ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

dimtsi
Δημοσιεύσεις: 15
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2015 6:16 pm

ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimtsi » Δευ Ιούλ 04, 2016 2:37 pm

ThemataAG-4.pdf
(89.37 KiB) Μεταφορτώθηκε 228 φορές


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4193
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Δευ Ιούλ 04, 2016 4:45 pm

Ευχαριστούμε. Αλλά σε ποιο πανεπιστήμιο ήσαν θέματα;


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
dimtsi
Δημοσιεύσεις: 15
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2015 6:16 pm

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimtsi » Δευ Ιούλ 04, 2016 7:31 pm

Στο Μεταπτυχιακό των Θεωρητικών Μαθηματικών στο Καποδιστριακό.


dimtsi
Δημοσιεύσεις: 15
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2015 6:16 pm

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimtsi » Κυρ Αύγ 07, 2016 7:24 am

Μπορούν να λυθούν;


BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1351
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Κυρ Αύγ 07, 2016 9:46 am

ΘΕΜΑ 1

1. Θεωρία : Μπορείς να βρεις την απάντηση σε κάθε σχετικό βιβλίο. Χρησιμοποιείται ο επιμορφισμός

\displaystyle{\mathbb{K}[x_1,...,x_n]\to \mathbb{K}\,\,,f(x_1,...,x_n)\mapsto f(a_1,...,a_n)} .

2. Αν \displaystyle{\mathbb{K}=\mathbb{Q}\,\,,n=1} (όχι αλγεβρικά κλειστό), τότε το \displaystyle{I=\langle{x^2+1\rangle}}

είναι μέγιστο, αλλά όχι της μορφής \displaystyle{\langle{x-a\rangle}} για κάποιο \displaystyle{a\in\mathbb{Q}} .

3. Όχι, στον δακτύλιο \displaystyle{\mathbb{Z}} , το \displaystyle{\left\{0\right\}} είναι πρώτο αλλά, όχι μέγιστο ιδέωδες.

4. Θα αποδειχθεί κάτι πιο γενικό : Σε μια περιοχή κύριων ιδεωδών, κάθε μη μηδενικό πρώτο ιδεώδες είναι και μέγιστο (και αυτό το βρίσκεις αλλά το γράφω)

Απόδειξη

Έστω \displaystyle{R} μια περιοχή κύριων ιδεωδών και ας είναι \displaystyle{I=\langle{x\rangle}\,,x\neq 0} πρώτο ιδεώδες .

Έστω \displaystyle{I=\langle{x\rangle}\subseteq J=\langle{y\rangle}\subseteq R} . Τότε,

\displaystyle{x\in I\implies x\in J\implies \exists\, r\in R\,, x=r\,y} και άρα \displaystyle{r\,y\in I} με \displaystyle{I} πρώτο.

Συνεπώς, \displaystyle{r\in I} ή \displaystyle{y\in I} . Αν \displaystyle{r\in I} , τότε \displaystyle{r=s\,x} ,

οπότε \displaystyle{x=s\,x\,y\iff x(1-s\,y)=0\iff 1=s\,y\in J\iff J=R} .

Αν \displaystyle{y\in I} , τότε \displaystyle{I=J} .

Εν τέλει, το \displaystyle{I} είναι μέγιστο.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1351
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Κυρ Αύγ 07, 2016 9:58 am

ΘΕΜΑ 2

1,2.

Το \displaystyle{\rm{Spec}(R)} είναι το σύνολο των πρώτων ιδεωδών του \displaystyle{R} και τα κλειστά της τοπολογίας

\displaystyle{\rm{Zariski}} είναι τα \displaystyle{\left\{V(I): I\leq R\right\}} , όπου

\displaystyle{V(I)=\left\{P\in\rm{Spec}(R), I\subseteq P\right\}} .

Μπορείς να αποδείξεις ότι αν \displaystyle{I\,,J\,,K_{a}\,,a\in A} είναι ιδεώδη, τότε

\displaystyle{V(\left\{0\right\})=\rm{Spec}(R)\,\,,V(R)=\varnothing\,\,,V(I)\cup V(J)=V(I\cap J)\,\,,V\,\left(\sum_{a\in A}K_{a}\right)=\bigcap_{a\in A}V(K_a)}


Παπαπέτρος Ευάγγελος
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1351
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Τετ Αύγ 10, 2016 4:16 pm

ΘΕΜΑ 3

1.

Αρχικά, υπάρχει μέγιστο ιδεώδες, άρα πρώτο, που περιέχει το ιδεώδες \displaystyle{\langle{f\rangle}} , οπότε

\dispaystyle{\left\{P\in\rm{Spec}(R)\,,f\in P\right\}\neq \varnothing} . Αν \displaystyle{g\in\sqrt{\langle{f\rangle}}} , τότε υπάρχει

\displaystyle{m\in\mathbb{N}} τέτοιο, ώστε \displaystyle{g^m\in\langle{f\rangle}}, δηλαδή \displaystyle{g^m=h\,f}

για κάποιο \displaystyle{h\in R}. Αν λοιπόν \displaystyle{P\in\rm{Spec}(R)} με \displaystyle{f\in P} , τότε

\displaystyle{g^m=h\,f\in P\implies g\in P. Ώστε,

\displaystyle{\sqrt{\langle{f\rangle}}\subseteq \bigcap_{P\in\rm{Spec}(R)\,,f\in P}\,P.

Απ' την άλλη, έστω

\displaystyle{g\in \bigcap_{P\in\rm{Spec}(R)\,,f\in P}\,P

και \displaystyle{g^m\notin \langle{f\rangle}\,,\forall\,m\in\mathbb{N}} .

Έστω \displaystyle{S=\left\{I\leq R\,, g^m\notin I\,,\forall\,m\in\mathbb{N}\right\}} και από υπόθεση \displaystyle{S\neq \varnothing}

διότι \displaystyle{\langle{f\rangle}\in S} . Επειδή θα χρησιμοποιηθεί το λήμμα του Zorn, γράφω αναλυτικά.

Το μη κενό σύνολο \displaystyle{S} είναι μερικώς διατεταγμένο από τη σχέση του "υποσυνόλου" .

Έστω \displaystyle{X} ένα ολικώς διατεταγμένο υποσύνολό του. Θέτουμε \displaystyle{J=\bigcup_{I\in X}I} , όπου λόγω

ολικής διάταξης, το \displaystyle{J} είναι ιδεώδες και \displaystyle{g^m\notin J\,,\forall\,m\in\mathbb{N}} .

Άρα, \displaystyle{J\in S} . Επιπλέον, \displaystyle{I\subseteq J\,,\forall\,I\in X} και έτσι, το \displaystyle{J}

είναι άνω φράγμα του \displaystyle{X} στο \displaystyle{S} .

Από το λήμμα του Zorn, το \displaystyle{S} έχει μεγιστικό στοιχείο, έστω \displaystyle{P} .

Ας είναι \displaystyle{a\,,b\in R} τέτοια, ώστε \displaystyle{a\,b\in P} αλλά \displaystyle{a\notin P\,\,b\notin P} .

Έτσι, \displaystyle{\langle{P,a\rangle}\,\,,\langle{P,b\rangle{\notin S} (αφού το \displaystyle{P} είναι μεγιστικό) και συνεπώς

υπάρχουν \displaystyle{m_1\,,m_2\in\mathbb{N}} με \displaystyle{g^{m_1}\in \langle{P,a\rangle}\,\,,g^{m_2}\in \langle{P,b\rangle}

δηλαδή \displaystyle{g^{m_1}=p_1+a\,c_1\,\,,g^{m_2}=p_2+b\,c_2\,,c_1\,,c_2\in R\,,p_1\,,p_2\in P} . Τότε,

\displaystyle{g^{m_1+m_2}=p_1\,p_2+p_1\,b\,c_2+p_2\,a\,c_1+a\,b\,c_1\,c_2\in P} , άτοπο διότι \displaystyle{P\in S}.

Άρα \displaystyle{P} πρώτο ιδεώδες με \displaystyle{g^m\notin P\,,\forall\,m\in\mathbb{N}}, άτοπο και πάλι αφού

\displaystyle{g\in P} .

Εν τέλει, \displaystyle{\sqrt{\langle{f\rangle}}=\bigcap_{P\in\rm{Spec}(R)\,,f\in P}P}


Παπαπέτρος Ευάγγελος
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1351
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Κυρ Αύγ 21, 2016 2:47 pm

ΘΕΜΑ 4

4. Κλασική κατασκευή και έχουμε ότι

\displaystyle{\rm{Spec}(R\,S^{-1})=\left\{P\,S^{-1}\leq R\,S^{-1} : P\in\rm{Spec}(R)\,,P\cap S=\varnothing\right\}} .

(το έγραψα αμέσως διότι υπάρχει σε όλα τα βιβλία)

Βάσει αυτού, θα λύσουμε και το τέταρτο ερώτημα του 3ου θέματος.

Υποθέτουμε ότι το \displaystyle{f} είναι μηδενοδύναμο, δηλαδή \displaystyle{f^m=0} για κάποιο \displaystyle{m\in\mathbb{N}} .

Εδώ έχουμε \displaystyle{S=\left\{1\,,f\,,...,f^{m-1}\right\}} .

Έστω \displaystyle{\rm{Spec}(R_{f})\neq \varnothing} . Τότε, υπάρχει πρώτο ιδεώδες \displaystyle{P'} του \displaystyle{R}

με \displaystyle{P'\cap S=\varnothing} και \displaystyle{P'\,S^{-1}} είναι πρώτο ιδέωδες του \displaystyle{R_{f}} .

Όμως, από το πρώτο ερώτημα έχουμε,

\displaystyle{f\in\sqrt{0}=\bigcap_{P\in\rm{Spec}(R)}\,P\implies f\in P',

δηλαδή, \displaystyle{f\in P'\cap S} , άτοπο.

Αλλιώς υπάρχει η ακόλουθη πρόταση :

\displaystyle{R\,S^{-1}=\left\{0\right\}} αν, και μόνο αν, το \displaystyle{S} περιέχει ένα μηδενοδύναμο στοιχείο.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης