Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (5)

dement · #1

Το πολυώνυμο $P(x) \in \mathbb{R}[x]$ είναι βαθμού το πολύ 1007

και ισχύει P(k) = 2^k

για κάθε $k \in \{0, 1, 2, ..., 1007 \}$ .

Να υπολογιστεί το P(2015)

.

#2

dement έγραψε:Το πολυώνυμο $P(x) \in \mathbb{R}[x]$ είναι βαθμού το πολύ και ισχύει για κάθε $k \in \{0, 1, 2, ..., 1007 \}$ .

Να υπολογιστεί το .

Καλό.

Θα βρούμε πολυώνυμο βαθμού 1007

που έχει τις δεδομένες τιμές στα 1008

στοιχεία του συνόλου $\{0, 1, 2, ..., 1007 \}$ . Άρα είναι μοναδικό, οπότε η τιμή P(2015)

που ψάχνουμε είναι προκαθορισμένη.

Από την ταυτότητα $\displaystyle{ \binom n 0 + \binom n 1 + \binom n 2 +... + \binom n n=2^n$ αντιλαμβανόμαστε ότι ένα τέτοιο πολυώνυμο (το μοναδικό) είναι το

$\displaystyle{ P(x) = 1 + x + \frac {x(x-1)}{2!} + \frac {x(x-1)(x-2)}{3!} + ... + \frac {x(x-1)(x-3)\cdot ... \cdot (x-1006)}{1007!} }$

Τώρα βλέπουμε ότι το P(2015)

είναι (λόγω συμμετρίας των διωνυμικών συντελεστών) το μισό του αθροίσματος

$\displaystyle{ \binom {2015} 0 + \binom {2015} 1 + \binom {2015} 2 +... + \binom {2015} {2015}=2^{2015}$

Άρα η ζητούμενη τιμή είναι $2^{2014}$

dement · #3

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (5)

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (5)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (5)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2014-15 (5)

Μέλη σε σύνδεση