Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (3)

dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1365
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (3)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Οκτ 11, 2017 3:28 pm

Έστω d_1, d_2, ..., d_n θετικοί πραγματικοί αριθμοί με n \geqslant 2. Να βρεθεί αναγκαία και ικανή συνθήκη επί των d_i για να υπάρχει ακολουθία σημείων του Ευκλείδειου επιπέδου p_0, p_1, ..., p_n έτσι ώστε:

1) Για κάθε i = 1, ..., n η απόσταση μεταξύ των p_i και p_{i-1} να είναι d_i και

2) p_n = p_0

Ένα παράδειγμα τέτοιας ακολουθίας για n=5:
sns3.png
sns3.png (47.41 KiB) Προβλήθηκε 596 φορές


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.

Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1365
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (3)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Παρ Οκτ 20, 2017 10:44 am

Επαναφορά.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7790
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (3)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Οκτ 21, 2017 6:36 pm

Πρέπει d_1 + \cdots + d_n \geqslant 2 \max\{d_1,\ldots,d_n\}.

Αναγκαίο: Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι d_n = \max\{d_1,\ldots,d_n\}. Από την τριγωνική ανισότητα είναι

\displaystyle  d_n = d(p_n,p_{n-1}) = d(p_0,p_{n-1}) \leqslant d(p_0,p_1) + d(p_1,p_2) + \cdots + d(p_{n-2},p_{n-1}) = d_1 + \cdots + d_{n-1}

Ικανό: Θα το δείξω αρχικά με την επιπλέον προϋπόθεση ότι d_1 \leqslant \cdots \leqslant d_n. Θα προχωρήσω με επαγωγή στο n. Η περίπτωση n = 2 είναι άμεση αφού η συνθήκη d_1 + d_2 \geqslant 2d_2 δίνει d_1 = d_2.

Θέτω d = \max\{d_{n-2},d_n-d_{n-1}\}. Υπάρχει (πιθανώς εκφυλισμένο) τρίγωνο με μήκη πλευρών d,d_{n-1},d_n αφού:
d_n + d_{n-1} > \max\{d_{n-2},d_n-d_{n-1}\} = d
d_n + d > d_{n-1}
d_{n-1} + d \geqslant d_{n-1} + (d_n-d_{n-1}) = d_n

Μπορώ λοιπόν να πάρω σημεία p_n,p_{n-1},p_{n-2} ώστε d(p_n,p_{n-1})=d_n, d(p_{n-1},p_{n-2}) = d_{n-1} και d(p_n,p_{n-2})=d.

Ισχύει όμως ότι d_1 \leqslant \cdots \leqslant d_{n-2} \leqslant d (άμεσο) και d_1 + \cdots + d_{n-2} \geqslant d αφού

\displaystyle  d_1 + \cdots + d_{n-2} - d \geqslant d_1 + \cdots + d_{n-2} - (d_{n}-d_{n-1}) \geqslant 0

Από την επαγωγική υπόθεση λοιπόν μπορώ να κλείσω το πολύγωνο.

Μένει τώρα να απαλλαχθώ από την επιπλέον προϋπόθεση ότι d_1 \leqslant \cdots \leqslant d_n. Έχω όμως n διανύσματα με μήκη d_1,\ldots,d_n τα οποία όταν τα τοποθετήσω διαδοχικά δημιουργούν ένα πολύγωνο. Δηλαδή έχουν άθροισμα 0. Όμως με οποιαδήποτε σειρά και να τα τοποθετήσω πάλι θα δημιουργούν πολύγωνο. Οπότε ο ισχυρισμός αποδείχθηκε.

Η πρώτη λύση που έδωσα ήταν όπως παρατήρησε ο Δημήτρης σε π.μ. λανθασμένη. Ελπίζω τώρα να είμαι σωστός.


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1365
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (3)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Κυρ Οκτ 22, 2017 1:16 am

Πολύ ωραία λύση. Εγώ χρησιμοποίησα επίσης επαγωγή, καλύπτοντας τις περιπτώσεις n=2, n=3 και στη συνέχεια "ένωσα" τα d_1, d_2 σε d_1+d_2=d. Αν d \leqslant d_n η επαγωγική υπόθεση χρησιμοποιείται επί τόπου. Αλλιώς παρατηρούμε ότι d \leqslant d_{n-1}+d_n (ισχύει n \geqslant 4) και χρησιμοποιούμε την επαγωγική υπόθεση με το d ως μέγιστο.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες