Θέματα Ιταλικών απολυτηρίων 2018 (Ασκήσεις 5-7)

dement · #1

Πάντως για όποιον θέλει σύγκριση με το Γ των Πανελληνίων, η άσκηση 5 είναι ιδανική.

5. Με σύρμα μήκους 2 μέτρων θέλουμε να περιφράξουμε μία έκταση μορφής ορθογωνίου παραλληλογράμμου που συνορεύει με ημικύκλιο, όπως στην εικόνα.

: matur.png (25.82 KiB) Προβλήθηκε 1060 φορές

Υπολογίστε τις πλευρές του ορθογωνίου που μας επιτρέπουν να περιφράξουμε έκταση μέγιστου εμβαδού.

6. Βρείτε την εξίσωση σφαιρικής επιφάνειας με κέντρο επί της ευθείας $\left\{ \begin{array}{l} x=t \\ y=t, \ t \in \mathbb{R} \\ z=t \\ \end{array}$ που εφάπτεται στο επίπεδο $\pi: 3x - y - 2z + 14 = 0$ επί του σημείου .

7. Υπολογίστε τα για τα οποία $\displaystyle \int_a^{a+1} (3x^2 + 3) \mathrm{d}x = 10$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

dement έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 22, 2018 1:25 am

6. Βρείτε την εξίσωση σφαιρικής επιφάνειας με κέντρο επί της ευθείας $\left\{ \begin{array}{l} x=t \\ y=t, \ t \in \mathbb{R} \\ z=t \\ \end{array}$ που εφάπτεται στο επίπεδο $\pi: 3x - y - 2z + 14 = 0$ επί του σημείου .

Έστω $K(\kappa ,\kappa ,\kappa )$ το κέντρο της σφαίρας. Φέρνουμε την αναλυτική εξίσωση του επιπέδου $\pi$ στη μορφή

a(x+4)+b(y-0)+c(z-1)=0.

Από την εξίσωση του επιπέδου που μας δίνεται βρίσκουμε εύκολα ότι a=3,b=-1,c=-2.

Το διάνυσμα

είναι

κάθετο στο επίπεδο $\pi$ και επιπλέον παράλληλο στο διάνυσμα $\vec{KT}=(\kappa +4,\kappa ,\kappa -1)$ . Επομένως υπάρχει $\lambda$ ώστε

$(3,-1,-2)=\lambda(\kappa +4,\kappa ,\kappa -1).$
Από την τελευταία προκύπτει εύκολα ότι $\lambda =1,\kappa =-1.$ Βρέθηκε το κέντρο της σφαίρας . Είναι το K(-1,-1,-1).

Επίσης, η ακτίνα της $\rho$ είναι ίση με $\left \| \vec{KT} \right \|=\sqrt{(-1+4)^2+(-1-0)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{14}.$

Τελικά η εξίσωση της σφαίρας είναι η
(x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2=14.

#3

Καλημέρα σε όλους. Ενδιαφέρον το (5). Στο ίδιο πνεύμα με το "δικό μας" θέμα Γ (Πανελ. εξετάσεις 2018), αλλά κάπως πιο δύσκολο στον προσδιορισμό του πεδίου ορισμού των μεταβλητών διαστάσεων. Δεν χρειάζεται παραγώγους, αρκεί η μελέτη τριωνύμου.

Έστω

το μήκος του ορθογωνίου παραλληλογράμμου, που είναι και διάμετρος του ημικυκλίου και

το πλάτος του.

Τότε η περίμετρος ανοιχτού ορθογωνίου είναι x + 2y

και του ημικυκλίου είναι $\displaystyle \pi x$ .

Αν υποθέσουμε ότι y=0

, τότε $\displaystyle x + \pi x = 2 \Leftrightarrow x = \frac{2}{{\pi + 1}}$ , οπότε $\displaystyle x \in \left( {0,\;\frac{2}{{\pi + 1}}} \right)$ .

Αντίστοιχα, αν υποθέσουμε ότι x=0

, τότε $\displaystyle 2y = 2 \Leftrightarrow y = 1$ , οπότε $\displaystyle y \in \left( {0,\;1} \right)$ .

Είναι $\displaystyle x + 2y + \pi x = 2 \Leftrightarrow y = 1 - \frac{x}{2} - \frac{{\pi x}}{2},\;\;x \in \left( {0,\;\frac{2}{{\pi + 1}}} \right)$ .

Το ολικό εμβαδό δίνεται από τον τύπο $\displaystyle {{\rm E}_{o\lambda }} = xy + \pi {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2}$ .

Αντικαθιστώντας το y έχουμε τη συνάρτηση του ολικού εμβαδού:

$\displaystyle {\rm E}\left( x \right) = x\left( {1 - \frac{x}{2} - \frac{{\pi x}}{2}} \right) + \frac{{\pi {x^2}}}{4} = \frac{{ - \left( {\pi + 2} \right){x^2} + 4x}}{4},\;\;x \in \left( {0,\;\frac{2}{{\pi + 1}}} \right)$ .

Το τριώνυμο $\displaystyle - \left( {\pi + 2} \right){x^2} + 4x$ έχει μέγιστο για $\displaystyle x = - \frac{\beta }{{2\alpha }} = \frac{2}{{\pi + 2}}$ , που ανήκει στο διάστημα $\displaystyle \left( {0,\;\frac{2}{{\pi + 1}}} \right)$ .

Οι πλευρές του ορθογωνίου, που μας επιτρέπουν να περιφράξουμε έκταση μέγιστου εμβαδού, είναι $\displaystyle x = \frac{2}{{\pi + 2}},\;\;y = 1 - \frac{{\pi + 1}}{{\pi + 2}} = \frac{1}{{\pi + 2}}$ .

Και μια απάντηση στο (7).

H συνάρτηση y= 3x^2+3

ορίζεται στο

, οπότε το ορισμένο ολοκλήρωμα έχει νόημα για κάθε $\displaystyle a \in R$ .

Είναι $\displaystyle \int\limits_a^{a + 1} {(3{x^2} + 3)} {\rm{d}}x = 10 \Leftrightarrow \left[ {{x^3} + 3x} \right]_a^{a + 1} = 10 \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^3} + 3\left( {a + 1} \right) - {a^3} - 3a = 10$

$\displaystyle \Leftrightarrow {a^2} + a - 2 = 0 \Leftrightarrow a = - 2\;\; \vee \;\;a = 1$ .

Tolaso J Kos · #4

dement έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 22, 2018 1:25 am
7. Υπολογίστε τα για τα οποία $\displaystyle \int_a^{a+1} (3x^2 + 3) \mathrm{d}x = 10$

Έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{a}^{a+1} \left ( 3x^2+3 \right ) \, \mathrm{d}x = 10 &\Leftrightarrow \left [ x^3 + 3x \right ]_a^{a+1} = 10 \\ &\Leftrightarrow \left ( a+1 \right )^3 + 3 (a+1) - a^3 - 3a = 10 \\ & \Leftrightarrow 3a^2 +3a + 4 = 10 \\ &\Leftrightarrow 3a^2 + 3a - 6 =0 \\ &\Leftrightarrow 3 \left ( a-1 \right ) \left ( a+2 \right ) =0 \\ &\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a & = &1 \\ a & = & -2 \end{matrix}\right. \end{aligned}}$

Θέματα Ιταλικών απολυτηρίων 2018 (Ασκήσεις 5-7)

Θέματα Ιταλικών απολυτηρίων 2018 (Ασκήσεις 5-7)

Re: Θέματα Ιταλικών απολυτηρίων 2018 (Ασκήσεις 5-7)

Re: Θέματα Ιταλικών απολυτηρίων 2018 (Ασκήσεις 5-7)

Re: Θέματα Ιταλικών απολυτηρίων 2018 (Ασκήσεις 5-7)

Μέλη σε σύνδεση