ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

dimtsi · #1

ThemataAG-4.pdf: (89.37 KiB) Μεταφορτώθηκε 275 φορές

#2

Ευχαριστούμε. Αλλά σε ποιο πανεπιστήμιο ήσαν θέματα;

dimtsi · #3

Στο Μεταπτυχιακό των Θεωρητικών Μαθηματικών στο Καποδιστριακό.

dimtsi · #4

Μπορούν να λυθούν;

BAGGP93 · #5

ΘΕΜΑ 1

1. Θεωρία : Μπορείς να βρεις την απάντηση σε κάθε σχετικό βιβλίο. Χρησιμοποιείται ο επιμορφισμός

$\displaystyle{\mathbb{K}[x_1,...,x_n]\to \mathbb{K}\,\,,f(x_1,...,x_n)\mapsto f(a_1,...,a_n)}$ .

2. Αν $\displaystyle{\mathbb{K}=\mathbb{Q}\,\,,n=1}$ (όχι αλγεβρικά κλειστό), τότε το $\displaystyle{I=\langle{x^2+1\rangle}}$

είναι μέγιστο, αλλά όχι της μορφής $\displaystyle{\langle{x-a\rangle}}$ για κάποιο $\displaystyle{a\in\mathbb{Q}}$ .

3. Όχι, στον δακτύλιο $\displaystyle{\mathbb{Z}}$ , το $\displaystyle{\left\{0\right\}}$ είναι πρώτο αλλά, όχι μέγιστο ιδέωδες.

4. Θα αποδειχθεί κάτι πιο γενικό : Σε μια περιοχή κύριων ιδεωδών, κάθε μη μηδενικό πρώτο ιδεώδες είναι και μέγιστο (και αυτό το βρίσκεις αλλά το γράφω)

Απόδειξη

Έστω $\displaystyle{R}$ μια περιοχή κύριων ιδεωδών και ας είναι $\displaystyle{I=\langle{x\rangle}\,,x\neq 0}$ πρώτο ιδεώδες .

Έστω $\displaystyle{I=\langle{x\rangle}\subseteq J=\langle{y\rangle}\subseteq R}$ . Τότε,

$\displaystyle{x\in I\implies x\in J\implies \exists\, r\in R\,, x=r\,y}$ και άρα $\displaystyle{r\,y\in I}$ με $\displaystyle{I}$ πρώτο.

Συνεπώς, $\displaystyle{r\in I}$ ή $\displaystyle{y\in I}$ . Αν $\displaystyle{r\in I}$ , τότε $\displaystyle{r=s\,x}$ ,

οπότε $\displaystyle{x=s\,x\,y\iff x(1-s\,y)=0\iff 1=s\,y\in J\iff J=R}$ .

Αν $\displaystyle{y\in I}$ , τότε $\displaystyle{I=J}$ .

Εν τέλει, το $\displaystyle{I}$ είναι μέγιστο.

BAGGP93 · #6

ΘΕΜΑ 2

1,2.

Το $\displaystyle{\rm{Spec}(R)}$ είναι το σύνολο των πρώτων ιδεωδών του $\displaystyle{R}$ και τα κλειστά της τοπολογίας

$\displaystyle{\rm{Zariski}}$ είναι τα $\displaystyle{\left\{V(I): I\leq R\right\}}$ , όπου

$\displaystyle{V(I)=\left\{P\in\rm{Spec}(R), I\subseteq P\right\}}$ .

Μπορείς να αποδείξεις ότι αν $\displaystyle{I\,,J\,,K_{a}\,,a\in A}$ είναι ιδεώδη, τότε

$\displaystyle{V(\left\{0\right\})=\rm{Spec}(R)\,\,,V(R)=\varnothing\,\,,V(I)\cup V(J)=V(I\cap J)\,\,,V\,\left(\sum_{a\in A}K_{a}\right)=\bigcap_{a\in A}V(K_a)}$

BAGGP93 · #7

ΘΕΜΑ 3

1.

Αρχικά, υπάρχει μέγιστο ιδεώδες, άρα πρώτο, που περιέχει το ιδεώδες $\displaystyle{\langle{f\rangle}}$ , οπότε

$\dispaystyle{\left\{P\in\rm{Spec}(R)\,,f\in P\right\}\neq \varnothing}$ . Αν $\displaystyle{g\in\sqrt{\langle{f\rangle}}}$ , τότε υπάρχει

$\displaystyle{m\in\mathbb{N}}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{g^m\in\langle{f\rangle}}$ , δηλαδή $\displaystyle{g^m=h\,f}$

για κάποιο $\displaystyle{h\in R}$ . Αν λοιπόν $\displaystyle{P\in\rm{Spec}(R)}$ με $\displaystyle{f\in P}$ , τότε

$\displaystyle{g^m=h\,f\in P\implies g\in P$ . Ώστε,

$\displaystyle{\sqrt{\langle{f\rangle}}\subseteq \bigcap_{P\in\rm{Spec}(R)\,,f\in P}\,P$ .

Απ' την άλλη, έστω

$\displaystyle{g\in \bigcap_{P\in\rm{Spec}(R)\,,f\in P}\,P$

και $\displaystyle{g^m\notin \langle{f\rangle}\,,\forall\,m\in\mathbb{N}}$ .

Έστω $\displaystyle{S=\left\{I\leq R\,, g^m\notin I\,,\forall\,m\in\mathbb{N}\right\}}$ και από υπόθεση $\displaystyle{S\neq \varnothing}$

διότι $\displaystyle{\langle{f\rangle}\in S}$ . Επειδή θα χρησιμοποιηθεί το λήμμα του Zorn, γράφω αναλυτικά.

Το μη κενό σύνολο $\displaystyle{S}$ είναι μερικώς διατεταγμένο από τη σχέση του "υποσυνόλου" .

Έστω $\displaystyle{X}$ ένα ολικώς διατεταγμένο υποσύνολό του. Θέτουμε $\displaystyle{J=\bigcup_{I\in X}I}$ , όπου λόγω

ολικής διάταξης, το $\displaystyle{J}$ είναι ιδεώδες και $\displaystyle{g^m\notin J\,,\forall\,m\in\mathbb{N}}$ .

Άρα, $\displaystyle{J\in S}$ . Επιπλέον, $\displaystyle{I\subseteq J\,,\forall\,I\in X}$ και έτσι, το $\displaystyle{J}$

είναι άνω φράγμα του $\displaystyle{X}$ στο $\displaystyle{S}$ .

Από το λήμμα του Zorn, το $\displaystyle{S}$ έχει μεγιστικό στοιχείο, έστω $\displaystyle{P}$ .

Ας είναι $\displaystyle{a\,,b\in R}$ τέτοια, ώστε $\displaystyle{a\,b\in P}$ αλλά $\displaystyle{a\notin P\,\,b\notin P}$ .

Έτσι, $\displaystyle{\langle{P,a\rangle}\,\,,\langle{P,b\rangle{\notin S}$ (αφού το $\displaystyle{P}$ είναι μεγιστικό) και συνεπώς

υπάρχουν $\displaystyle{m_1\,,m_2\in\mathbb{N}}$ με $\displaystyle{g^{m_1}\in \langle{P,a\rangle}\,\,,g^{m_2}\in \langle{P,b\rangle}$

δηλαδή $\displaystyle{g^{m_1}=p_1+a\,c_1\,\,,g^{m_2}=p_2+b\,c_2\,,c_1\,,c_2\in R\,,p_1\,,p_2\in P}$ . Τότε,

$\displaystyle{g^{m_1+m_2}=p_1\,p_2+p_1\,b\,c_2+p_2\,a\,c_1+a\,b\,c_1\,c_2\in P}$ , άτοπο διότι $\displaystyle{P\in S}$ .

Άρα $\displaystyle{P}$ πρώτο ιδεώδες με $\displaystyle{g^m\notin P\,,\forall\,m\in\mathbb{N}}$ , άτοπο και πάλι αφού

$\displaystyle{g\in P}$ .

Εν τέλει, $\displaystyle{\sqrt{\langle{f\rangle}}=\bigcap_{P\in\rm{Spec}(R)\,,f\in P}P}$

BAGGP93 · #8

ΘΕΜΑ 4

4. Κλασική κατασκευή και έχουμε ότι

$\displaystyle{\rm{Spec}(R\,S^{-1})=\left\{P\,S^{-1}\leq R\,S^{-1} : P\in\rm{Spec}(R)\,,P\cap S=\varnothing\right\}}$ .

(το έγραψα αμέσως διότι υπάρχει σε όλα τα βιβλία)

Βάσει αυτού, θα λύσουμε και το τέταρτο ερώτημα του 3ου θέματος.

Υποθέτουμε ότι το $\displaystyle{f}$ είναι μηδενοδύναμο, δηλαδή $\displaystyle{f^m=0}$ για κάποιο $\displaystyle{m\in\mathbb{N}}$ .

Εδώ έχουμε $\displaystyle{S=\left\{1\,,f\,,...,f^{m-1}\right\}}$ .

Έστω $\displaystyle{\rm{Spec}(R_{f})\neq \varnothing}$ . Τότε, υπάρχει πρώτο ιδεώδες $\displaystyle{P'}$ του $\displaystyle{R}$

με $\displaystyle{P'\cap S=\varnothing}$ και $\displaystyle{P'\,S^{-1}}$ είναι πρώτο ιδέωδες του $\displaystyle{R_{f}}$ .

Όμως, από το πρώτο ερώτημα έχουμε,

$\displaystyle{f\in\sqrt{0}=\bigcap_{P\in\rm{Spec}(R)}\,P\implies f\in P'$ ,

δηλαδή, $\displaystyle{f\in P'\cap S}$ , άτοπο.

Αλλιώς υπάρχει η ακόλουθη πρόταση :

$\displaystyle{R\,S^{-1}=\left\{0\right\}}$ αν, και μόνο αν, το $\displaystyle{S}$ περιέχει ένα μηδενοδύναμο στοιχείο.

ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

Μέλη σε σύνδεση