- ThemataAG-4.pdf
- (89.37 KiB) Μεταφορτώθηκε 275 φορές
ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4455
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ
Ευχαριστούμε. Αλλά σε ποιο πανεπιστήμιο ήσαν θέματα;
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
Re: ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ
ΘΕΜΑ 1
1. Θεωρία : Μπορείς να βρεις την απάντηση σε κάθε σχετικό βιβλίο. Χρησιμοποιείται ο επιμορφισμός
.
2. Αν (όχι αλγεβρικά κλειστό), τότε το
είναι μέγιστο, αλλά όχι της μορφής για κάποιο .
3. Όχι, στον δακτύλιο , το είναι πρώτο αλλά, όχι μέγιστο ιδέωδες.
4. Θα αποδειχθεί κάτι πιο γενικό : Σε μια περιοχή κύριων ιδεωδών, κάθε μη μηδενικό πρώτο ιδεώδες είναι και μέγιστο (και αυτό το βρίσκεις αλλά το γράφω)
Απόδειξη
Έστω μια περιοχή κύριων ιδεωδών και ας είναι πρώτο ιδεώδες .
Έστω . Τότε,
και άρα με πρώτο.
Συνεπώς, ή . Αν , τότε ,
οπότε .
Αν , τότε .
Εν τέλει, το είναι μέγιστο.
1. Θεωρία : Μπορείς να βρεις την απάντηση σε κάθε σχετικό βιβλίο. Χρησιμοποιείται ο επιμορφισμός
.
2. Αν (όχι αλγεβρικά κλειστό), τότε το
είναι μέγιστο, αλλά όχι της μορφής για κάποιο .
3. Όχι, στον δακτύλιο , το είναι πρώτο αλλά, όχι μέγιστο ιδέωδες.
4. Θα αποδειχθεί κάτι πιο γενικό : Σε μια περιοχή κύριων ιδεωδών, κάθε μη μηδενικό πρώτο ιδεώδες είναι και μέγιστο (και αυτό το βρίσκεις αλλά το γράφω)
Απόδειξη
Έστω μια περιοχή κύριων ιδεωδών και ας είναι πρώτο ιδεώδες .
Έστω . Τότε,
και άρα με πρώτο.
Συνεπώς, ή . Αν , τότε ,
οπότε .
Αν , τότε .
Εν τέλει, το είναι μέγιστο.
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Re: ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ
ΘΕΜΑ 2
1,2.
Το είναι το σύνολο των πρώτων ιδεωδών του και τα κλειστά της τοπολογίας
είναι τα , όπου
.
Μπορείς να αποδείξεις ότι αν είναι ιδεώδη, τότε
1,2.
Το είναι το σύνολο των πρώτων ιδεωδών του και τα κλειστά της τοπολογίας
είναι τα , όπου
.
Μπορείς να αποδείξεις ότι αν είναι ιδεώδη, τότε
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Re: ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ
ΘΕΜΑ 3
1.
Αρχικά, υπάρχει μέγιστο ιδεώδες, άρα πρώτο, που περιέχει το ιδεώδες , οπότε
. Αν , τότε υπάρχει
τέτοιο, ώστε , δηλαδή
για κάποιο . Αν λοιπόν με , τότε
. Ώστε,
.
Απ' την άλλη, έστω
και .
Έστω και από υπόθεση
διότι . Επειδή θα χρησιμοποιηθεί το λήμμα του Zorn, γράφω αναλυτικά.
Το μη κενό σύνολο είναι μερικώς διατεταγμένο από τη σχέση του "υποσυνόλου" .
Έστω ένα ολικώς διατεταγμένο υποσύνολό του. Θέτουμε , όπου λόγω
ολικής διάταξης, το είναι ιδεώδες και .
Άρα, . Επιπλέον, και έτσι, το
είναι άνω φράγμα του στο .
Από το λήμμα του Zorn, το έχει μεγιστικό στοιχείο, έστω .
Ας είναι τέτοια, ώστε αλλά .
Έτσι, (αφού το είναι μεγιστικό) και συνεπώς
υπάρχουν με
δηλαδή . Τότε,
, άτοπο διότι .
Άρα πρώτο ιδεώδες με , άτοπο και πάλι αφού
.
Εν τέλει,
1.
Αρχικά, υπάρχει μέγιστο ιδεώδες, άρα πρώτο, που περιέχει το ιδεώδες , οπότε
. Αν , τότε υπάρχει
τέτοιο, ώστε , δηλαδή
για κάποιο . Αν λοιπόν με , τότε
. Ώστε,
.
Απ' την άλλη, έστω
και .
Έστω και από υπόθεση
διότι . Επειδή θα χρησιμοποιηθεί το λήμμα του Zorn, γράφω αναλυτικά.
Το μη κενό σύνολο είναι μερικώς διατεταγμένο από τη σχέση του "υποσυνόλου" .
Έστω ένα ολικώς διατεταγμένο υποσύνολό του. Θέτουμε , όπου λόγω
ολικής διάταξης, το είναι ιδεώδες και .
Άρα, . Επιπλέον, και έτσι, το
είναι άνω φράγμα του στο .
Από το λήμμα του Zorn, το έχει μεγιστικό στοιχείο, έστω .
Ας είναι τέτοια, ώστε αλλά .
Έτσι, (αφού το είναι μεγιστικό) και συνεπώς
υπάρχουν με
δηλαδή . Τότε,
, άτοπο διότι .
Άρα πρώτο ιδεώδες με , άτοπο και πάλι αφού
.
Εν τέλει,
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Re: ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ
ΘΕΜΑ 4
4. Κλασική κατασκευή και έχουμε ότι
.
(το έγραψα αμέσως διότι υπάρχει σε όλα τα βιβλία)
Βάσει αυτού, θα λύσουμε και το τέταρτο ερώτημα του 3ου θέματος.
Υποθέτουμε ότι το είναι μηδενοδύναμο, δηλαδή για κάποιο .
Εδώ έχουμε .
Έστω . Τότε, υπάρχει πρώτο ιδεώδες του
με και είναι πρώτο ιδέωδες του .
Όμως, από το πρώτο ερώτημα έχουμε,
,
δηλαδή, , άτοπο.
Αλλιώς υπάρχει η ακόλουθη πρόταση :
αν, και μόνο αν, το περιέχει ένα μηδενοδύναμο στοιχείο.
4. Κλασική κατασκευή και έχουμε ότι
.
(το έγραψα αμέσως διότι υπάρχει σε όλα τα βιβλία)
Βάσει αυτού, θα λύσουμε και το τέταρτο ερώτημα του 3ου θέματος.
Υποθέτουμε ότι το είναι μηδενοδύναμο, δηλαδή για κάποιο .
Εδώ έχουμε .
Έστω . Τότε, υπάρχει πρώτο ιδεώδες του
με και είναι πρώτο ιδέωδες του .
Όμως, από το πρώτο ερώτημα έχουμε,
,
δηλαδή, , άτοπο.
Αλλιώς υπάρχει η ακόλουθη πρόταση :
αν, και μόνο αν, το περιέχει ένα μηδενοδύναμο στοιχείο.
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης