Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2023 (Ενότητα Ανάλυση)

Al.Koutsouridis · #1

Παρακάτω μπορείτε να βρείτε τα θέματα 29-30 των φετινών εισαγωγικών εξετάσεων της Κορέας στα μαθηματικά, για την ενότητα ανάλυση. Τα θέματα 23-28 είναι πολλαπλής επολογής και στα 29-30 ζητείτε μόνο η τελική απάντηση. Τα υπόλοιπα θα τα μεταφέρω σταδιακά.

29. Για τις σταθερές a, b, c

η συνάρτηση $f(x)=ae^{2x}+be^{x}+c$ ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:

(α) $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)+6}{e^x} =1}$

(b) $f(\ln 2)=0$

Για την αντίστροφη συνάρτηση g(x)

της

ισχύει $\displaystyle{\int_{0}^{14} g(x)dx = p+q \ln 2}$ . Να βρείτε την τιμή p+q

, όπου

ρητοί αριθμοί.

30. Για το κυβικό πολυώνυμο f(x)

με θετικό συντελεστή μεγιστοβάθμιου όρου και την συνάρτηση $g(x)=e^{\sin \pi x}-1$ , θεωρούμε την σύνθετη συνάρτηση $h(x)=g\left ( f(x) \right )$ , που ορίζεται στο σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών και ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες;

(a) Η συνάρτηση h(x)

παρουσιάζει μέγιστο (μπορεί και τοπικό) στο σημείο x=0

ίσο με

(b) Το πλήθος των διαφορετικών ριζών της εξίσωσης h(x)=1

στο διάστημα (0,3)

είναι

Αν $f(3)=\dfrac{1}{2}$ , $f^{\prime}\left ( 3\right ) =0$ και $f(2) = \dfrac{q}{p}$ , να βρείτε την τιμή p+q

(όπου

πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί).

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 30, 2022 11:38 pm

29. Για τις σταθερές η συνάρτηση $f(x)=ae^{2x}+be^{x}+c$ ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:

(α) $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)+6}{e^x} =1}$

(b) $f(\ln 2)=0$
Για την αντίστροφη συνάρτηση της ισχύει $\displaystyle{\int_{0}^{14} g(x)dx = p+q \ln 2}$ . Να βρείτε την τιμή , όπου ρητοί αριθμοί.

Δίνω μια λύση χωρίς αιτιολογήσεις αφού με ενδιαφέρει μόνο το τελικό αποτέλεσμα

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)+6}{{{e}^{x}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{a{{e}^{2x}}+b{{e}^{x}}+c+6}{{{e}^{x}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(a{{e}^{x}}+b+(c+6){{e}^{-x}})=1\Rightarrow c=-6,b=1$

$f(\ln 2)=0\Rightarrow 4a+2b+c=0\Rightarrow 4a+2-6=0\Rightarrow a=1$
$f(x)={{e}^{2x}}+{{e}^{x}}-6,\nearrow$
$\displaystyle f(\ln 2)=0$ , $\displaystyle f(\ln 4)=14$
$\displaystyle \int\limits_{0}^{14}{g(x)dx+\int\limits_{\ln 2}^{\ln 4}{{{g}^{-1}}(x)dx=14\ln 4-0\ln 2=28\ln 2}}$

$\displaystyle \begin{array}{l} \int\limits_{\ln 2}^{\ln 4} {{g^{ - 1}}(x)dx = } \int\limits_{\ln 2}^{\ln 4} f (x)dx = p + q\ln 2 \Leftrightarrow \int\limits_{\ln 2}^{\ln 4} {({e^{2x}} + {e^x} - 6} )dx = \\ = \int\limits_{\ln 2}^{\ln 4} {({e^{2x}} + {e^x} - 6} )dx\left[ {\frac{{{e^{2x}}}}{2} + {e^x} - 6x} \right]_{\ln 2}^{\ln 4} = \\ \\ = \left( {8 + 4 - 12\ln 2} \right) - (2 + 2 - 6\ln 2) = 8 - 6\ln 2 \end{array}$
Οπότε $\displaystyle 28\ln 2-(8-6\ln 2)=-8+34\ln 2$
Άρα $\displaystyle p+q=-8+34=26$

Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2023 (Ενότητα Ανάλυση)

Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2023 (Ενότητα Ανάλυση)

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2023 (Ενότητα Ανάλυση)

Μέλη σε σύνδεση