Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (2)

dement · #1

Έστω $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ πραγματικοί αριθμοί. Ονομάζουμε

το σύνολο των σημείων (x,y,z)

του Ευκλείδειου χώρου για τα οποία $z \leqslant \min (\alpha x + \beta y, \gamma x + \delta y)$ . Έστω επίσης πραγματικοί αριθμοί r, s

τέτοιοι ώστε $z \leqslant rx + sy$ για κάθε $(x,y,z) \in S$ .

Να αποδειχθεί ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός $t \in [0,1]$ τέτοιος ώστε $r = t \alpha + (1-t) \gamma$ και $s = t \beta + (1-t) \delta$ .

#2

***Τοποθέτηση σκέπαστρου κατά μήκος 'κορυφογραμμής' αντίσκηνου*** -- περί αυτού πρόκειται!

Πράγματι, το σύνολο

είναι το εσωτερικό του 'αντίσκηνου' που ορίζουν τα επίπεδα $z=\alpha x+\beta y$ και $z=\gamma x +\delta y$ ... καθώς ισχύουν οι ανισότητες $z\leq \alpha x+\beta y$ και $z\leq \gamma x +\delta y$ , ενώ το τρίτο επίπεδο, z=rx+sy

, είναι το 'σκέπαστρο' ... καθώς ισχύει η $z\leq rx+sy$ για όλα τα σημεία (x,y,z)

του

.

Ας παρατηρηθεί εδώ ότι το σκέπαστρο οφείλει να περιέχει την κορυφογραμμή του αντίσκηνου (την τομή δηλαδή των επιπέδων $z=\alpha x+\beta y$ και $z=\gamma x +\delta y$ ), κάτι που δεν προκύπτει από την λεγόμενη 'κοινή λογική' αλλά από την ψυχρή λογική των (αν)ισοτήτων:

Η τομή των δύο επιπέδων $z=\alpha x+\beta y$ και $z=\gamma x +\delta y$ είναι η $x=\dfrac{(\delta -\beta )z}{\alpha \delta -\beta \gamma }$ , $y=\dfrac{(\alpha -\gamma )z}{\alpha \delta -\beta \gamma }$ . Θέτοντας $r=u\alpha +(1-u)\gamma$ , $s=v\beta +(1-v)\delta$ (με

,

προσδιοριζόμενους από τους

, $\alpha$ , $\gamma$ και τους

, $\beta$ , $\delta$ , αντίστοιχα), αλλά και $x=\dfrac{(\delta -\beta )z}{\alpha \delta -\beta \gamma }$ , $y=\dfrac{(\alpha -\gamma )z}{\alpha \delta -\beta \gamma }$ , στην $z\leq rx + sy$ (που οφείλει να ισχύει για κάθε σημείο του

, άρα και για την τομή των δύο επιπέδων), καταλήγουμε στην ανισότητα

$0\leq \dfrac{(\alpha -\gamma )(\beta -\delta )(v-u)z}{\alpha \delta -\beta \gamma },$

που βέβαια ισχύει για κάθε πραγματικό

αν και μόνον αν u=v=t

(όπου

κάποιος πραγματικός): προκύπτει εύκολα τώρα ότι οι $x=\dfrac{(\delta -\beta )z}{\alpha \delta -\beta \gamma }$ , $y=\dfrac{(\alpha -\gamma )z}{\alpha \delta -\beta \gamma }$ ικανοποιούν την z=rx+sy

, όπου πλέον $r=t\alpha +(1-t)\gamma$ , $s=t\beta +(1-t)\delta$ .

Αρκεί να δείξουμε ότι $0\leq t\leq 1$ . Αυτό προκύπτει εύκολα από γεωμετρική θεώρηση (του αντίσκηνου και του σκέπαστρου): ένα επίπεδο ('σκέπαστρο' με εξίσωση z=rx+sy

) διερχόμενο από την τομή δύο άλλων επιπέδων ( $z=\alpha x+\beta y$ , $z=\gamma x +\delta y$ ) βρίσκεται 'πάνω' από την τομή των δύο επιπέδων ('καλύπτει δηλαδή το 'εσωτερικό' των δύο επιπέδων 'αντίσκηνο'

, καθώς $z\leq rx+sy$ για $(x,y,z)\in S$ ) ... αν και μόνον αν το κάθετο του επίπεδο N=<r,s,-1>

είναι 'εσωτερικό' των καθέτων διανυσμάτων $N_1=<\alpha ,\beta ,-1>$ , $N_2=<\gamma ,\delta ,-1>$ των δύο επιπέδων, δηλαδή αν και μόνον αν $N=\lambda N_1+(1-\lambda )N_2$ με $0\leq \lambda \leq 1$ , κάτι που όντως ισχύει, για $\lambda =t$ , λόγω των $r=t\alpha +(1-t)\gamma$ , $s=t\beta +(1-t)\delta$ . Άρα $0\leq t\leq 1$ . (Γίνεται και χωρίς χρήση διανυσμάτων...)

[Υπάρχει και η ειδική περίπτωση $\alpha \delta=\beta \gamma$ : αν $\alpha =\gamma =0$ τότε y=z=0

(τομή),

και $t\in [0,1]$ , αν $\gamma =\mu \alpha$ , $\delta =\mu \beta$ , τότε $z=\alpha x+\beta y=0$ (τομή), $r=\alpha$ , $s=\beta$ και t=1

.]

dement · #3

Πολύ ωραία, Γιώργο (και μου άρεσε και ο παραλληλισμός με το αντίσκηνο!). Δίνω και την δική μου λύση:

1. Περίπτωση $\alpha = \gamma, \beta = \delta$ .

Ισχύει $(1,0,\alpha) \in S \implies r \geqslant \alpha$ καθώς και $(-1,0,-\alpha) \in S \implies r \leqslant \alpha$ . Άρα $r = \alpha = \gamma$ και ομοίως $s = \beta = \delta$ . Μπορούμε να διαλέξουμε οποιοδήποτε $t \in [0,1]$ .

2. Περίπτωση $(\alpha, \beta) \neq (\gamma, \delta)$ .

Θέτουμε $\vec{A} \equiv (\alpha, \beta, -1), \ \vec{G} \equiv (\gamma, \delta, -1), \ \vec{R} \equiv (r,s,-1)$ .

Θεωρούμε το σημείο $\vec{P_0} = (\delta - \beta, \alpha - \gamma, \alpha \delta - \beta \gamma) \neq \vec{0}$ και το $\vec{P} (p) \equiv p \vec{P_0}$ (όπου $p \in \mathbb{R}$ παράμετρος). Ισχύει $\vec{P}(p) \in S$ , οπότε $p \left[ r(\delta - \beta) + s(\alpha - \gamma) - (\alpha \delta - \beta \gamma) \right] \geqslant 0$ για κάθε $p \in \mathbb{R}$ . Έτσι, $\vec{R} \cdot \vec{P_0} = \vec{A} \cdot \vec{P_0} = \vec{G} \cdot \vec{P_0} = 0$ .

Αφού όλα τα διανύσματα είναι μη μηδενικά και τα $\vec{A}, \vec{G}$ γραμμικώς ανεξάρτητα, πρέπει να ισχύει $\vec{R} = t\vec{A} + q\vec{G}$ . Aπό την συντεταγμένη

παίρνουμε $\vec{R} = t\vec{A} + (1-t) \vec{G}$ .

Έστω $\alpha < \gamma$ (ομοίως σε άλλη περίπτωση). Ισχύει $(1,0,\alpha) \in S \implies r \geqslant \alpha$ καθώς και $(-1,0,-\gamma) \in S \implies r \leqslant \gamma$ . Έτσι, $t \in [0,1]$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Θα δώσω μια πλήρη λύση για την περίπτωση που $k=\alpha \delta -\beta \gamma \neq 0$

Θέτουμε $X=\alpha x+\beta y,Y=\gamma x+\delta y$

Η σχέση γίνεται $min(X,Y)\leq RX+SY$ (1)

Οπου $R=\dfrac{r\delta -s\gamma }{k},S=\dfrac{s\alpha-r\beta }{k}$

και $r=R\alpha +S\gamma ,s=R\beta +S\delta$

Αρκεί να δείξουμε ότι $R+S=1,R,S\geq 0$

Για X=Y

η (1) γίνεται $X\leq (R+S)X$

συμπεραίνουμε ότι R+S=1

Για $X\leq Y,Y> 0$ η (1) δίνει

$\dfrac{X}{Y}\leq R\dfrac{X}{Y}+S$

Για $Y\rightarrow \infty$ παίρνουμε $S\geq 0$

Με τον ίδιο τρόπο παίρνουμε και $R\geq 0$

που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (2)

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (2)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (2)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (2)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (2)

Μέλη σε σύνδεση