Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (3)

dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1365
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (3)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Οκτ 26, 2016 12:10 pm

Επειδή το θέμα αυτό είναι μάλλον εύκολο (και οπωσδήποτε παρόμοια, αν όχι το ίδιο, έχουμε ήδη δει), προτείνω να ισχύσει κι εδώ ο "κανόνας των 48 ωρών" για τα έμπειρα μέλη του :logo: .

Να προσδιοριστούν οι θετικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης \displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}.

(Και δεν βάζουμε εμείς και τις αρνητικές; Βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις!)


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.

Λέξεις Κλειδιά:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 501
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (3)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Τετ Οκτ 26, 2016 4:57 pm

Θα γράψω την λύση μου για τις θετικές ακέραιες λύσεις και θα επιστρέψω αργότερα με όλες.

Γράφουμε την εξίσωση:

xy-6x-6y=0\Leftrightarrow xy-6x-6y+36=36\Leftrightarrow \left( x-6\right) \left( y-6\right) =36.

Εχουμε τις εξής περιπτώσεις:

\begin{cases} x-6=1\\ y-6=36\end{cases}

\begin{cases} x-6=2\\ y-6=18\end{cases}

\begin{cases} x-6=3\\ y-6=12\end{cases}

\begin{cases} x-6=4\\ y-6=9\end{cases}

\begin{cases} x-6=6\\ y-6=6\end{cases}

Απ΄όπου παίρνουμε τις λύσεις:

\left( x,y\right) =\left( 7,42\right) ,\left( 8,24\right) ,\left( 9,18\right) ,\left( 10,15\right) ,\left( 12,12\right) και τις αναδιατάξεις τους.

Αν εργαστούμε με παρόμοιο τρόπο θα βρούμε και όλες τις ακέραιες λύσεις που είναι:

(x,y)=(-30,5),(-12,4),(-6,3),(-3,2),(0,0),\left( 7,42\right) ,\left( 8,24\right) ,\left( 9,18\right) ,\left( 10,15\right) ,\left( 12,12\right) και οι αναδιατάξεις τους.
τελευταία επεξεργασία από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ σε Παρ Οκτ 28, 2016 2:38 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1365
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (3)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Παρ Οκτ 28, 2016 10:13 am

Πολύ ωραία, Χάρη. Αν θέλεις γράψε και τις υπόλοιπες ώστε να έχουμε πληρότητα.

Για τόσο μικρούς αριθμούς ίσως γλιτώνει χρόνο μια προσέγγιση brute force (κατά περίπτωση), αλλά η δική σου επιτρέπει τη γενίκευση.

BONUS: Πόσες λύσεις έχει το αντίστοιχο πρόβλημα με n στη θέση του 6;


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7790
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (3)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Οκτ 28, 2016 12:46 pm

dement έγραψε:
BONUS: Πόσες λύσεις έχει το αντίστοιχο πρόβλημα με n στη θέση του 6;
Όπως και στην λύση του Χάρη καταλήγουμε στην (x-n)(y-n) = n^2 και έχουμε μια λύση για κάθε διαιρέτη του n^2. Το n^2 έχει d(n^2) θετικούς διαιρέτες και άρα 2d(n^2) διαιρέτες.

Από αυτές τις λύσεις όμως πρέπει να απορρίψουμε όσες δίνουν x=0 ή y=0. Υπάρχει μια τέτοια λύση, η (0,0). Οπότε τελικά μας μένουν 2d(n^2) - 1 αποδεκτές λύσεις.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7790
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (3)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Οκτ 28, 2016 12:49 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Θα γράψω την λύση μου για τις θετικές ακέραιες λύσεις και θα επιστρέψω αργότερα με όλες.

Γράφουμε την εξίσωση:

xy-6x-6y=0\Leftrightarrow xy-6x-6y+36=36\Leftrightarrow \left( x-6\right) \left( y-6\right) =36.

Εχουμε τις εξής περιπτώσεις:
Χάρη, μία διόρθωση.

Έλεγξες τις περιπτώσεις όπου x-6 και y-6 θετικοί ακέραιοι. Έπρεπε όμως να ελέγξεις τις περιπτώσεις όπου x,y θετικοί ακέραιοι. Η τελική απάντηση τυγχάνει να είναι η ίδια.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης