Θέματα Ιταλικών απολυτηρίων 2018 (Πρόβλημα 1)

dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Θέματα Ιταλικών απολυτηρίων 2018 (Πρόβλημα 1)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Δευ Ιουν 25, 2018 9:52 am

Περνάμε στο πρώτο πρόβλημα, "πρακτικής" υφής. Βάζω σε bold τα ερωτήματα.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1

Πρέπει να προγραμματίσετε τη λειτουργία μίας μηχανής που χρησιμοποιείται στη βιομηχανική παραγωγή πλακακιών για πατώματα. Τα πλακάκια είναι σχήματος τετραγώνου και τα βήματα της διαδικασίας είναι τα ακόλουθα:

- Επιλέγεται μία συνάρτηση y = f(x) συνεχής στο [0,1] που ικανοποιεί τις συνθήκες:

(α) f(0) = 1
(β) f(1) = 0
(γ) 0 < f(x) < 1 για 0 < x < 1

- Η μηχανή διαγράφει το γράφημα \Gamma της συνάρτησης y = f(x) καθώς και τα συμμετρικά του ως προς τον άξονα y, τον άξονα x και την τομή των αξόνων O, σχηματίζοντας έτσι μία κλειστή καμπύλη \Lambda που διέρχεται από τα σημεία (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1), συμμετρική ως προς τους καρτεσιανούς άξονες και την τομή τους και περιεχόμενη στο τετράγωνο Q με κορυφές τα σημεία (1,1), (-1,1), (-1,-1), (1,-1).

- Η μηχανή κατασκευάζει το πλακάκι χρωματίζοντας το εσωτερικό της κλειστής καμπύλης \Lambda και αφήνοντας λευκό το υπόλοιπο του τετραγώνου Q.

Το εγχειρίδιο οδηγιών χρήσης δίνει ένα παράδειγμα κατασκευής ενός απλού πλακακιού:
Form1-1.png
Form1-1.png (69.8 KiB) Προβλήθηκε 772 φορές
1. Με αναφορά στο παράδειγμα, δώστε τον τύπο της συνάρτησης y = f(x) και της κλειστής καμπύλης \Lambda, ώστε να μπορέσει να γίνει μία δοκιμή της σωστής λειτουργίας της μηχανής.

Σας ζητείται να κατασκευάσετε ένα πλακάκι με ένα σχέδιο πιο λεπτομερές το οποίο, εκτός από τις τρεις προαναφερθείσες συνθήκες, ικανοποιεί και την f'(0) = 0 και το εμβαδόν της χρωματισμένης επιφάνειας ισούται με το 55 \% του συνολικού εμβαδού του πλακακιού. Για αυτόν τον σκοπό, θεωρήστε πολυωνυμικές συναρτήσεις δευτέρου και τρίτου βαθμού.

2. Αφού αποδείξετε ότι δεν είναι δυνατόν να ικανοποιηθούν οι συνθήκες με πολυωνυμική συνάρτηση δευτέρου βαθμού, προσδιορίστε τους συντελεστές a, b, c, d \in \mathbb{R} της πολυωνυμικής συνάρτησης τρίτου βαθμού που ικανοποιεί τις συνθήκες. Αναπαραστήστε στη συνέχεια στο καρτεσιανό επίπεδο το πλακάκι που προκύπτει.

Σε έναν πελάτη προτείνονται δύο διαφορετικά σχέδια, που προκύπτουν από τις συναρτήσεις a_n (x) = 1 - x^n, b_n = (1-x)^n, στο διάστημα [0,1] και με n θετικό ακέραιο.

3. Αποδείξτε ότι, για κάθε n, όλες αυτές οι συναρτήσεις ικανοποιούν τις προαναφερθείσες συνθήκες (α), (β), (γ). Ορίζοντας A(n), B(n) τα εμβαδά των χρωματισμένων περιοχών των πλακακιών που προκύπτουν αντίστοιχα από τις συναρτήσεις a_n, b_n, υπολογίστε τα \displaystyle \lim_{n \to + \infty} A(n), \lim_{n \to + \infty} B(n) και ερμηνεύστε γεωμετρικά το αποτέλεσμα.

Ο πελάτης αποφασίζει να παραγγείλει 5000 πλακάκια με το σχέδιο a_2 και 5000 πλακάκια με το σχέδιο b_2. Ο χρωματισμός γίνεται με έναν μηχανικό βραχίονα ο οποίος, αφού τελειώσει τον χρωματισμό, επανέρχεται στην αρχική του θέση διασχίζοντας μια διαγώνιο του πλακακιού. Λόγω μίας βλάβης, κατά την παραγωγή των 10000 πλακακιών, υπάρχει μια πιθανότητα 20 \% ο βραχίονας να αφήσει να πέσει μία σταγόνα χρώματος σε ένα τυχαίο σημείο επί της διαγωνίου, λεκιάζοντας το πλακάκι.

4. Υπολογίστε χονδρικά, δικαιολογώντας την απάντησή σας, τον αριθμό των πλακακιών που θα έχουν σταγόνα χρώματος στη λευκή περιοχή τους και, κατά συνέπεια, θα πρέπει να απορριφθούν από την παραγωγή.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1452
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Θέματα Ιταλικών απολυτηρίων 2018 (Πρόβλημα 1)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Ιουν 26, 2018 12:59 am

1.Με τις δοσμένες συνθήκες και τη συνέχεια στο \displaystyle [0,1] καταλήγουμε στην \displaystyle f(x)=1-x,x\in [0,1]
Η κλειστή καμπύλη είναι \displaystyle x\in [0,1] και
\displaystyle \begin{array}{l} 
y = 1 - |x|,\,\,\,y \ge 0,\,\,\,\,\\ 
y =  - 1 + |x|,\,\,\,y < 0 
\end{array}
2. Αν \displaystyle f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c\Rightarrow {f}'(x)=2ax+b , τότε :
\displaystyle f(0)=1\Rightarrow c=1 , \displaystyle f(1)=0\Rightarrow a+b=-1 , {f}'(0)=0\Rightarrow b=0\Rightarrow a=-1
Άρα \displaystyle f(x)=-{{x}^{2}}+1\ge 0,x\in [0,1]
\displaystyle \int\limits_0^1 {( - {x^2} + 1)dx = \left[ {\frac{{ - {x^3}}}{3} + x} \right]_0^1}  = \frac{2}{3} > 0,55 ,
άρα δεν είναι δυνατόν να ικανοποιηθούν οι συνθήκες με πολυωνυμική συνάρτηση δευτέρου βαθμού .

Αν \displaystyle f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\Rightarrow {f}'(x)=3a{{x}^{2}}+2bx+c , τότε :
\displaystyle f(0)=1\Rightarrow d=1 , \displaystyle f(1)=0\Rightarrow a+b+c=-1 , {f}'(0)=0\Rightarrow c=0\Rightarrow b=-a-1
Άρα \displaystyle f(x)=a{{x}^{3}}-(a+1){{x}^{2}}+1\ge 0,x\in [0,1]
Θέλουμε \displaystyle \int\limits_{0}^{1}{|a{{x}^{3}}-(a+1){{x}^{2}}+1}|dx=0,55

Θεωρώντας την απαίτηση (γ) η γραφική παράσταση να βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο , έχουμε ότι \displaystyle f(x) \ge 0, οπότε:
\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{(a{{x}^{3}}-(a+1){{x}^{2}}+1})dx=0,55\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow \frac{8-a}{12}=0,55\Leftrightarrow a=1,4
Άρα έχουμε την \displaystyle f(x)=1,4{{x}^{3}}-2,4{{x}^{2}}+1

Ένα σχήμα με το τελικό προιόν
Συνημμένα
tiles.png
tiles.png (12.01 KiB) Προβλήθηκε 605 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Θέματα Ιταλικών απολυτηρίων 2018 (Πρόβλημα 1)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τρί Ιουν 26, 2018 9:43 am

Πολύ ωραία μέχρι εδώ (και το τελικό προϊόν καθόλου άσχημο!). Να προσθέσω, βέβαια, ότι οι μαθητές, για να αναπαραστήσουν το πλακάκι, θα πρέπει να εργαστούν στην μονοτονία, ακρότατα και σημεία καμπής της συνάρτησης.

Σε αναμονή για την υπόλοιπη λύση.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1452
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Θέματα Ιταλικών απολυτηρίων 2018 (Πρόβλημα 1)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Ιουν 26, 2018 1:59 pm

3. Έστω \displaystyle {a_n}(x) = 1 - {x^n} . Τότε : \displaystyle {a_n}(0) = 1,{a_n}(1) = 0
και \displaystyle 0 < x < 1 \Rightarrow 0 < {x^n} < 1 \Rightarrow 0 < {a_n}(x) < 1
Ακόμα είναι συνεχής στο \displaystyle [0,1]

Έστω \displaystyle {b_n}(x) = {(1 - x)^n} . Τότε : \displaystyle {b_n}(0) = 1,\,\,{b_n}(1) = 0
και \displaystyle 0 < x < 1 \Rightarrow 0 < 1 - x < 1 \Rightarrow 0 < {b_n}(x) < 1
Ακόμα είναι συνεχής στο \displaystyle [0,1]
Άρα και οι δύο πληρούν τις προυποθέσεις
Ακόμα :
\displaystyle \int\limits_0^1 {(1 - {x^n}} )dx = \left[ {x - \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]_0^1 = 1 - \frac{1}{{n + 1}}
και \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right) = 1
Άρα η χρωματισμένη περιοχή τείνει να καλύψει όλο το πλακάκι .
και :
\displaystyle \int\limits_0^1 {(1 - x} {)^n}dx = \left[ {\frac{{{{(1 - x)}^{n + 1}}}}{{ - n - 1}}} \right]_0^1 = \frac{1}{{n + 1}} , άρα \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {\frac{1}{{n + 1}}} \right) = 0
Άρα η χρωματισμένη περιοχή τείνει να εξαφανιστεί .

4. Οι συναρτήσεις \displaystyle {a_2}(x) = 1 - {x^2} και \displaystyle {b_2}(x) = {(1 - x)^2} έχουν κέντρο συμμετρίας το σημείο \displaystyle A\left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right)
Αφού τα πλακάκια είναι ίσα σε αριθμό από κάθε κατηγορία , μπορούμε να θεωρήσουμε ότι όλα έχουν το σχέδιο του πρώτου ερωτήματος .
Έτσι , το λευκό μέρος είναι το \displaystyle \frac{1}{2} της διαγωνίου .
Αφού η πιθανότητα είναι \displaystyle 0,2 για κάθε πλακάκι , έχουμε ότι η πιθανότητα για ελαττωματικό πλακάκι ,
σύμφωνα με τον πολλαπλασιαστικό νόμο είναι : \displaystyle 0,2 \cdot 0,5 = 0,1
Άρα περιμένουμε : \displaystyle 0,1 \cdot 10000 = 1000 ελαττωματικά πλακάκια

Σχόλιο
Μπορώ να πώ ότι είναι ένα καλό ρεαλιστικό πρόβλημα .


Kαλαθάκης Γιώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης