Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (5)

[dement]

Έστω το σημείο τομής των αξόνων στο επίπεδο. Για κάθε σύνολο , ορίζουμε το σύνολο ως το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που διέρχονται από το και δεν περιέχουν στο εσωτερικό τους κανένα από τα στοιχεία του .

1. Να προσδιοριστεί το όπου η ευθεία .
2. Να προσδιοριστεί το όπου ο κύκλος με κέντρο και ακτίνα .
3. Να αποδειχθεί ότι, για κάθε , το είναι κυρτό.

[nikkru]

Έστω το σημείο τομής των αξόνων στο επίπεδο. Για κάθε σύνολο , ορίζουμε το σύνολο ως το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που διέρχονται από το και δεν περιέχουν στο εσωτερικό τους κανένα από τα στοιχεία του .

1. Να προσδιοριστεί το όπου η ευθεία .
2. Να προσδιοριστεί το όπου ο κύκλος με κέντρο και ακτίνα .
3. Να αποδειχθεί ότι, για κάθε , το είναι κυρτό.

Για τα δύο πρώτα ερωτήματα:
Έστω Μ τυχαίο σημείο του γεωμετρικού τόπου , η ευθεία και το σημείο .

1. Για κάθε σημείο του γεωμετρικού τόπου είναι , αφού θέλουμε η ευθεία να μην τέμνει τον κύκλο.
Οπότε είναι η παραβολή με εστία το σημείο και διευθετούσα την ευθεία και τα εσωτερικά της σημεία, δηλαδή όλα τα σημεία για τα οποία .

2. Για κάθε σημείο του γεωμετρικού τόπου είναι , αφού θέλουμε ο κύκλος να μην τέμνει τον κύκλο, δηλαδή θέλουμε .
Τα σημεία του επιπέδου για τα οποία ανήκουν στον αριστερό κλάδο της υπερβολής με εστίες τα σημεία και που έχει εξίσωση .
Οπότε είναι ο αριστερός κλάδος της υπερβολής και τα εσωτερικά της σημεία, δηλαδή όλα τα σημεία για τα οποία .

[dement]

Επαναφορά για το τρίτο ερώτημα!

[nikkru]

Έστω το σημείο τομής των αξόνων στο επίπεδο. Για κάθε σύνολο , ορίζουμε το σύνολο ως το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που διέρχονται από το και δεν περιέχουν στο εσωτερικό τους κανένα από τα στοιχεία του .

3. Να αποδειχθεί ότι, για κάθε , το είναι κυρτό.

Μια λύση για το 3. για να κλείσει το θέμα.

ScuolaNS2016_5.png (54.54 KiB) Προβλήθηκε 2279 φορές

Για δύο οποιαδήποτε σημεία και του (κύκλοι που δεν έχουν στο εσωτερικό τους κανένα σημείο του συνόλου ) θα πρέπει
και οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο του τμήματος να ανήκει στο σύνολο .

Οι κύκλοι έχουν κοινό σημείο το άρα ή θα τέμνονται ή θα εφάπτονται.

Αν οι κύκλοι και εφάπτονται εσωτερικά ή εξωτερικά κάθε κύκλος εφάπτεται εσωτερικά με έναν από αυτούς άρα κάθε εσωτερικό σημείο του είναι εσωτερικό και σε έναν από αυτούς τους κύκλους, οπότε το ανήκει στο .

Αν οι κύκλοι και τέμνονται στα σημεία τότε κάθε εσωτερικό σημείο του κύκλου είναι εσωτερικό σε έναν τουλάχιστον από τους κύκλους , οπότε το ανήκει στο .

Έτσι, σε κάθε περίπτωση το ανήκει στο , άρα το σύνολο αυτό είναι κυρτό.

[dement]