις οποίες η εξίσωση

$\displaystyle \cos^2 x - \left ( c+2\right )^2 \cos x -c(c+2)(c+3)=0$

έχει στο διάστημα $\displaystyle \left [ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2} \right ]$ ακριβώς τρεις ρίζες.

Θέμα 6/6 των εισαγωγικών εξετάσεων του τμήματος Οικονομικών του Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας. 1991.

#2

Ας γράψω κάποιες σκέψεις για ξεκίνημα...

Η εξίσωση cosx = a

όταν

έχει δύο λύσεις στο εν λόγω διάστημα, ενώ με a=1

ή

έχει μία λύση. Επομένως για να έχουμε τρεις λύσεις πρέπει η εξίσωση a^2-(c+2)^2a-c(c+2)(c+3)= 0

να έχει δύο λύσεις τέτοιες, ώστε:

να είναι η μία το

, οπότε

και για την άλλη λύση, η οποία (από Vieta) είναι η (c+2)^2-1

, να έχουμε -1<(c+2)^2-1<1

ή

να είναι η μία το -1,

οπότε

και για την άλλη λύση, η οποία (από Vieta) είναι η (c+2)^2+1

, να έχουμε -1<(c+2)^2+1<1

(αυτό απορρίπτεται αμέσως λόγω της τελευταίας ανισότητας).

Τώρα, η εξίσωση 1-(c+2)^2-c(c+2)(c+3)=0

δίνει

. Αυτή έχει τρεις λύσεις και επιλέγουμε αυτές για τις οποίες -1<(c+2)^2-1<1

κ.λπ.

Οικονομικά προβλήματα

Οικονομικά προβλήματα

Re: Οικονομικά προβλήματα

Μέλη σε σύνδεση