1. Να βρείτε όλες τις πραγματικές ρίζες του συστήματος των εξισώσεων

2. Να λύσετε την εξίσωση

3. Να λύσετε την ανίσωση

4. Στο παραλληλόγραμμο


















5. Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν την εξίσωση

6. Στην πυραμίδα

















Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pmΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
2.[/b] Να λύσετε την εξίσωση
.
Πανεύκολο μου φαίνεται.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pmΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
5. Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν την εξίσωση
.
Αυτό το σύστημα, μπορεί να "τρελάνει" όποιον δεν δει την παραγοντοποίηση στην δεύτερη εξίσωση.!Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pmΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
1. Να βρείτε όλες τις πραγματικές ρίζες του συστήματος των εξισώσεων
Χάριν παιδειάς, λίγο αλλιώς από το παραπάνω σημείο της λύσης του Σταύρου.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Πέμ Μάιος 09, 2019 6:59 pmΠανεύκολο μου φαίνεται.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pmΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
5. Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν την εξίσωση
.
Λύνουμε ως προς![]()
Είναι
Αφού φτιάξουμε το κλάσμα έχουμε
![]()
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pmΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
1. Να βρείτε όλες τις πραγματικές ρίζες του συστήματος των εξισώσεων
Μια προσπάθεια με αρκετές πράξεις! Ας ανεβάσει την λύση όποιος άλλος έχει βρεί κάτι διαφορετικό...
Πρέπει και αρκεί, άρα άμεσα προκύπτει ότι και
. Επομένως δουλεύοντας τη σχέση (2):
Από όπου :
ή
ή
,το οποίο είναι άτοπο(αν λυθεί στη συνέχεια καταλήγει σε αδύνατη εξίσωση). Άρα :
Γιαστην (1):
, από όπου
(απορρίπτεται) ή
(αδύνατο)
Γιάστην (1):
Από όπου προκύπτει ότι:(απορρίπτεται) ή
, άρα και
Επομένως μοναδική λύση του συστήματος είναι η.
Φιλικά,
Πάνος
Panos35 έγραψε: ↑Παρ Μάιος 10, 2019 11:12 pmΝομίζω ότι υπάρχει και ακόμα μια λύση.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pmΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
1. Να βρείτε όλες τις πραγματικές ρίζες του συστήματος των εξισώσεων
Μια προσπάθεια με αρκετές πράξεις! Ας ανεβάσει την λύση όποιος άλλος έχει βρεί κάτι διαφορετικό...
Πρέπει και αρκεί, άρα άμεσα προκύπτει ότι και
. Επομένως δουλεύοντας τη σχέση (2):
Από όπου :
ή
ή
,το οποίο είναι άτοπο(αν λυθεί στη συνέχεια καταλήγει σε αδύνατη εξίσωση). Άρα :
Γιαστην (1):
, από όπου
(απορρίπτεται) ή
(αδύνατο)
Γιάστην (1):
Από όπου προκύπτει ότι:(απορρίπτεται) ή
, άρα και
Επομένως μοναδική λύση του συστήματος είναι η.
Φιλικά,
Πάνος
Η![]()
Είμαστε σίγουροι ότι τα νούμερα είναι σωστά; Βρίσκω με λογισμικόAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pmΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
4. Στο παραλληλόγραμμοοι ευθείες
και
είναι διχοτόμοι των γωνιών
και
αντίστοιχα, οι ευθείες
και
διχοτόμοι των γωνιών
και
αντίστοιχα. Η απόσταση μεταξύ των ευθειών
και
είναι κατά
μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των ευθειών
και
. Να βρείτε την γωνία
και την ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο
, αν
,
.
Τα νούμερα είναι σωστά στη μετάφραση μου ξέφυγε το φορές. Το σωστό είναι: "Η απόσταση μεταξύ των ευθειώνgeorge visvikis έγραψε: ↑Σάβ Μάιος 11, 2019 11:59 amΕίμαστε σίγουροι ότι τα νούμερα είναι σωστά; Βρίσκω με λογισμικόAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pmΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
4. Στο παραλληλόγραμμοοι ευθείες
και
είναι διχοτόμοι των γωνιών
και
αντίστοιχα, οι ευθείες
και
διχοτόμοι των γωνιών
και
αντίστοιχα. Η απόσταση μεταξύ των ευθειών
και
είναι κατά
μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των ευθειών
και
. Να βρείτε την γωνία
και την ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο
, αν
,
.
![]()
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Μάιος 11, 2019 12:52 pmΤα νούμερα είναι σωστά στη μετάφραση μου ξέφυγε το φορές. Το σωστό είναι: "Η απόσταση μεταξύ των ευθειώνgeorge visvikis έγραψε: ↑Σάβ Μάιος 11, 2019 11:59 amΕίμαστε σίγουροι ότι τα νούμερα είναι σωστά; Βρίσκω με λογισμικόAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pmΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
4. Στο παραλληλόγραμμοοι ευθείες
και
είναι διχοτόμοι των γωνιών
και
αντίστοιχα, οι ευθείες
και
διχοτόμοι των γωνιών
και
αντίστοιχα. Η απόσταση μεταξύ των ευθειών
και
είναι κατά
μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των ευθειών
και
. Να βρείτε την γωνία
και την ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο
, αν
,
.
![]()
και
είναι κατά
φορές μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των ευθειών
και
.". και το είχα στο μυαλό μου φορές και το έγραψα απλά μικρότερη
. Το διορθώνω και στην αρχική ανάρτηση...
Ευχαριστώ για την παρατήρηση! Πρέπει να λύσατε πιό δύσκολο πρόβλημα από το αρχικό.
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pmΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
4. Στο παραλληλόγραμμοοι ευθείες
και
είναι διχοτόμοι των γωνιών
και
αντίστοιχα, οι ευθείες
και
διχοτόμοι των γωνιών
και
αντίστοιχα. Η απόσταση μεταξύ των ευθειών
και
είναι κατά
φορές μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των ευθειών
και
. Να βρείτε την γωνία
και την ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο
, αν
,
.
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pmΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
..........................................................................
6. Στην πυραμίδατο μήκος του τμήματος
ισούται με
, το σημείο
είναι το μέσο του τμήματος
,
το σημείο τομής των διαμέσων της έδρας
και
. Σφαίρα ακτίνας
εφάπτεται των επιπέδων
και
στα σημεία
και
αντίστοιχα. Να βρείτε την δίεδρη γωνία μεταξύ των εδρών
και
, το εμβαδόν της έδρας
και τον όγκο της πυραμίδας
.
Κώστα καλημέρα,
Κώστα καλημέρα και ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια.KDORTSI έγραψε: ↑Τρί Μάιος 14, 2019 5:28 pmAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pmΕισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
..........................................................................
6. Στην πυραμίδατο μήκος του τμήματος
ισούται με
, το σημείο
είναι το μέσο του τμήματος
,
το σημείο τομής των διαμέσων της έδρας
και
. Σφαίρα ακτίνας
εφάπτεται των επιπέδων
και
στα σημεία
και
αντίστοιχα. Να βρείτε την δίεδρη γωνία μεταξύ των εδρών
και
, το εμβαδόν της έδρας
και τον όγκο της πυραμίδας
.
Κώστα καλημέρα,
υλοποιώ αυτά ακριβώς που επισημαίνεις σε σχήματα με τα πραγματικά δεδομένα.
Εργαζόμαστε κατ' αρχήν στο πρώτο σχήμα:
...............................................................................................
Σημείωση:
Σε επόμενη ανάρτηση θα αναφέρω πώς κατασκευάζεται μια τέτοια πυραμίδα που έχει πολλές μορφές, όπως αυτές που
φαίνονται στα ανωτέρω σχήματα, όπου η κορυφήκινείται πάνω σε μια ευθεία παράλληλη προς την ακμή
και με όρια μεταβολής τα σημεία.
Κώστας Δόρτσιος
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης