Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (2)
Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (2)
Έστω πραγματικοί αριθμοί. Ονομάζουμε το σύνολο των σημείων του Ευκλείδειου χώρου για τα οποία . Έστω επίσης πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε για κάθε .
Να αποδειχθεί ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε και .
Να αποδειχθεί ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε και .
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Λέξεις Κλειδιά:
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (2)
***Τοποθέτηση σκέπαστρου κατά μήκος 'κορυφογραμμής' αντίσκηνου*** -- περί αυτού πρόκειται!
Πράγματι, το σύνολο είναι το εσωτερικό του 'αντίσκηνου' που ορίζουν τα επίπεδα και ... καθώς ισχύουν οι ανισότητες και , ενώ το τρίτο επίπεδο, , είναι το 'σκέπαστρο' ... καθώς ισχύει η για όλα τα σημεία του .
Ας παρατηρηθεί εδώ ότι το σκέπαστρο οφείλει να περιέχει την κορυφογραμμή του αντίσκηνου (την τομή δηλαδή των επιπέδων και ), κάτι που δεν προκύπτει από την λεγόμενη 'κοινή λογική' αλλά από την ψυχρή λογική των (αν)ισοτήτων:
Η τομή των δύο επιπέδων και είναι η , . Θέτοντας , (με , προσδιοριζόμενους από τους , , και τους , , , αντίστοιχα), αλλά και , , στην (που οφείλει να ισχύει για κάθε σημείο του , άρα και για την τομή των δύο επιπέδων), καταλήγουμε στην ανισότητα
που βέβαια ισχύει για κάθε πραγματικό αν και μόνον αν (όπου κάποιος πραγματικός): προκύπτει εύκολα τώρα ότι οι , ικανοποιούν την , όπου πλέον , .
Αρκεί να δείξουμε ότι . Αυτό προκύπτει εύκολα από γεωμετρική θεώρηση (του αντίσκηνου και του σκέπαστρου): ένα επίπεδο ('σκέπαστρο' με εξίσωση ) διερχόμενο από την τομή δύο άλλων επιπέδων (, ) βρίσκεται 'πάνω' από την τομή των δύο επιπέδων ('καλύπτει δηλαδή το 'εσωτερικό' των δύο επιπέδων 'αντίσκηνο' , καθώς για ) ... αν και μόνον αν το κάθετο του επίπεδο είναι 'εσωτερικό' των καθέτων διανυσμάτων , των δύο επιπέδων, δηλαδή αν και μόνον αν με , κάτι που όντως ισχύει, για , λόγω των , . Άρα . (Γίνεται και χωρίς χρήση διανυσμάτων...)
[Υπάρχει και η ειδική περίπτωση : αν τότε (τομή), και , αν , , τότε (τομή), , και .]
Πράγματι, το σύνολο είναι το εσωτερικό του 'αντίσκηνου' που ορίζουν τα επίπεδα και ... καθώς ισχύουν οι ανισότητες και , ενώ το τρίτο επίπεδο, , είναι το 'σκέπαστρο' ... καθώς ισχύει η για όλα τα σημεία του .
Ας παρατηρηθεί εδώ ότι το σκέπαστρο οφείλει να περιέχει την κορυφογραμμή του αντίσκηνου (την τομή δηλαδή των επιπέδων και ), κάτι που δεν προκύπτει από την λεγόμενη 'κοινή λογική' αλλά από την ψυχρή λογική των (αν)ισοτήτων:
Η τομή των δύο επιπέδων και είναι η , . Θέτοντας , (με , προσδιοριζόμενους από τους , , και τους , , , αντίστοιχα), αλλά και , , στην (που οφείλει να ισχύει για κάθε σημείο του , άρα και για την τομή των δύο επιπέδων), καταλήγουμε στην ανισότητα
που βέβαια ισχύει για κάθε πραγματικό αν και μόνον αν (όπου κάποιος πραγματικός): προκύπτει εύκολα τώρα ότι οι , ικανοποιούν την , όπου πλέον , .
Αρκεί να δείξουμε ότι . Αυτό προκύπτει εύκολα από γεωμετρική θεώρηση (του αντίσκηνου και του σκέπαστρου): ένα επίπεδο ('σκέπαστρο' με εξίσωση ) διερχόμενο από την τομή δύο άλλων επιπέδων (, ) βρίσκεται 'πάνω' από την τομή των δύο επιπέδων ('καλύπτει δηλαδή το 'εσωτερικό' των δύο επιπέδων 'αντίσκηνο' , καθώς για ) ... αν και μόνον αν το κάθετο του επίπεδο είναι 'εσωτερικό' των καθέτων διανυσμάτων , των δύο επιπέδων, δηλαδή αν και μόνον αν με , κάτι που όντως ισχύει, για , λόγω των , . Άρα . (Γίνεται και χωρίς χρήση διανυσμάτων...)
[Υπάρχει και η ειδική περίπτωση : αν τότε (τομή), και , αν , , τότε (τομή), , και .]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (2)
Πολύ ωραία, Γιώργο (και μου άρεσε και ο παραλληλισμός με το αντίσκηνο!). Δίνω και την δική μου λύση:
1. Περίπτωση .
Ισχύει καθώς και . Άρα και ομοίως . Μπορούμε να διαλέξουμε οποιοδήποτε .
2. Περίπτωση .
Θέτουμε .
Θεωρούμε το σημείο και το (όπου παράμετρος). Ισχύει , οπότε για κάθε . Έτσι, .
Αφού όλα τα διανύσματα είναι μη μηδενικά και τα γραμμικώς ανεξάρτητα, πρέπει να ισχύει . Aπό την συντεταγμένη παίρνουμε .
Έστω (ομοίως σε άλλη περίπτωση). Ισχύει καθώς και . Έτσι, .
1. Περίπτωση .
Ισχύει καθώς και . Άρα και ομοίως . Μπορούμε να διαλέξουμε οποιοδήποτε .
2. Περίπτωση .
Θέτουμε .
Θεωρούμε το σημείο και το (όπου παράμετρος). Ισχύει , οπότε για κάθε . Έτσι, .
Αφού όλα τα διανύσματα είναι μη μηδενικά και τα γραμμικώς ανεξάρτητα, πρέπει να ισχύει . Aπό την συντεταγμένη παίρνουμε .
Έστω (ομοίως σε άλλη περίπτωση). Ισχύει καθώς και . Έτσι, .
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (2)
Θα δώσω μια πλήρη λύση για την περίπτωση που
Θέτουμε
Η σχέση γίνεται (1)
Οπου
και
Αρκεί να δείξουμε ότι
Για η (1) γίνεται
συμπεραίνουμε ότι
Για η (1) δίνει
Για παίρνουμε
Με τον ίδιο τρόπο παίρνουμε και
που ολοκληρώνει την απόδειξη.
Θέτουμε
Η σχέση γίνεται (1)
Οπου
και
Αρκεί να δείξουμε ότι
Για η (1) γίνεται
συμπεραίνουμε ότι
Για η (1) δίνει
Για παίρνουμε
Με τον ίδιο τρόπο παίρνουμε και
που ολοκληρώνει την απόδειξη.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες