Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (4)
Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (4)
Για κάθε πραγματικό αριθμό ορίζουμε το κλασματικό μέρος ως το μοναδικό στοιχείο του τέτοιο ώστε .
1. Αν θετικός ακέραιος, να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ακέραιοι μεγαλύτεροι του τέτοιοι ώστε
2. Να αποδειχθεί ότι, για κάθε τέτοια τριάδα, ισχύει .
1. Αν θετικός ακέραιος, να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ακέραιοι μεγαλύτεροι του τέτοιοι ώστε
2. Να αποδειχθεί ότι, για κάθε τέτοια τριάδα, ισχύει .
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1513
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
- Τοποθεσία: Πειραιάς
- Επικοινωνία:
Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (4)
Για κάθε ακέραιο ισχύει
Θα δείξουμε ότι υπάρχουν άπειροι ακέραιοι ώστε
Οι αριθμοί όπου φυσικός, είναι όλοι θετικοί και μικρότεροι από το και επαγωγικά δείχνουμε ότι
με και
Άρα οι γίνονται όσο μεγάλοι θέλουμε και οπότε
Ισχύει όταν οπότε
Διαλέγουμε όπου ακέραιος με και κατάλληλα μεγάλος. Τότε η τριάδα ικανοποιεί τις απαιτήσεις του προβλήματος.
Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (4)
Πολύ ωραία. Εναλλακτικά, μπορούμε να επιλέξουμε τους αριθμούς από την ακολουθία για την οποία ισχύει εκτός αν , και έτσι έχει άπειρους όρους που ικανοποιούν αυτή την τελευταία συνθήκη. Έτσι, θέτουμε για κατάλληλο .
Εμπρός για το δεύτερο ερώτημα!
Εμπρός για το δεύτερο ερώτημα!
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
-
- Δημοσιεύσεις: 711
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 05, 2011 9:13 pm
Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (4)
Μάλιστα, δεν υπάρχουν απλά άπειροι φυσικοί αριθμοί με αυτήν την ιδιότητα, αλλά οι ειναι και πολύ 'πυκνά κατανεμημένοι' στο διάστημα .Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε: ↑Παρ Οκτ 27, 2017 12:41 pm
Θα δείξουμε ότι υπάρχουν άπειροι ακέραιοι ώστε
Μάλιστα, είναι ακόμα πιο 'πυκνοί' από τη συνήθη έννοια του πυκνού.
Ας δείξουμε για αρχή την πυκνότητα.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1513
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
- Τοποθεσία: Πειραιάς
- Επικοινωνία:
Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (4)
Έστω ακέραιοι μεγαλύτεροι του τέτοιοι ώστε Οι είναι άρρητοι, διαφορετικά το πρώτο μέλος είναι μικρότερο της μονάδας. Τότε
όπου Θα δείξουμε ότι
Ας υποθέσουμε ότι Τότε υψώνοντας στο τετράγωνο οπότε
κι αφού
και αναγκαστικά
Επίσης
και υψώνοντας στο τετράγωνο
και εφόσον αναγκαστικά
και ομοίως οπότε Άρα
οπότε δηλαδή
άτοπο.
Άρα οπότε δηλαδή
Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (4)
Έξοχα Παύλο. Κινήθηκα κι εγώ παρόμοια, αποδεικνύοντας πρώτα το λήμμα ότι αν με και square-free ακεραίους μεγαλύτερους του τότε , που λύνει τα χέρια για τα περαιτέρω.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες