Χριστός Ανέστη! Χρόνια Πολλά!
Παρακάτω και η δική μου προσπάθεια για το θέμα 7, δεν είχα την ευκαιρία να την αναρτήσω νωρίτερα.
έγραψε: ↑Κυρ Απρ 21, 2019 4:09 pm
7. Δυο ίσοι κύβοι

και

, που έχουν κοινή κορυφή, είναι τοποθετημένοι έτσι, ώστε ακμή του κύβου

να βρίσκεται στη διαγώνιο του κύβου

και ακμή του κύβου

να βρίσκεται στη διαγώνιο του κύβου

. Να βρείτε τον όγκο του κοινού μέρους αυτών των κύβων, αν το μήκος της ακμής τους είναι

.

- problem7.png (180.24 KiB) Προβλήθηκε 1309 φορές
Έστω

ο πρώτος κύβος και

η ακμή του δεύτερου κύβου που βρίσκεται στη διαγώνιο

.

η ακμή του πρώτου κύβου που βρίσκεται στη διαγώνιο

του δεύτερου. Ας είναι

τα σημεία τομής του κάθετου επιπέδου (που περιέχει έδρα του δεύτερου κύβου) προς την διαγώνιο

στο σημείο

με τις ακμές

αντίστοιχα. Θα θεωρήσουμε εδώ γνωστό το αποτέλεσμα, ότι

. Μπορεί να το φανταστεί κανείς θεωρώντας το επίπεδο

που είναι κάθετο στη διαγώνιο

και κάνει παράλληλη μεταφορά του με άξονα την διαγώνιο

.
Τα ορθογώνια τρίγωνα

και

είναι ίσα,

και

κοινή πλευρά. Ομοίως και τα ορθογώνια τρίγωνα

και

. Οπότε ίσα θα είναι και τα ορθογώνια τρίγωνα

και

. Τα οποία μάλιστα είναι και ισοσκελή. Αν

το μέσο του

, τότε το επίπεδο

είναι κάθετο στο

. Ομοίως το επίπεδο

είναι κάθετο στο επίπεδο

. Αρα τα σημεία

είναι συνεπίπεδα. Δηλαδή τα σημεία

είναι συμμετρικά ως προς το επίπεδο

.
Το κοινό μέρος των δυο κύβων είναι το εξάεδρο

, που αποτελείται από δυο ίσες τριγωνικές πυραμίδες

και

. Όμως

κάθετη στο επίπεδο

. Επομένως ο ζητούμενος όγκος

είναι

(1)
Είναι

, όπου

. Οπότε ο ζητούμενος όγκος γράφεται

(2)
για το

έχουμε
Εν τέλη ο όγκος γίνεται
