Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (5)

dement · #1

Ένα (σημειακό) μυρμήγκι κινείται στο καρτεσιανό επίπεδο, ξεκινώντας από το σημείο A = (1,0)

και θέλοντας να φτάσει στο σημείο B = (2,0)

. Είναι όμως αναγκασμένο να περπατάει σε μία πλατφόρμα με μορφή δακτυλίου με κέντρο το (0,0)

και ακτίνες

(εσωτερική) και

(εξωτερική). Σε σχέση με την πλατφόρμα, μπορεί να κινείται με μοναδιαία ταχύτητα προς οποιαδήποτε κατεύθυνση. Η πλατφόρμα περιστρέφεται με φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού με σταθερή ταχύτητα, εκτελώντας $\omega$ στροφές ανά μονάδα χρόνου, με $0 \leqslant \omega \leqslant 1$ . Ποιος είναι ο ελάχιστος χρόνος $T( \omega )$ , συναρτήσει του $\omega$ , που χρειάζεται για να φτάσει στο

;

Σημ. Ο πιο σύντομος δρόμος επί της πλατφόρμας που ενώνει δύο σημεία στο εσωτερικό σύνορο του δακτυλίου είναι το κυκλικό τόξο ελάχιστου μήκους που τα ενώνει.

: sns5.png (205.76 KiB) Προβλήθηκε 2384 φορές

#2

dement έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 13, 2017 3:18 pm
Ένα (σημειακό) μυρμήγκι κινείται στο καρτεσιανό επίπεδο, ξεκινώντας από το σημείο και θέλοντας να φτάσει στο σημείο . Είναι όμως αναγκασμένο να περπατάει σε μία πλατφόρμα με μορφή δακτυλίου με κέντρο το και ακτίνες (εσωτερική) και (εξωτερική). Σε σχέση με την πλατφόρμα, μπορεί να κινείται με μοναδιαία ταχύτητα προς οποιαδήποτε κατεύθυνση. Η πλατφόρμα περιστρέφεται με φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού με σταθερή ταχύτητα, εκτελώντας $\omega$ στροφές ανά μονάδα χρόνου, με $0 \leqslant \omega \leqslant 1$ . Ποιος είναι ο ελάχιστος χρόνος $T( \omega )$ , συναρτήσει του $\omega$ , που χρειάζεται για να φτάσει στο ;

Σημ. Ο πιο σύντομος δρόμος επί της πλατφόρμας που ενώνει δύο σημεία στο εσωτερικό σύνορο του δακτυλίου είναι το κυκλικό τόξο ελάχιστου μήκους που τα ενώνει.

sns5.png

Πως θα λύσουμε, αν χρειαστεί, μία εξίσωση της μορφής π.χ.: $\dfrac{x}{2\pi \omega }=\sqrt{5-4cosx}$ με $x< \dfrac{\pi }{3}$ ;

dement · #3

Δεν είναι απαραίτητο. Το πρόβλημα ζητάει συνάρτηση, όχι κλειστό τύπο. Είσαι ελεύθερος να χρησιμοποιήσεις αντιστροφές και συνθέσεις (φυσικά καλώς ορισμένων συναρτήσεων) στην τελική απάντηση.

Al.Koutsouridis · #4

Μια προσπάθεια, αλλά δεν είμαι σίγουρος...

: sns_2017_p5.png (15.04 KiB) Προβλήθηκε 2142 φορές

Έστω ότι το μυρμήγκι περπατάει από το σημείο

σε ένα σημείο

της περιφέρειας του εξωτερικού κύκλου του δακτυλίου το οποίο ύστερα από κατάλληλη περιστροφή θα συμπέσει με το

ώστε να φτάσει στον προορισμό του. Αν το σημείο

βρίσκεται στο δεξί ημιεπίπεδο που ορίζει η κάθετη προς την

στο

, τότε η ελάχιστη απόσταση που χρειάζεται να περπατήσει είναι ίση με το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζουν αυτά τα σημεία, δηλαδή

. Σε αυτό το τμήμα θα αντιστοιχεί και ο ελάχιστος χρόνος για να φτάσει εκεί, αρκεί να υπάρχει και το κατάλληλο

.

Ας υπολογίσουμε αρχικά το

συναρτήση της γωνίας $\angle BOP = x$ , με θετικές τιμές προς την φορά των δεικτών του ρολογιού αντίθετα δηλαδή προς την κίνηση της πλατφόρμας. Είναι $PB=2\cdot OP \cdot \sin \dfrac{x}{2}$ . Από το θεώρημα διαμέσων έχουμε

$OP^2+PB^2=2AP^2+\dfrac{OP^2}{2} \Rightarrow 4+16 \sin^2 \dfrac{x}{2} = 2AP^2+2 \Rightarrow AP = \sqrt{1+8 \sin^2 \dfrac{x}{2} } \Rightarrow$

$AP = \sqrt{1+8\dfrac{1-\cos x}{2}} \Rightarrow AP = \sqrt{5-4\cos x}$ (1)

Αφού το μερμύγκι έχει μοναδιαία ταχύτητα θα χρειαστεί χρόνο

(μονάδες χρόνου) για να φτάσει στο

. Για να φτάσει το

στο

πρέπει η πλατφόρμα να περιστραφεί κατά γωνία

και αφού κάνει

περιστροφές στη μονάδα του χρόνου θα χρειαστεί χρόνο $t = \dfrac{x}{2\pi w}$ . Αν υπάρχει

ώστε

, τότε το μυρμήγκι θα φτάσει στο

στον ελάχιστο χρόνο, αφού έτσι θα περπατήσει μόνο ευθεία.

Δηλαδή ισχύει $\dfrac{x}{2\pi w} = \sqrt{5-4\cos x} \Rightarrow w = \dfrac{x}{2\pi \sqrt{5-4\cos x}}$ (2) (Η σχέση που έβγαλε ο κ.Ρεκούμης παραπάνω)

Θεωρούμε τώρα την συνάρτηση $f(x)=\dfrac{x}{2\pi \sqrt{5-4\cos x}}$ η οποία είναι συνεχής και στα άκρα του διάστηματος $[0, \dfrac{\pi}{3}]$ παίρνει τιμές f(0)=0

, $f(\pi /3) = \sqrt{3}/18$ . Ως συνεχής $\forall w \in [0,\sqrt{3}/18]$ υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_{0}$ για το οποίο w=f(x_0)

. Θα δείξουμε ότι η συνάρτηση f(x)

είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $[0, \pi/3]$ , οπότε θα είναι και μοναδικό. Πράγματι έχουμε

$f'(x) = \dfrac{5-4\cos x -2x \sin x}{2\pi \sqrt[3]{(5-4\cos x)^2}}$ . Αρκεί δηλαδή ο παρονομαστής να είναι θετικός.

a) Για $0\le x \le \pi/6$ έχουμε $0 \le \sin x \leq 1/2$ $\Rightarrow$ $0 \le 2x \sin x \le 2 \cdot \pi/6 \cdot 1/2 = \pi/6 < 1$ και αφού
$0 \le 4\cos x \leq 4$ , θα είναι $5 > 4\cos x +2x \sin x$ .

b) Για $\dfrac{\pi}{6} \le x \le \dfrac{\pi}{4}$ έχουμε

$0 \le \sin x \le \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\dfrac{\sqrt{2}}{2} \le \cos x \le \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Οπότε
$4\cos x + 2x \sin x \le 2\sqrt{2}+\dfrac{\pi \sqrt{3}}{3} <2\sqrt{3}+ \dfrac{\pi \sqrt{2}}{4} < 5$ .

c) Για $\dfrac{\pi}{4} \le x \le \dfrac{\pi}{3}$ έχουμε

$\dfrac{\sqrt{2}}{2} \le \sin x \le \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\dfrac{1}{2} \le \cos x \le \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ . Οπότε
$4\cos x + 2x \sin x \le 2\sqrt{2}+\dfrac{\pi \sqrt{3}}{3} < 5$ . Άρα και σε αυτή την περίπτωση η παράγωγος είναι θετική.

Αφού η

είναι γνησίως αύξουσα στο παραπάνω διάστημα θα αντιστρέφεται. Ας είναι $x=f^{-1}_{1}(w)$ η αντίστροφής της η οποία ορίζεται στο διάστημα $w \in [ f(0)=0, f(\pi /3) = \sqrt{3}/18]=[0,\dfrac{\sqrt{3}}{18}]$ . Δηλαδή είναι

$f^{-1}_{1}(w) : [0,\dfrac{\sqrt{3}}{18}] \rightarrow [0, \dfrac{\pi}{3}]$ με $f_{1}(x)=f(x), x \in [ 0, \dfrac{\pi}{3}]$ (i)

To δε ελάχιστο T(w)

θα είναι $T(w) = \sqrt{5-4\cos (f^{-1}_{1}(w))$ , $w \in [0,\dfrac{\sqrt{3}}{18}]$

Ομοίως εργαζόμαστε και για γωνίες $x \in [\dfrac{5\pi}{3}, 2\pi]$ για τις οποίες πάλι η

είναι γνησιώς αύξουσα. Ας αν είναι $x=f^{-1}_{2}(w)$ η αντίστροφής της η οποία ορίζεται στο διάστημα $w \in [ f(\dfrac{5\pi}{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{6}, f(2 \pi) = 1]=[\dfrac{\sqrt{3}}{6},1]$ . Δηλαδή

$f^{-1}_{2}(w) : [\dfrac{\sqrt{3}}{6},1] \rightarrow [\dfrac{5\pi}{3}, 2\pi]$ με $f_{2}(x)=f(x), x \in [\dfrac{5\pi}{3}, 2\pi]$ (ii)

Αν τώρα το σημείο

(

στο σχήμα) αντιστοιχεί σε γωνίες $x \in [\pi/3, \pi$ ] έχουμε:

Έστω το μυρμήγκι ακολουθεί μια διαδρομή, τυχαία καμπύλη,

. Ας είναι

σημείο του εσωτερικού κύκλου ώστε

εφαπτομένη του. Τα σημεία T, A

βρίσκονται εκατέροθεν αυτής, οπότε η καμπύλη

θα την τέμνει σε κάπιο σημείο, έστω

που θα βρίσκεται στην ημιευθεία με άκρη το

που δεν περιέχει το

.

Τότε θα είναι (με δείκτη

είναι οι καμπύλες αλλιώς το ευθύγραμμο τμήμα).

$TA_{c} \ge AR +RA_{c} = TQ+QR+RA_{c} \ge TQ+QA$ (όπου

το τόξο του εσωτερικού κύκλου). Αφού η ελάχιστη διαδρομή που εννώνει δυο σημεία του εσωτερικού κύκλου είναι το αντίστοιχο ελάχιστο τόξο, σύμφωνα με την εκφώνηση.

Δηλαδή η ελάχιστη διαδρομή για το σημείο

είναι η εφαπτομένη

συν το τόξο

. Από δύναμη σημείου προς κύκλο βρίσκουμε ότι $TQ =\sqrt{3} = const. \Rightarrow \angle QOT = \pi/3$ . Οπότε το μήκος του τόξου

θα είναι $QA = (x-\pi/3)\cdot 1$ και όλη η διαδρομή για το

.

$TA= \sqrt{3}+x-\pi/3$ . Όπως και παραπάνω θα πρέπει $\dfrac{x}{2\pi w} = \sqrt{3}+x-\pi/3 \Rightarrow w=\dfrac{x}{2\pi (\sqrt{3}+x-\pi/3)}$ (3)

Ορίζουμε μια νέα συνάρτηση $g_{1}(x) = \dfrac{x}{2\pi (\sqrt{3}+x-\dfrac{\pi}{3})}$ $x \in [\dfrac{\pi}{3},\pi]$ .

Είναι $g{'}_{1}(x) = \dfrac{9\sqrt{3}-3\pi}{2\pi(\pi-3(x+\sqrt{3})^2)^2} > 0$ . Οπότε η $g_{1}(x)$ αντιστρέφεται σε αυτό διάστημα με $w \in [g_{1}(\dfrac{\pi}{3}), g_{1}(\pi)] = [\dfrac{\sqrt{3}}{18}, \dfrac{1}{2(\sqrt{3}+\dfrac{2\pi}{3})}]$

Λύνοντας την (3) ως προς

βρίσκουμε για την αντίστροφή της

$x =g^{-1}_{1}(w) = \dfrac{2\pi(\sqrt{3}-\pi/3)w}{1-2\pi w}$ (iii)

Ο δε ελάχιστος χρόνος T(w)

θα είναι

$T(w)= \sqrt{3} + \dfrac{2\pi(\sqrt{3}-\pi/3)w}{1-2\pi w} -\pi/3$ με $w \in [\dfrac{\sqrt{3}}{18}, \dfrac{1}{2(\sqrt{3}+\dfrac{2\pi}{3})}]$

Στην συνέχεια εργαζόμαστε για τις συμμετρικές διαδρομές, για T{'}

που βρίσκονται στο πάνω ημικύκλιο. Σε αυτή την περίπτωση παρόμοια με παραπάνω θα είναι

$T{'}A= \sqrt{3}+\dfrac{5\pi}{3}-x \Rightarrow w=\dfrac{x}{2\pi (\sqrt{3}+\dfrac{5\pi}{3}-x)}$ , $x \in [\pi, 5\pi /3]$ (4)

Λύνοντας την (3) ως προς

βρίσκουμε για την αντίστροφή της

$x =g^{-1}_{2}(w) = \dfrac{2\pi(\sqrt{3}+5\pi/3)w}{1+2\pi w}$ (iv)

Ο δε ελάχιστος χρόνος T(w)

θα είναι

$T(w)= \sqrt{3} + 5\pi/3-\dfrac{2\pi(\sqrt{3}+5\pi/3)w}{1+2\pi w}$ με $w \in [\dfrac{1}{2(\sqrt{3}+\dfrac{2\pi}{3})}, \dfrac{\sqrt{3}}{6}]$

Συνοψίζοντας τα (i), (ii), (iii), (iv) βρίσκουμε για το T(w)

$\Displaystyle{T(w) = \left\{\begin{matrix} \sqrt{5-4\cos (f^{-1}_{1}(w))} , w \in \left [ 0,\dfrac{\sqrt{3}}{18} \right )\\ \sqrt{3} + \dfrac{2\pi(\sqrt{3}-\pi/3)w}{1-2\pi w} -\pi/3 , w \in\left [ \dfrac{\sqrt{3}}{18}, \dfrac{1}{2(\sqrt{3}+\dfrac{2\pi}{3})} \right ) \\ \sqrt{3} + 5\pi/3-\dfrac{2\pi(\sqrt{3}+5\pi/3)w}{1+2\pi w}, w \in \left [ \dfrac{1}{2(\sqrt{3}+\dfrac{2\pi}{3})}, \dfrac{\sqrt{3}}{6} \right )\\ \sqrt{5-4\cos (f^{-1}_{2}(w))} , w \in \left [ \dfrac{\sqrt{3}}{6},1 \right ] \end{matrix}\right.}$

Edit: ( 22/11/17) Έγιναν μερικές τροποποιήσεις στην αρχική ανάρτηση σύμφωνα με τις παρατηρήσεις στο παρακάτω ποστ.

dement · #5

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 22, 2017 1:41 am
Ίσως να μπορεί να δειχθεί ότι η είναι γνησίως μονότονη και αυτό το να είναι μοναδικό,

Μπορεί να δειχθεί για το διάστημα που μας ενδιαφέρει. Κάνε έναν κόπο, δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολο.

Αν ο παραπάνω συλλογισμός είναι ορθός, θα προσπαθήσω τις επόμενες μερές να βάλλω όλους τους υπολογισμούς.

Ναι, στην ουσία του είναι εντάξει. Φρόντισε μερικά κομμάτια στη δικαιολόγηση και δώσε τελική απάντηση.

Al.Koutsouridis · #6

dement έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 22, 2017 11:18 am

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 22, 2017 1:41 am
Ίσως να μπορεί να δειχθεί ότι η είναι γνησίως μονότονη και αυτό το να είναι μοναδικό,
Μπορεί να δειχθεί για το διάστημα που μας ενδιαφέρει. Κάνε έναν κόπο, δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολο.

Βρήκα λίγο χρόνο χθες και συμπλήρωσα την αρχική ανάρτηση με κάποιους υπολογισμούς σχετικά με αυτό.

dement έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 22, 2017 11:18 am

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 22, 2017 1:41 am
Αν ο παραπάνω συλλογισμός είναι ορθός, θα προσπαθήσω τις επόμενες μερές να βάλλω όλους τους υπολογισμούς.
Ναι, στην ουσία του είναι εντάξει. Φρόντισε μερικά κομμάτια στη δικαιολόγηση και δώσε τελική απάντηση.

Έδωσα μια τελικά απάντηση για το $T(\omega)$ αλλά χρωστάω την δικαιολόγηση για ακόμη μια περίπτωση ... θα επανέρθω.

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (5)

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (5)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (5)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (5)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (5)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (5)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (5)

Μέλη σε σύνδεση