Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (1)

dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1362
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (1)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Σεπ 06, 2017 7:22 pm

Μόλις τελειώσαμε τις εισαγωγικές εξετάσεις και για φέτος, οπότε αρχίζουμε... :welcomeani:

Έστω (a_n), για n = 0, 1, 2, ..., ακολουθία πραγματικών αριθμών, όχι όλων 0, τέτοια ώστε \displaystyle a_{n+2} = \frac{6}{5} a_{n+1} - a_n για κάθε n \geqslant 0.

1. Αποδείξτε ότι υπάρχει μοναδικό \theta \in \mathbb{R} με 0 \leqslant \theta < 2 \pi τέτοιο ώστε \displaystyle \cos \theta = \frac{3}{5}, \sin \theta = \frac{4}{5}.

2. Αποδείξτε ότι υπάρχουν μοναδικά r > 0 και \alpha με 0 \leqslant \alpha < 2 \pi τέτοια ώστε, για κάθε n \geqslant 0, να ισχύει a_n = r \cos ( \alpha + n \theta).

3. Από το (2) διαπιστώνουμε ότι η ακολουθία (a_n) είναι φραγμένη. Δείξτε ότι, παρ' όλα αυτά, η ακολουθία (a_n) δεν είναι περιοδική και μάλιστα δεν παίρνει την ίδια τιμή περισσότερες από δύο φορές.

4. Αποδείξτε ότι η ακολουθία (a_n) παίρνει άπειρες θετικές και άπειρες αρνητικές τιμές.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.

Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1362
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (1)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Δευ Οκτ 02, 2017 8:06 pm

Επαναφορά!


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1796
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (1)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Οκτ 04, 2017 9:09 pm

Το 1) το παραλείπω ως τετριμμένο. Μάλιστα 0<\theta < \frac{\pi }{2}
Το 2)
Η χαρακτηριστική είναι 5x^{2}-6x+5=0

που έχει σαν ρίζες τα \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta },\cos \theta -i\sin \theta =e^{-i\theta }

Από την γνωστή θεωρία είναι x_{n}=de^{in\theta }+be^{-in\theta }

με d,b που προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

Εύκολα βλέπουμε ότι b=\bar{d}

Αρα x_{n}=2Re(de^{in\theta }). Γράφοντας d=\left | d \right |e^{ia},0\leq a< 2\pi

παίρνουμε το ζητούμενο με r=2\left | d \right |.

(επειδή δεν είναι όλα 0 είναι r> 0)

το 3)Αν δύο όροι της ακολουθίας είναι ίσοι θα έχουμε για m,n\in \mathbb{N}

n\theta +a=m\theta+a+2k\pi , or ,n\theta +a+m\theta+a=2k\pi(1)

Τώρα αρχίζουν τα ωραία.
Χρησιμοποιώντας τον τύπο \cos (n+1)\theta +\cos (n-1)\theta =2\cos n\theta \cos \theta

με επαγωγή μπορούμε να δείξουμε ότι \cos n\theta =P_{n}(\cos \theta)

όπου P_{n}(x) πολυώνυμο n βαθμού και P_{n}(x)=2^{n-1}x^{n}+.....
(έχουν και όνομα αυτά Chebyshev)

Στην (1) δεν μπορεί να ισχύει η πρώτη γιατί αν ίσχυε θα είχαμε για κάποιο l ότι P_{l}(\cos \theta )=1

και αυτό δεν γίνεται αφού \cos \theta =\frac{3}{5} και το 5 δεν διαιρεί το 2^{l-1}

Η δεύτερη δεν μπορεί να ισχύει για τρία γιατί από τις n\theta +a+m\theta+a=2k\pi

n\theta +a+l\theta+a=2r\pi καταλήγουμε αφαιρώντας στην προηγούμενη περίπτωση.

το 4) Προκύπτει άμεσα γιατί σε κάθε τεταρτημόριο υπάρχουν το πολύ δύο διαδοχικά από τα n\theta +a


το \frac{\pi }{4}< \theta < \frac{\pi }{2}


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1362
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (1)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Οκτ 04, 2017 11:05 pm

Πολύ ωραία. Προσθέτω μόνο ότι οι υποψήφιοι δεν αναμένεται να είναι εξοικειωμένοι με τη θεωρία του χαρακτηριστικού πολυωνύμου της αναδρομικής εξίσωσης. Γι' αυτό η απάντηση τους δίνεται έτοιμη. Αποδεικνύουν τη μοναδικότητα από τους δύο πρώτους όρους της ακολουθίας και με επαγωγή για τους υπόλοιπους.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης