Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005
Εισαγωγικές εξετάσεις τμήματος Υπολογιστικών Μαθηματικών & Κυβερνητικής, 2005.
1. Να λύσετε την ανίσωση
.
2. Να λύσετε την εξίσωση
.
3. Οι ακολουθίες και , αποτελούν αριθμητικές προόδους, , . Η ακολουθία ορίζεται από την σχέση . Το άθροισμα των πρώτων σαράντα όρων της ακολουθίας ισούται με και το άθροισμα των πρώτων είκοσι τριών όρων της, ισούται με . Να βρείτε τον όρο καθώς και το άθροισμα των πρώτων εκατό όρων της αριθμητικής προόδου .
4. Στην πλευρά κυρτού τετραπλεύρου δίνεται σημείο τέτοιο, ώστε και . Το τριπλάσιο τετράγωνο του λόγου της απόστασης του σημείου από την ευθεία προς την απόσταση του σημείου από την ευθεία ισούται με , . Να βρείτε την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου .
5. Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου που ανήκουν στο διάστημα , για τις οποίες η εξίσωση
έχει στο διάστημα περιττό αριθμό λύσεων. (Εδώ με συμβολίζουμε το ακέραιο μέρος του αριθμού , δηλαδή το μέγιστο ακέραιο, που ικανοποιεί την ανισότητα ).
6. Στις έδρες , , και του τετραέδρου δίνονται τα σημεία και αντίστοιχα έτσι, ώστε , , . Ο λόγος του όγκου του τετραέδρου προς τον όγκο του τετραέδρου είναι ίσος με . Είναι γνωστό, ότι . Να βρείτε τον λόγο των εμβαδών των τριγώνων και .
1. Να λύσετε την ανίσωση
.
2. Να λύσετε την εξίσωση
.
3. Οι ακολουθίες και , αποτελούν αριθμητικές προόδους, , . Η ακολουθία ορίζεται από την σχέση . Το άθροισμα των πρώτων σαράντα όρων της ακολουθίας ισούται με και το άθροισμα των πρώτων είκοσι τριών όρων της, ισούται με . Να βρείτε τον όρο καθώς και το άθροισμα των πρώτων εκατό όρων της αριθμητικής προόδου .
4. Στην πλευρά κυρτού τετραπλεύρου δίνεται σημείο τέτοιο, ώστε και . Το τριπλάσιο τετράγωνο του λόγου της απόστασης του σημείου από την ευθεία προς την απόσταση του σημείου από την ευθεία ισούται με , . Να βρείτε την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου .
5. Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου που ανήκουν στο διάστημα , για τις οποίες η εξίσωση
έχει στο διάστημα περιττό αριθμό λύσεων. (Εδώ με συμβολίζουμε το ακέραιο μέρος του αριθμού , δηλαδή το μέγιστο ακέραιο, που ικανοποιεί την ανισότητα ).
6. Στις έδρες , , και του τετραέδρου δίνονται τα σημεία και αντίστοιχα έτσι, ώστε , , . Ο λόγος του όγκου του τετραέδρου προς τον όγκο του τετραέδρου είναι ίσος με . Είναι γνωστό, ότι . Να βρείτε τον λόγο των εμβαδών των τριγώνων και .
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 786
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005
Όλες οι ασκήσεις είναι υπεροχες!!! Θέλω να κάνω μια ερώτηση μονο γιατί δεν έχω ιδέα για το σύστημα εξετάσεων στην Ρωσία. Στο αντίστοιχο λύκειο διδάσκονται παραγώγους και ολοκληρώματα??
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005
Τα παρακάτω είναι η εντύπωση που έχω πάρει εγώ προσωπικά και μπορεί να αποκλίνουν από την πραγματικότητα. Αν βρω χρόνο θα προσπαθήσω να δημιουργήσω μια νέα ενότητα με το αναλυτικό πρόγραμμα καθώς και κάποια προγράμματα από φυσικομαθηματικά σχολεία που ίσως θα ήταν ενδιαφέρον να δούμε.Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑Δευ Αύγ 06, 2018 2:16 pmΘέλω να κάνω μια ερώτηση μονο γιατί δεν έχω ιδέα για το σύστημα εξετάσεων στην Ρωσία. Στο αντίστοιχο λύκειο διδάσκονται παραγώγους και ολοκληρώματα??
Στις αντίστοιχες θετικές κατευθύνσεις ναι. Το σύνολο σχεδόν της 11ης τάξης (τελευταίας) είναι αρχές μαθηματικής ανάλυσης. Με ύλη παρόμοια με το δικό μας σχολικό βιβλίο.
Στην ενιαία κρατική εξέταση (αντίστοιχο των Πανελληνίων) δεν εξετάζεται πολύ. Ίσως η εύρεση κάποιου μεγίστου, πολύ απλά πράματα. Γιατί η ύλη των θεωρητικών κατευθύνσεων σταματάει στην εύρεση παραγώγου, όπως σε εμάς στα μαθηματικά γενικής παιδείας.
Πολλά από τα κεντρικά πανεπιστήμια όμως έχουν συμπληρωματικές εξετάσεις στα μαθήματα βαρύτητας της κάθε σχολής τους. Παρ’ ότι και εκεί αποφεύγεται να μπαίνουν «καθαρά» θέματα ανάλυσης, πιθανόν κάποιες φορές να χρειαστούν. (π.χ. 8ο πρόβλημα εδώ).
-
- Δημοσιεύσεις: 786
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Δευ Αύγ 06, 2018 12:28 amΕισαγωγικές εξετάσεις τμήματος Υπολογιστικών Μαθηματικών & Κυβερνητικής, 2005.
6. Στις έδρες , , και του τετραέδρου δίνονται τα σημεία και αντίστοιχα έτσι, ώστε , , . Ο λόγος του όγκου του τετραέδρου προς τον όγκο του τετραέδρου είναι ίσος με . Είναι γνωστό, ότι . Να βρείτε τον λόγο των εμβαδών των τριγώνων και .
Ας είναι οι σεβασιανές του στο τρίγωνο με τις οποίες (απλό ) οι συντρέχουν, κατά αντιστοιχία, στα σημεία . Είναι γνωστό ότι
Aπό τις δοθείσες παραλληλίες έχουμε
Επειδή τα τετράεδρα και έχουν τις γωνίες των κορυφών τους ίσες - λόγω της παραλληλίας των πλευρών τους-, είναι
Η υπόθεση γράφεται
Λόγω αυτής και των η δίνει:
Από αυτήν και την η δίνει
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Re: Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005
επαναφορά...
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Re: Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005
Πεδίο ορισμού
Για έχουμε
To oποίο ειναι αδύνατον
Για έxουμε
άρα ή και με τους περιορισμούς που έχουμε καταλήγουμε
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Re: Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005
και παρατηρούμε ότιAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Δευ Αύγ 06, 2018 12:28 am3. Οι ακολουθίες και , αποτελούν αριθμητικές προόδους, , . Η ακολουθία ορίζεται από την σχέση . Το άθροισμα των πρώτων σαράντα όρων της ακολουθίας ισούται με και το άθροισμα των πρώτων είκοσι τριών όρων της, ισούται με . Να βρείτε τον όρο καθώς και το άθροισμα των πρώτων εκατό όρων της αριθμητικής προόδου .
... και καταλήγουμε στο εξής
οπότε
Χαρίς τις η γίνεται
η δίνουν και τώρα από πέρνουμε
Re: Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005
Τα θέματα απευθύνονται σε υποψήφιους για Σχολή υπολογιστικών μαθηματικών και κυβερνητικής. Είναι πιθανόν, εξ αυτού, οι υποψηφίου να χρησιμοποιούν και άλλα εργαλεία;
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005
Όχι, ή ύλη και τα εργαλεία είναι τα σχολικά και μόνο, αντίστοιχη με τα ελληνικά σχολικά βιβλία. Με κάποιες μικροδιαφορές χωρίς ουσιαστική ουσία ως αναφορά την λύση των προβλημάτων. Για παράδειγμα στην ύλη είναι και οι αντίστροφές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, διανύσματα στο χώρο. Εκτός και αν εννοείτε κάτι άλλο με εργαλεία.
Η διαφοροποίηση στην ύλη που διδάσκεται σε σχέση με την Ελλάδα, υπάρχει μόνο στα φυσικό-μαθηματικά σχολεία. Εκεί όντως μπορεί να ποικίλει, από ύλη ολυμπιάδων μέχρι και στοιχεία από πρώτα έτη μαθηματικού τμήματος.
Ως αναφορά το όνομα, στο αντίστοιχο πανεπιστήμιο έχει δυο τμήματα σχετικά με μαθηματικά το Μηχανικό-Μαθηματικό τμήμα με τομέα ευθύνης πιο «καθαρά» μαθηματικά και θεωρητική μηχανική και το Τμήμα Υπολογιστικών Μαθηματικών και Κυβερνητικής για εφαρμοσμένα μαθηματικά πιο κοντά στο τομέα πληροφορικής, οικονομικά κτλ. Και τα δυο τμήματα είναι εξαετή. Το αντίστοιχο του τμήματος Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών του ΕΜΠ θα λέγαμε.
Για τα θέματα μαθηματικών και για τις υπόλοιπες σχολές (ακόμα και φιλολογίας, ψυχολογίας κτλ.) του πανεπιστημίου μέχρι και το 2008-9, αν δεν κάνω λάθος, ήταν υπεύθυνα τα παραπάνω δυο τμήματα (εκτός Φυσικού, αυτοί έβγαζαν δικά τους). Προσωπικά μου αρέσουν περισσότερο τα του Υπολογιστικών Μαθηματικών. Δε διαφέρουν πολύ, αλλά έχουν μια λίγο διαφορετική χροιά. Θα ανεβάσω κάποια στιγμή και του Μηχανικό-Μαθηματικού.
Re: Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Πέμ Σεπ 20, 2018 7:33 pmΌχι, ή ύλη και τα εργαλεία είναι τα σχολικά και μόνο, αντίστοιχη με τα ελληνικά σχολικά βιβλία. Με κάποιες μικροδιαφορές χωρίς ουσιαστική ουσία ως αναφορά την λύση των προβλημάτων. Για παράδειγμα στην ύλη είναι και οι αντίστροφές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, διανύσματα στο χώρο. Εκτός και αν εννοείτε κάτι άλλο με εργαλεία.
Η διαφοροποίηση στην ύλη που διδάσκεται σε σχέση με την Ελλάδα, υπάρχει μόνο στα φυσικό-μαθηματικά σχολεία. Εκεί όντως μπορεί να ποικίλει, από ύλη ολυμπιάδων μέχρι και στοιχεία από πρώτα έτη μαθηματικού τμήματος.
Ως αναφορά το όνομα, στο αντίστοιχο πανεπιστήμιο έχει δυο τμήματα σχετικά με μαθηματικά το Μηχανικό-Μαθηματικό τμήμα με τομέα ευθύνης πιο «καθαρά» μαθηματικά και θεωρητική μηχανική και το Τμήμα Υπολογιστικών Μαθηματικών και Κυβερνητικής για εφαρμοσμένα μαθηματικά πιο κοντά στο τομέα πληροφορικής, οικονομικά κτλ. Και τα δυο τμήματα είναι εξαετή. Το αντίστοιχο του τμήματος Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών του ΕΜΠ θα λέγαμε.
Για τα θέματα μαθηματικών και για τις υπόλοιπες σχολές (ακόμα και φιλολογίας, ψυχολογίας κτλ.) του πανεπιστημίου μέχρι και το 2008-9, αν δεν κάνω λάθος, ήταν υπεύθυνα τα παραπάνω δυο τμήματα (εκτός Φυσικού, αυτοί έβγαζαν δικά τους). Προσωπικά μου αρέσουν περισσότερο τα του Υπολογιστικών Μαθηματικών. Δε διαφέρουν πολύ, αλλά έχουν μια λίγο διαφορετική χροιά. Θα ανεβάσω κάποια στιγμή και του Μηχανικό-Μαθηματικού.
Οκ! Σε ευχαριστώ για την απάντηση. Βέβαια σε ευχαριστώ, πρωτίστως, για τον κόπο σου να ανεβάζεις αυτά τα θέματα. Δεν το έκρυψα ποτέ ότι είναι από τα πλέον αγαπημένα μου!
Έγραψα το σχόλιό μου γιατί λύνοντας τα τριγωνομετρικά θέματα στο πρώτο κατέληξα σε μια τριτοβάθμια εξίσωση, και, στο δεύτερο έκανα περίπλοκους συλλογισμούς...
(Η γεωμετρία έχει μεν απλή λύση, αλλά είναι και γρίφος!!)
Αναρωτήθηκα, λοιπόν, μήπως π.χ. επιτρέπεται προγραμματισμός ή κάτι τέτοιο.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005
Είναι φανερό ότι καιAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Δευ Αύγ 06, 2018 12:28 amΕισαγωγικές εξετάσεις τμήματος Υπολογιστικών Μαθηματικών & Κυβερνητικής, 2005.
2. Να λύσετε την εξίσωση
.
Υψώνοντας στο τετράγωνο και θέτοντας
καταλήγουμε στην
Μια λύση είναι η .
Κάνοντας την διαίρεση βλέπουμε ότι αυτή είναι η μόνη πραγματική ρίζα.
Αρα
Βρίσκουμε ότι
Για να πληρούνται οι περιορισμοί πρέπει
Αρα το πρέπει να βρίσκεται στο τρίτο τεταρτημόριο.
Αν λοιπόν
με
οι λύσεις είναι
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005
Το δεύτερο θέμα είναι ύπουλο κατά μια έννοια γιατί, όντως ανάλογα με το ποιά αντικατάσταση θα γίνει η αντίστοιχη εξίσωση τρίτου βαθμού μπορεί να δυσκολέψει στην επίλυση.rek2 έγραψε: ↑Πέμ Σεπ 20, 2018 9:43 pmΈγραψα το σχόλιό μου γιατί λύνοντας τα τριγωνομετρικά θέματα στο πρώτο κατέληξα σε μια τριτοβάθμια εξίσωση, και, στο δεύτερο έκανα περίπλοκους συλλογισμούς...
(Η γεωμετρία έχει μεν απλή λύση, αλλά είναι και γρίφος!!)
Αναρωτήθηκα, λοιπόν, μήπως π.χ. επιτρέπεται προγραμματισμός ή κάτι τέτοιο.
Αν μετά την παρατήρηση ότι γράψουμε την εξίσωση ισοδύναμα
και αντί να εκφράσουμε το συναρτήσει του κάνουμε το αντίστροφο, προκύτει η εξίσωση
Στην τελευταία ως είθιστε εξετάζουμε πρώτα αν έχει ακέραιες λύσεις (διαιρέτες του 14) και εύκολα βρίσκουμε ότι το 2 είναι ρίζα κτλ.
Re: Θέματα εισαγωγικών στα μαθηματικά Μόσχα 2005
Για το 5, καμμιά ιδέα;;
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες