Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2018
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2018
Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2018.
Μια προσπάθεια που έκανα να μεταφράσω τα τελευταία δυο προβλήματα των φετινών κορεατικών εισαγωγικών εξετάσεων στα μαθηματικά. Ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη.
29. Έστω ο κύκλος που προκύπτει από την τομή της σφαίρας με το επίπεδο , στο καρτεσιανό χώρο. σημείο του για το οποίο ελαχιστοποιείται η συντεταγμένη και η ορθή προβολή του στο επίπεδο. Για τυχόν σημείο που κινείται στο κύκλο το μέγιστο της παράστασης είναι . Να βρείτε την τιμή της παράστασης (Όπου ρητοί αριθμοί).
30. Για τυχόν πραγματικό αριθμό ας είναι
και για κάποιο περιττό είναι
ώστε να ικανοποιούνται τα εξής: Έστω ( φυσικός) το σύνολο των αριθμών (κατά αύξουσα σειρά), για τους οποίους η στο σημείο έχει ελάχιστο (τοπικό;) με . Ισχύει .
Να υπολογίσετε την παράσταση .
Πηγή.
Μια προσπάθεια που έκανα να μεταφράσω τα τελευταία δυο προβλήματα των φετινών κορεατικών εισαγωγικών εξετάσεων στα μαθηματικά. Ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη.
29. Έστω ο κύκλος που προκύπτει από την τομή της σφαίρας με το επίπεδο , στο καρτεσιανό χώρο. σημείο του για το οποίο ελαχιστοποιείται η συντεταγμένη και η ορθή προβολή του στο επίπεδο. Για τυχόν σημείο που κινείται στο κύκλο το μέγιστο της παράστασης είναι . Να βρείτε την τιμή της παράστασης (Όπου ρητοί αριθμοί).
30. Για τυχόν πραγματικό αριθμό ας είναι
και για κάποιο περιττό είναι
ώστε να ικανοποιούνται τα εξής: Έστω ( φυσικός) το σύνολο των αριθμών (κατά αύξουσα σειρά), για τους οποίους η στο σημείο έχει ελάχιστο (τοπικό;) με . Ισχύει .
Να υπολογίσετε την παράσταση .
Πηγή.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2018
Για την 30 ίσως κάτι να έχει ξεφύγει στην μετάφραση. Για το 29 η απάντηση παίζει να είναι ;
Έχω ακούσει πολλά ενδιαφέροντα για τις εξετάσεις στην Κορέα. Επειδή π.χ. η επιτυχία σε αυτές οδηγούσε στην ... DAEWOO (δεν γνωρίζω αν αυτό γίνεται και σήμερα) ο ανταγωνισμός ήταν τεράστιος και η προετοιμασία γινόταν σε εξαντλητικούς ρυθμούς. Τα φροντιστήρια δούλευαν απίστευτες ώρες και οι πετυχημένοι φροντιστές ήταν κάτι σαν σταρς!!
Έχω ακούσει πολλά ενδιαφέροντα για τις εξετάσεις στην Κορέα. Επειδή π.χ. η επιτυχία σε αυτές οδηγούσε στην ... DAEWOO (δεν γνωρίζω αν αυτό γίνεται και σήμερα) ο ανταγωνισμός ήταν τεράστιος και η προετοιμασία γινόταν σε εξαντλητικούς ρυθμούς. Τα φροντιστήρια δούλευαν απίστευτες ώρες και οι πετυχημένοι φροντιστές ήταν κάτι σαν σταρς!!
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2018
Σε κάποιο άλλο θέμα είχε αναφέρει και ο κύριος Λάμπρου τι γίνεται. Για την daewoo δεν γνωρίζω, αλλά τα υπόλοιπα ισχύουν σε υπερθετικό βαθμό!! Μάλιστα είχα διαβάσει σε άρθρο ότι υπάρχουν επιτροπές ελέγχου για τα φροντιστήρια καθώς και συγκεκριμένες ώρες λειτουργίας, καθως τα πράγματα είχαν ξεφύγει τελείως κάποια στιγμή!!
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2018
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Δεκ 14, 2018 11:54 pmΚορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2018.
29. Έστω ο κύκλος που προκύπτει από την τομή της σφαίρας με το επίπεδο , στο καρτεσιανό χώρο. σημείο του για το οποίο ελαχιστοποιείται η συντεταγμένη και η ορθή προβολή του στο επίπεδο. Για τυχόν σημείο που κινείται στο κύκλο το μέγιστο της παράστασης είναι . Να βρείτε την τιμή της παράστασης (Όπου ρητοί αριθμοί).
Μια προσπάθεια για το 29. Παρατηρούμε ότι το δεδομένο επίπεδο τομής είναι παράλληλο προς τον άξονα των και λόγο της συμμετρίας της σφαίρας ο κύκλος που προκύπτει από την τομή θα είναι συμμετρικός ως προς το επίπεδο , δηλαδή το επίπεδο . Άρα το κέντρο του, έστω θα έχει μηδενική συντεταγμένη. Αν το σημείο τομής του επιπέδου τομής με τον άξονα των , τότε θα έχει συντεταγμένες .
Έιναι όμως
Όπου . Αντικαθιστώντας το με το παραπάνω εσωτερικό γινόμενο γίνεται
ή . Η λύση απορρίπτεται γιατί σε αυτή την περίπτωση το
θα ήταν παράλληλο στο επίπεδο .
Αρα το κέντρο του κύκλου έχει συντεταγμένες . Λόγω της παραπάνω συμμετρίας του κύκλου το σημείο με την ελάχιστη συντεταγμένη θα βρίσκεται στο σημείο τομής της ευθείας παράλληλης προς τον άξονα των που διέρχεται από το . Έφοσον αυτό το σημείο είναι και σημείο της σφαίρας θα ικανοποιεί την εξίσωσή της
Επομένως τα σημεία έχουν συντεταγμένες και αντίστοιχα.
Η προς μεγιστοποίηση έκφραση μπορεί να γραφεί . Όπου το μέσο του τμήματος .
Έστω η προβολή του σημείου στο επίπεδο , τότε θα έχουμε
Αρκεί λοιπόν να υπολογίσουμε τις παραπάνω αποστάσεις. Έχουμε από απόσταση σημείου από επίπεδο
(η ακτίνα του κύκλου ).
Άρα
Οπότε
και εν τέλη
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2018
Καλημέρα κ.Κώστα! Υπάρχει κάποιος συγκεκριμένος ενδοιασμός σε αυτό το θέμα; Το πρόβλημα πρέπει να μιλάει για τοπικά ελάχιστα, έτσι όπως το καταλαβαίνω από τις γραφικές παραστάσεις που προκύπτουν.
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2018
H g είναι σταθερή.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Δευ Δεκ 17, 2018 10:26 amΚαλημέρα κ.Κώστα! Υπάρχει κάποιος συγκεκριμένος ενδοιασμός σε αυτό το θέμα; Το πρόβλημα πρέπει να μιλάει για τοπικά ελάχιστα, έτσι όπως το καταλαβαίνω από τις γραφικές παραστάσεις που προκύπτουν.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2018
Το ολοκλήρωμα είναι σταθερό ως προς το , αλλά ως προς το μεταβάλλεται, αφού η είναι παραμετρική με παράμετρο το .rek2 έγραψε: ↑Δευ Δεκ 17, 2018 12:08 pmH g είναι σταθερή.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Δευ Δεκ 17, 2018 10:26 amΚαλημέρα κ.Κώστα! Υπάρχει κάποιος συγκεκριμένος ενδοιασμός σε αυτό το θέμα; Το πρόβλημα πρέπει να μιλάει για τοπικά ελάχιστα, έτσι όπως το καταλαβαίνω από τις γραφικές παραστάσεις που προκύπτουν.
Για παράδειγμα άλλη τιμή έχει η για πολύ μικρότερο ή μεγαλύτερο των οριών και , και άλλη π.χ. αν .
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2018
Ας δούμε μία ακόμη διαπραγμάτευση! ΕίναιAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Δεκ 14, 2018 11:54 pmΚορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2018.
29. Έστω ο κύκλος που προκύπτει από την τομή της σφαίρας με το επίπεδο , στο καρτεσιανό χώρο. σημείο του για το οποίο ελαχιστοποιείται η συντεταγμένη και η ορθή προβολή του στο επίπεδο. Για τυχόν σημείο που κινείται στο κύκλο το μέγιστο της παράστασης είναι . Να βρείτε την τιμή της παράστασης (Όπου ρητοί αριθμοί).
Πηγή.
Λύνουμε την δεύτερη ως προς , αντικαθιστούμε στην πρώτη και έχουμε
Αυτό δείχνει ότι η μικρότερη δυνατή τιμή του είναι , , που πιάνεται για .
Άρα έχουμε ελάχιστο και , οπότε
Αν , τότε:
, οπότε:
Επομένως ζητάμε το μέγιστο του . Λύνουμε την (2) ως προς , αντικαθιστούμε στην (1) και παίρνουμε
Αν είναι το μέγιστο του , ζητάμε η ευθεία να εφάπτεται στη κωνική .
Κατά τα γνωστά λύνουμε την ως προς αντικαθιστούμε στη κωνική και παίρνουμε:
με διακρίνουσα
Αυτή είναι μηδέν όταν , έτσι . (Η τιμή αυτή "πιάνεται")
(αυτό είχα κατά νου όταν ρώτησα αν α=-1,β=2/5 )
Έτσι το μέγιστο είναι κ.λπ.
Με τις ευχαριστίες μου στον Αλέξανδρο για τις μεταφράσεις του! Αλέξανδρε να είσαι πάντα καλά!
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες