Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (4)

dement · #1

Για κάθε πραγματικό αριθμό

ορίζουμε το κλασματικό μέρος $\{ x \}$ ως το μοναδικό στοιχείο του [0,1)

τέτοιο ώστε $x - \{ x \} \in \mathbb{Z}$ .

1. Αν

θετικός ακέραιος, να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ακέραιοι x, y, z

μεγαλύτεροι του

τέτοιοι ώστε $\left\{ \sqrt{x} \right\} + \left\{ \sqrt{y} \right\} = 1 + \left\{ \sqrt{z} \right\}$

2. Να αποδειχθεί ότι, για κάθε τέτοια τριάδα, ισχύει z > 4N

.

#2

dement έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 25, 2017 12:03 am
Για κάθε πραγματικό αριθμό ορίζουμε το κλασματικό μέρος $\{ x \}$ ως το μοναδικό στοιχείο του τέτοιο ώστε $x - \{ x \} \in \mathbb{Z}$ .

1. Αν θετικός ακέραιος, να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ακέραιοι μεγαλύτεροι του τέτοιοι ώστε $\left\{ \sqrt{x} \right\} + \left\{ \sqrt{y} \right\} = 1 + \left\{ \sqrt{z} \right\}$

Για κάθε ακέραιο

ισχύει
$\sqrt{2x^2}+\sqrt{2x^2}=\sqrt{8x^2}.$

Θα δείξουμε ότι υπάρχουν άπειροι ακέραιοι

ώστε $\{ \sqrt{2}k \}>\dfrac{1}{2}.$
Οι αριθμοί $(3-2\sqrt{2})^n$ όπου

φυσικός, είναι όλοι θετικοί και μικρότεροι από το $\dfrac{1}{2}$ και επαγωγικά δείχνουμε ότι
$(3-2\sqrt{2})^n=x_n-y_n\sqrt{2}$ με $x_{n+1}=3x_n+4y_n,$ $y_{n+1}=2x_n+3y_n$ και x_1=3,

Άρα οι

γίνονται όσο μεγάλοι θέλουμε και $\dfrac{1}{2}<y_n\sqrt{2}-(x_n-1)<1$ οπότε $\{ \sqrt{2}y_n \}>\dfrac{1}{2}.$

Ισχύει $\left \lfloor a+b \right \rfloor=\left \lfloor a \right \rfloor+\left \lfloor b \right \rfloor+1$ όταν $\left \{ a \right \}+\left \{ b \right \}>1$ οπότε $\left \{ a \right \}+\left \{ b \right \}=1+\left \{ a+b \right \}.$

Διαλέγουμε $a=b=\sqrt{2k^2}$ όπου

ακέραιος με $\{ \sqrt{2}k \}>\dfrac{1}{2}$ και κατάλληλα μεγάλος. Τότε η τριάδα (2k^2,2k^2,8k^2)

ικανοποιεί τις απαιτήσεις του προβλήματος.

dement · #3

Πολύ ωραία. Εναλλακτικά, μπορούμε να επιλέξουμε τους αριθμούς από την ακολουθία $p_n \equiv 2^{2n+1}$ για την οποία ισχύει $\left\{ \sqrt{p_{n+1}} \right\} = 2 \left\{ \sqrt{p_n} \right\}$ εκτός αν $\displaystyle \left\{ \sqrt{p_n} \right\} \geqslant \frac{1}{2}$ , και έτσι έχει άπειρους όρους που ικανοποιούν αυτή την τελευταία συνθήκη. Έτσι, θέτουμε $x = y = p_n, \ z = p_{n+1}$ για κατάλληλο

.

Εμπρός για το δεύτερο ερώτημα!

sokratis lyras · #4

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 27, 2017 12:41 pm

dement έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 25, 2017 12:03 am
Για κάθε πραγματικό αριθμό ορίζουμε το κλασματικό μέρος $\{ x \}$ ως το μοναδικό στοιχείο του τέτοιο ώστε $x - \{ x \} \in \mathbb{Z}$ .

1. Αν θετικός ακέραιος, να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ακέραιοι μεγαλύτεροι του τέτοιοι ώστε $\left\{ \sqrt{x} \right\} + \left\{ \sqrt{y} \right\} = 1 + \left\{ \sqrt{z} \right\}$

Θα δείξουμε ότι υπάρχουν άπειροι ακέραιοι ώστε $\{ \sqrt{2}k \}>\dfrac{1}{2}.$

Μάλιστα, δεν υπάρχουν απλά άπειροι φυσικοί αριθμοί με αυτήν την ιδιότητα, αλλά οι $\displaystyle \sqrt{2}k$ ειναι και πολύ 'πυκνά κατανεμημένοι' στο διάστημα [0,1]

.
Μάλιστα, είναι ακόμα πιο 'πυκνοί' από τη συνήθη έννοια του πυκνού.
Ας δείξουμε για αρχή την πυκνότητα.

#5

dement έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 25, 2017 12:03 am
Για κάθε πραγματικό αριθμό ορίζουμε το κλασματικό μέρος $\{ x \}$ ως το μοναδικό στοιχείο του τέτοιο ώστε $x - \{ x \} \in \mathbb{Z}$ .

1. Αν θετικός ακέραιος, να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ακέραιοι μεγαλύτεροι του τέτοιοι ώστε $\left\{ \sqrt{x} \right\} + \left\{ \sqrt{y} \right\} = 1 + \left\{ \sqrt{z} \right\}$

2. Να αποδειχθεί ότι, για κάθε τέτοια τριάδα, ισχύει .

Έστω

ακέραιοι μεγαλύτεροι του

τέτοιοι ώστε $\left\{ \sqrt{x} \right\} + \left\{ \sqrt{y} \right\} = 1 + \left\{ \sqrt{z} \right\}.$ Οι $\sqrt{x},\sqrt{y}$ είναι άρρητοι, διαφορετικά το πρώτο μέλος είναι μικρότερο της μονάδας. Τότε
$\sqrt{x}+\sqrt{y}=a+\sqrt{z}$ όπου $a=[\sqrt x]+[\sqrt y]-[\sqrt z]+1\in \mathbb Z.$ Θα δείξουμε ότι a=0.

Ας υποθέσουμε ότι $a\neq 0.$ Τότε υψώνοντας στο τετράγωνο $x+y+2\sqrt{xy}=a^2+2a\sqrt{z}+z$ οπότε
$\sqrt{xy}-a\sqrt{z}\in \mathbb Q$
$(\sqrt{xy}-a\sqrt{z})^2\in \mathbb Q$
$xy+a^2z-2a\sqrt{xyz}\in \mathbb Q$ κι αφού $a\neq 0$
$\sqrt{xyz}\in \mathbb Q$ και αναγκαστικά
$\sqrt{xyz}=b \in \mathbb N.$
Επίσης
$\sqrt{x}-a=\sqrt{z}-\sqrt{y}$ και υψώνοντας στο τετράγωνο
$\sqrt{yz}-a\sqrt{x}\in \mathbb Q$
$\dfrac{b-ax}{\sqrt{x}}\in \mathbb Q$ και εφόσον $\sqrt{x}\in \mathbb{R}-\mathbb{Q}$ αναγκαστικά
b=ax

και ομοίως b=ay

οπότε

Άρα

οπότε

δηλαδή
$2\sqrt{x}=a+c\in \mathbb Z,$ άτοπο.

Άρα a=0

οπότε $\sqrt{z}=\sqrt{x}+\sqrt{y}>2\sqrt{N},$ δηλαδή z>4N.

dement · #6

Έξοχα Παύλο. Κινήθηκα κι εγώ παρόμοια, αποδεικνύοντας πρώτα το λήμμα ότι αν $r_1 + r_2 \sqrt{p} = r_3 + r_4 \sqrt{q}$ με $r_1, r_2, r_3, r_4 \in \mathbb{Q}$ και p, q

square-free ακεραίους μεγαλύτερους του

τότε

, που λύνει τα χέρια για τα περαιτέρω.

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (4)

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (4)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (4)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (4)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (4)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (4)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (4)

Μέλη σε σύνδεση