Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

Al.Koutsouridis · #1

Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.

1. Να βρείτε όλες τις πραγματικές ρίζες του συστήματος των εξισώσεων

$\displaystyle \left\{\begin{matrix} x^5+4x^4+5y^2 = 0 \\ x^3-\dfrac{y^3}{x^2}= xy-y^2 . \end{matrix}\right.$

2. Να λύσετε την εξίσωση

$\displaystyle \sin 3x + \cos 2x = \cos 4x - 3 \left | \sin x \right |$ .

3. Να λύσετε την ανίσωση

$\displaystyle \dfrac{ \log_{x^2} 9}{\sqrt{\dfrac{1}{2}+\log_{x^2} \left ( x+1\right )} - \sqrt{\dfrac{3}{2}} } \geq \dfrac{\sqrt{2}}{\log_{3} \left ( x+1 \right )-\log_{9} x^4 }$ .

4. Στο παραλληλόγραμμο ABCD

οι ευθείες $l_{1}$ και $l_{2}$ είναι διχοτόμοι των γωνιών

και

αντίστοιχα, οι ευθείες $m_{1}$ και m_2}

διχοτόμοι των γωνιών

και

αντίστοιχα. Η απόσταση μεταξύ των ευθειών $l_{1}$ και l_2}

είναι κατά $\sqrt{3}$ φορές μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των ευθειών $m_{1}$ και $m_{2}$ . Να βρείτε την γωνία BAD

και την ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο ABD

, αν $AC = \sqrt{\dfrac{22}{3}}$ , BD=2

.

5. Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν την εξίσωση

$\displaystyle 3xy+16x+13y+61=0$ .

6. Στην πυραμίδα ABCD

το μήκος του τμήματος

ισούται με $\dfrac{5}{2}$ , το σημείο

είναι το μέσο του τμήματος

,

το σημείο τομής των διαμέσων της έδρας BCD

και

. Σφαίρα ακτίνας

εφάπτεται των επιπέδων ABD

και

στα σημεία

και

αντίστοιχα. Να βρείτε την δίεδρη γωνία μεταξύ των εδρών ABD

και

, το εμβαδόν της έδρας BCD

και τον όγκο της πυραμίδας ABCD

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pm
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.

2.[/b] Να λύσετε την εξίσωση

$\displaystyle \sin 3x + \cos 2x = \cos 4x - 3 \left | \sin x \right |$ .

Ενας τρόπος είναι να θέσουμε $t=\sin x$
και εκφράζοντας την παράσταση ως προς αυτό να λύσουμε τις πολυωνυμικές εξισώσεις.
(εκανα τις πράξεις και βγαίνει)
Μετά σκέφτηκα Ρώσσοι είναι αυτοί.
Θα υπάρχει και πιο έξυπνος τρόπος.

Η εξίσωση γράφεται

$\sin 3x+3|\sin x|=-2\sin 3x \sin x$

Αν $\sin x=0$ τότε $x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
που πράγματι είναι λύσεις.

Διαφορετικά την γράφουμε

$\frac{\sin 3x}{\sin x}+3\frac{|\sin x|}{\sin x}=-2\sin 3x$

η $3-4(\sin x)^{2}+3\frac{|\sin x|}{\sin x}=-2\sin 3x$

αν $\sin x >0$ τότε από ανισοτικές σχέσεις παίρνουμε $\sin x=1$

και έχουμε τις λύσεις $x=2k\pi +\frac{\pi }{2}$

που πράγματι είναι λύσεις.

Αν $\sin x <0$ τότε βλέπουμε ότι είναι αδύνατη.

(καταλήγουμε στην $4(\sin x)^{2}+2\sin x-3=0$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pm
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.

5. Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν την εξίσωση

$\displaystyle 3xy+16x+13y+61=0$ .

Πανεύκολο μου φαίνεται.

Λύνουμε ως προς

Είναι $y=-\dfrac{61 +16x}{3x+13}$

Αφού φτιάξουμε το κλάσμα έχουμε

$y=-5-\dfrac{x-4}{3x+13}$

Αμεσα προκύπτει η λύση x=4,y=-5

Διαφορετικά επειδή $\dfrac{x-4}{3x+13}$ πρέπει να είναι ακέραιος θα έχουμε

$(x-4)^{2}\geq (3x+13)^{2}$

Από το τριώνυμο που προκύπτει παίρνουμε ότι

-8,5<x<-2,25

Δηλαδή οι τιμές που μπορεί να πάρει το

είναι

Δοκιμάζοντας βρίσκουμε και τις λύσεις

x=-4,y=3

,

#4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pm
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.

1. Να βρείτε όλες τις πραγματικές ρίζες του συστήματος των εξισώσεων

$\displaystyle \left\{\begin{matrix} x^5+4x^4+5y^2 = 0 \\ x^3-\dfrac{y^3}{x^2}= xy-y^2 . \end{matrix}\right.$

Αυτό το σύστημα, μπορεί να "τρελάνει" όποιον δεν δει την παραγοντοποίηση στην δεύτερη εξίσωση.!

#5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 09, 2019 6:59 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pm
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.

5. Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν την εξίσωση

$\displaystyle 3xy+16x+13y+61=0$ .

Πανεύκολο μου φαίνεται.

Λύνουμε ως προς

Είναι $y=-\dfrac{61 +16x}{3x+13}$

Αφού φτιάξουμε το κλάσμα έχουμε

$y=-5-\dfrac{x-4}{3x+13}$

Χάριν παιδειάς, λίγο αλλιώς από το παραπάνω σημείο της λύσης του Σταύρου.

Είναι τότε

$3y=-15-\dfrac{3x-12}{3x+13} = -15-1+\dfrac{25}{3x+13}$

άρα $3x+13= \pm 1, \pm 5, \pm 25$

Δοκιμάζοντας βρίσκουμε και τις λύσεις x=4, -4, -6

από όπου τα ζεύγη (4,-5), (-4,3) , (-6,-7)

.

Panos35 · #6

Μετά από διόρθωση του κυρίου Σταύρου, η υπόλοιπη λύση διατίθεται παρακάτω.

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pm
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.

1. Να βρείτε όλες τις πραγματικές ρίζες του συστήματος των εξισώσεων

$\displaystyle \left\{\begin{matrix} x^5+4x^4+5y^2 = 0 \\ x^3-\dfrac{y^3}{x^2}= xy-y^2 . \end{matrix}\right.$

Μια προσπάθεια με αρκετές πράξεις! Ας ανεβάσει την λύση όποιος άλλος έχει βρεί κάτι διαφορετικό...

$\displaystyle \left\{\begin{matrix} x^5+4x^4+5y^2 = 0 (1) \\ x^3-\dfrac{y^3}{x^2}= xy-y^2 . (2) \end{matrix}\right.$

Πρέπει και αρκεί $x\neq 0$ , άρα άμεσα προκύπτει ότι και $y\neq 0$ . Επομένως δουλεύοντας τη σχέση (2):

$x^{3}-\frac{y^{3}}{x^{2}}+y^{2}-xy=0\Leftrightarrow x^{5}-y^{3}+x^{2}y^{2}-x^{3}y=0\Leftrightarrow x^{5}-x^{3}y+x^{2}y^{2}-y^{3}=0\Leftrightarrow x^{3}(x^{2}-y)+y^{2}(x^{2}-y)=0\Leftrightarrow (x^{2}-y)(x^{3}+y^{2})=0$

Από όπου :
$x=\sqrt{y}$ ή $x=-\sqrt{y}$ ή $y^{2}=x^{3}$ ,το οποίο είναι άτοπο(αν λυθεί στη συνέχεια καταλήγει σε αδύνατη εξίσωση). Άρα :

Για $x=\sqrt{y}$ στην (1):
$(\sqrt{y})^{5}+4(\sqrt{y})^{4}+5y^{2}=0\Leftrightarrow y^{\frac{5}{2}}+9y^{2}=0\Leftrightarrow y^{2}(\sqrt{y}+9)=0$ , από όπου (απορρίπτεται) ή $\sqrt{y}=-9$ (αδύνατο)

Γιά $x=-\sqrt{y}$ στην (1):
$(-\sqrt{y}^{5})+4(-\sqrt{y}^{4})+5y^{2}=0\Leftrightarrow y^{2}(9-\sqrt{y})=0$
Από όπου προκύπτει ότι: (απορρίπτεται) ή $\sqrt{y}=9\Leftrightarrow y=81$
, άρα και

Επομένως μοναδική λύση του συστήματος είναι η .

Φιλικά,
Πάνος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Panos35 έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 10, 2019 11:12 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pm
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.

1. Να βρείτε όλες τις πραγματικές ρίζες του συστήματος των εξισώσεων

$\displaystyle \left\{\begin{matrix} x^5+4x^4+5y^2 = 0 \\ x^3-\dfrac{y^3}{x^2}= xy-y^2 . \end{matrix}\right.$

Μια προσπάθεια με αρκετές πράξεις! Ας ανεβάσει την λύση όποιος άλλος έχει βρεί κάτι διαφορετικό...

$\displaystyle \left\{\begin{matrix} x^5+4x^4+5y^2 = 0 (1) \\ x^3-\dfrac{y^3}{x^2}= xy-y^2 . (2) \end{matrix}\right.$

Πρέπει και αρκεί $x\neq 0$ , άρα άμεσα προκύπτει ότι και $y\neq 0$ . Επομένως δουλεύοντας τη σχέση (2):

$x^{3}-\frac{y^{3}}{x^{2}}+y^{2}-xy=0\Leftrightarrow x^{5}-y^{3}+x^{2}y^{2}-x^{3}y=0\Leftrightarrow x^{5}-x^{3}y+x^{2}y^{2}-y^{3}=0\Leftrightarrow x^{3}(x^{2}-y)+y^{2}(x^{2}-y)=0\Leftrightarrow (x^{2}-y)(x^{3}+y^{2})=0$

Από όπου :
$x=\sqrt{y}$ ή $x=-\sqrt{y}$ ή $y^{2}=x^{3}$ ,το οποίο είναι άτοπο(αν λυθεί στη συνέχεια καταλήγει σε αδύνατη εξίσωση). Άρα :

Για $x=\sqrt{y}$ στην (1):
$(\sqrt{y})^{5}+4(\sqrt{y})^{4}+5y^{2}=0\Leftrightarrow y^{\frac{5}{2}}+9y^{2}=0\Leftrightarrow y^{2}(\sqrt{y}+9)=0$ , από όπου (απορρίπτεται) ή $\sqrt{y}=-9$ (αδύνατο)

Γιά $x=-\sqrt{y}$ στην (1):
$(-\sqrt{y}^{5})+4(-\sqrt{y}^{4})+5y^{2}=0\Leftrightarrow y^{2}(9-\sqrt{y})=0$
Από όπου προκύπτει ότι: (απορρίπτεται) ή $\sqrt{y}=9\Leftrightarrow y=81$
, άρα και

Επομένως μοναδική λύση του συστήματος είναι η .

Φιλικά,
Πάνος
Νομίζω ότι υπάρχει και ακόμα μια λύση.
Η
$y=5\sqrt{5}$

Panos35 · #8

Πράγματι η συγκεκριμένη επαληθεύει το σύστημα και επαληθεύει και την σχέση $x^{3}=-y^{2}$ , την οποία λανθασμένα απέρριψα(λόγω πράξεων) διότι:
Για $y^{2}=-x^{3}$ στην (1) προκύπτει ότι:

$x^{5}+4x^{4}-5x^{3}=0\Leftrightarrow x^{2}+4x -5=0$ , όπου δίνει $x=-5\Rightarrow y=\pm 5\sqrt{5}$

ή $x=1 \Rightarrow y^{2}=-1$
(αδύνατο στους πραγματικούς)

Άρα πολύ σωστά λυσέις του συστήματος είναι οι $(x,y)=(-9,81),(-5,5\sqrt{5}),(-5,-5\sqrt{5})$

Κύριε Σταύρο ευχαριστώ πολύ για την επισήμανση!

#9

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pm
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.

4. Στο παραλληλόγραμμο οι ευθείες $l_{1}$ και $l_{2}$ είναι διχοτόμοι των γωνιών και αντίστοιχα, οι ευθείες $m_{1}$ και διχοτόμοι των γωνιών και αντίστοιχα. Η απόσταση μεταξύ των ευθειών $l_{1}$ και είναι κατά $\sqrt{3}$ μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των ευθειών $m_{1}$ και $m_{2}$ . Να βρείτε την γωνία και την ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο , αν $AC = \sqrt{\dfrac{22}{3}}$ , .

Είμαστε σίγουροι ότι τα νούμερα είναι σωστά; Βρίσκω με λογισμικό $B\widehat AD\simeq 13.935...$

Al.Koutsouridis · #10

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 11, 2019 11:59 am

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pm
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.

4. Στο παραλληλόγραμμο οι ευθείες $l_{1}$ και $l_{2}$ είναι διχοτόμοι των γωνιών και αντίστοιχα, οι ευθείες $m_{1}$ και διχοτόμοι των γωνιών και αντίστοιχα. Η απόσταση μεταξύ των ευθειών $l_{1}$ και είναι κατά $\sqrt{3}$ μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των ευθειών $m_{1}$ και $m_{2}$ . Να βρείτε την γωνία και την ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο , αν $AC = \sqrt{\dfrac{22}{3}}$ , .
Είμαστε σίγουροι ότι τα νούμερα είναι σωστά; Βρίσκω με λογισμικό $B\widehat AD\simeq 13.935...$

Τα νούμερα είναι σωστά στη μετάφραση μου ξέφυγε το φορές. Το σωστό είναι: "Η απόσταση μεταξύ των ευθειών $l_{1}$ και l_2}

είναι κατά $\sqrt{3}$ φορές μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των ευθειών $m_{1}$ και $m_{2}$ .". και το είχα στο μυαλό μου φορές και το έγραψα απλά μικρότερη

. Το διορθώνω και στην αρχική ανάρτηση...

Ευχαριστώ για την παρατήρηση! Πρέπει να λύσατε πιό δύσκολο πρόβλημα από το αρχικό.

#11

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 11, 2019 12:52 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 11, 2019 11:59 am

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pm
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.

4. Στο παραλληλόγραμμο οι ευθείες $l_{1}$ και $l_{2}$ είναι διχοτόμοι των γωνιών και αντίστοιχα, οι ευθείες $m_{1}$ και διχοτόμοι των γωνιών και αντίστοιχα. Η απόσταση μεταξύ των ευθειών $l_{1}$ και είναι κατά $\sqrt{3}$ μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των ευθειών $m_{1}$ και $m_{2}$ . Να βρείτε την γωνία και την ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο , αν $AC = \sqrt{\dfrac{22}{3}}$ , .
Είμαστε σίγουροι ότι τα νούμερα είναι σωστά; Βρίσκω με λογισμικό $B\widehat AD\simeq 13.935...$
Τα νούμερα είναι σωστά στη μετάφραση μου ξέφυγε το φορές. Το σωστό είναι: "Η απόσταση μεταξύ των ευθειών $l_{1}$ και είναι κατά $\sqrt{3}$ φορές μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των ευθειών $m_{1}$ και $m_{2}$ .". και το είχα στο μυαλό μου φορές και το έγραψα απλά μικρότερη . Το διορθώνω και στην αρχική ανάρτηση...

Ευχαριστώ για την παρατήρηση! Πρέπει να λύσατε πιό δύσκολο πρόβλημα από το αρχικό.

Ναι, τώρα είναι πολύ ευκολότερο. Ευχαριστώ! (Θα επανέλθω με τη λύση αν στο μεταξύ δεν απαντηθεί).

#12

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pm
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.

4. Στο παραλληλόγραμμο οι ευθείες $l_{1}$ και $l_{2}$ είναι διχοτόμοι των γωνιών και αντίστοιχα, οι ευθείες $m_{1}$ και διχοτόμοι των γωνιών και αντίστοιχα. Η απόσταση μεταξύ των ευθειών $l_{1}$ και είναι κατά $\sqrt{3}$ φορές μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των ευθειών $m_{1}$ και $m_{2}$ . Να βρείτε την γωνία και την ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο , αν $AC = \sqrt{\dfrac{22}{3}}$ , .

Έστω

η απόσταση των l_1, l_2

και $d\sqrt 3$ η απόστααη των m_1, m_2.

: MIPD 2004.png (20.09 KiB) Προβλήθηκε 1997 φορές

Είναι γνωστό ότι αν οι διχοτόμοι των γωνιών παραλληλογράμμου δεν συντρέχουν, τότε σχηματίζουν ορθογώνιο,

του οποίου οι διαγώνιοι είναι παράλληλες με τις πλευρές του παραλληλογράμμου και ίσες με την διαφορά τους.

$\displaystyle L\widehat NM = B\widehat AM = \frac{{\widehat A}}{2} \Rightarrow \tan \frac{A}{2} = \frac{d}{{d\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \frac{{\widehat A}}{2} = 30^\circ \Leftrightarrow$ $\boxed{B\widehat AD=60^\circ}$

Είναι, $\displaystyle {a^2} + {b^2} = \frac{{A{C^2} + B{D^2}}}{2} = \frac{{17}}{3}$ και με νόμο συνημιτόνων στο ABD,

βρίσκω $ab=\dfrac{5}{3},$ απ' όπου a+b=3.

Τα

είναι λοιπόν ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle {x^2} - 3x + \frac{5}{3} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{a = \frac{{9 + \sqrt {21} }}{6},b = \frac{{9 - \sqrt {21} }}{6}}$

$\displaystyle (ABD) = \frac{1}{2}ab\sin 60^\circ = sr \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow$ $\boxed{r=\frac{\sqrt 3}{6}}$

S.E.Louridas · #13

Ας δούμε για το

και τη διαπραγμάτευση που ακολουθεί:

Καταρχάς $x \ne 0.$ Θέτουμε y = tx

και το σύστημα γράφεται: ${x^3} + 4{x^2} + 5{t^2} = 0,\;\left( 1 \right)\ {\kappa \alpha \iota }}\;{x^2} - \left( {t - {t^2}} \right)x - {t^3} = 0\;\left( 2 \right).$
Από την (2)

προκύπτει $x = t\;{\text{\dot \eta }}\;x = - {t^2}\;\left( 3 \right).$
Με βάση τώρα τις $\left( 1 \right),\left( 3 \right)$ παίρνουμε $t = x = - 9,\;y = 81$ ή $t = - \sqrt 5 ,\;x = - 5,\;y = 5\sqrt 5$ , ή $t = \sqrt 5 ,\;x = - 5,\;y = - 5\sqrt 5 .$

#14

Το σχήμα για το 6.

Ο είναι το κέντρο της σφαίρας.

Το επίπεδο EOFK είναι κάθετο στα επίπεδα ABD, BDC.

Το ύψος, από το C , της βάσης είναι τριπλάσιο του KF.

Το ύψος, από το Α, της πυραμίδας είναι διπλάσιο του ΕΗ.

Οι υπολογισμοί είναι ... ρουτίνα

: IMG_20190511_184702.jpg (1.07 MiB) Προβλήθηκε 1950 φορές

S.E.Louridas · #15

Για το 5ο ας δούμε και την άποψη:

Για να πάρουμε γινόμενο ακεραίων ισο με σταθερό ακέραιο αριθμό, για να τον αναλύσουμε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, με εύκολες συμπληρώσεις έχουμε,

$\left( {3x + 13} \right)\left( {3y + 16} \right) = 1 \cdot 5 \cdot 5,\;$ από όπου παίρνουμε εύκολα ως λύσεις τις $(-4,3),\;(-6,-7),\;(4,-5).$

#16

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pm
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
..........................................................................
6. Στην πυραμίδα το μήκος του τμήματος ισούται με $\dfrac{5}{2}$ , το σημείο είναι το μέσο του τμήματος , το σημείο τομής των διαμέσων της έδρας και . Σφαίρα ακτίνας εφάπτεται των επιπέδων και στα σημεία και αντίστοιχα. Να βρείτε την δίεδρη γωνία μεταξύ των εδρών και , το εμβαδόν της έδρας και τον όγκο της πυραμίδας .

rek2 έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 11, 2019 7:03 pm
Το σχήμα για το 6.

Ο είναι το κέντρο της σφαίρας.

Το επίπεδο EOFK είναι κάθετο στα επίπεδα ABD, BDC.

Το ύψος, από το C , της βάσης είναι τριπλάσιο του KF.

Το ύψος, από το Α, της πυραμίδας είναι διπλάσιο του ΕΗ.

Οι υπολογισμοί είναι ... ρουτίνα

Κώστα καλημέρα,

υλοποιώ αυτά ακριβώς που επισημαίνεις σε σχήματα με τα πραγματικά δεδομένα.

Εργαζόμαστε κατ' αρχήν στο πρώτο σχήμα:

: Πυραμίδα 1.png (25.97 KiB) Προβλήθηκε 1751 φορές

Το κέντρο $\displaystyle{O}$ της σφαίρας που εφάπτεται στις έδρες $\displaystyle{(BCD),\ \ (ABD)}$ του τετραέδρου αυτού(τριγωνικής πυραμίδας)
με τα σημεία επαφής αντίστοιχα $\displaystyle{F}$ και $\displaystyle{E}$ δημιουργεί ένα ισοσκελές τρίγωνο με πλευρές $\displaystyle{ 8, 5, 5 }$ .
Το επίπεδο του τριγώνου αυτού ως κάθετο στις δυο ανωτέρω έδρες είναι κάθετο και στην τομή αυτών, δηλαδή
στην ακμή $\displaystyle{BD}$ κι έτσι δημιουργεί την αντίστοιχη επίπεδη $\displaystyle{\varphi}$ της δίεδρης γωνίας του τετραέδρου αυτού.

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο $\displaystyle{OESF}$ προκύπτει:

$\displaystyle{\varphi =180^o-\omega \ \ (1)}$

Από το τρίγωνο $\displaystyle{(OEF)}$ και από το θεώρημα των συνημιτόνων προκύπτει:

$\displaystyle{cos\omega =\frac{-14}{50} \ \ (2)}$

Άρα:

$\displaystyle{cos\varphi =\frac{14}{50} \Rightarrow \varphi=arccos(\frac{14}{50})=73.74^o \ \ (3)}$

Από το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{(OET)}$ προκύπτει από το πυθαγόρειο θεώρημα ότι $\displaystyle{(OT)=3}$
και από το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{(OES)}$ θα είναι:

$\displaystyle{(OE)^2=(OT)(OS) \Rightarrow ... \Rightarrow (OS)=\frac{25}{3} \ \ (4)}$

Άρα: $\displaystyle{ (ST)=\frac{16}{3} \ \ (5)}$

Επίσης από το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{(OES)}$ και από το πυθαγόρειο θεώρημα θα είναι:

$\displaystyle{SE=\frac{20}{3}=SF \ \ (6)}$

Από την (6) εύκολα υπολογίζεται το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{(FBD)}$ , δηλαδή:

$\displaystyle{E(FBD)=\frac{1}{2}(BD)(SF)=\frac{25}{3} \Rightarrow E(BCD)=3\cdot E(FBD)=25 \ \ (7)}$

Για τον όγκο της πυραμίδας αυτής εργαζόμαστε στο δεύτερο σχήμα:

: Πυραμίδα 3.png (31.94 KiB) Προβλήθηκε 1751 φορές

Το ύψος της πυραμίδας αυτής είναι το τμήμα $\displaystyle{AA_o \perp(BCD)}$
Τα ορθογώνια τρίγωνα $\displaystyle{ESE_o}$ και $\displaystyle{AZA_o}$ είναι όμοια γιατί μια οξεία γωνία τους
είναι η αντίστοιχη επίπεδη $\displaystyle{\varphi}$ της δίεδρης $\displaystyle{A-BD-C}$ . Άρα:

$\displaystyle{\frac{AA_o}{EE_o}=\frac{AZ}{ES} =\frac{2}{1}\Rightarrow (AA_o)=2(EE_o) \ \ (8) }$

Όμως:

$\displaystyle{(EE_o)=(SE)\cdot sin\varphi=\frac{20}{3} \cdot \sqrt{1-cos^2\varphi}=...=\frac{20}{3} \cdot \sqrt{1-(\frac{14}{50})^2} \ \ (9) }$

Η σχέση (8) λόγω της (9) δίνει:

$\displaystyle{AA_o=\frac{40}{3}\cdot \sqrt{1-(\frac{14}{50})^2} \approx 12.8 \ \ (10) }$

Τελικά ο όγκος της πυραμίδας αυτής είναι:

$\displaystyle{V=\frac{1}{3}(BCD)\cdot (AA_o)=\frac{1}{3}\cdot 25 \cdot \frac{40}{3} \sqrt{1-(\frac{14}{50})^2} =\frac{1000}{9}\sqrt{1-(\frac{14}{50})^2 }=\frac{320}{3} \approx 106.67 }$

Σημείωση:
Σε επόμενη ανάρτηση θα αναφέρω πώς κατασκευάζεται μια τέτοια πυραμίδα που έχει πολλές μορφές, όπως αυτές που
φαίνονται στα ανωτέρω σχήματα, όπου η κορυφή $\displaystyle{C}$ κινείται πάνω σε μια ευθεία παράλληλη προς την ακμή $\displaystyle{BD}$
και με όρια μεταβολής τα σημεία $\displaystyle{C_1, C_2}$ .

Κώστας Δόρτσιος

#17

Κώστα, σε ευχαριστώ!

Να είσαι πάντα καλά!

Να γράφεις, να σε διαβάζουμε, να μαθαίνουμε από εσένα!

#18

KDORTSI έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 14, 2019 5:28 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 08, 2019 5:52 pm
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2004.
..........................................................................
6. Στην πυραμίδα το μήκος του τμήματος ισούται με $\dfrac{5}{2}$ , το σημείο είναι το μέσο του τμήματος , το σημείο τομής των διαμέσων της έδρας και . Σφαίρα ακτίνας εφάπτεται των επιπέδων και στα σημεία και αντίστοιχα. Να βρείτε την δίεδρη γωνία μεταξύ των εδρών και , το εμβαδόν της έδρας και τον όγκο της πυραμίδας .
rek2 έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 11, 2019 7:03 pm
Το σχήμα για το 6.

Ο είναι το κέντρο της σφαίρας.

Το επίπεδο EOFK είναι κάθετο στα επίπεδα ABD, BDC.

Το ύψος, από το C , της βάσης είναι τριπλάσιο του KF.

Το ύψος, από το Α, της πυραμίδας είναι διπλάσιο του ΕΗ.

Οι υπολογισμοί είναι ... ρουτίνα
Κώστα καλημέρα,

υλοποιώ αυτά ακριβώς που επισημαίνεις σε σχήματα με τα πραγματικά δεδομένα.

Εργαζόμαστε κατ' αρχήν στο πρώτο σχήμα:
...............................................................................................
Σημείωση:
Σε επόμενη ανάρτηση θα αναφέρω πώς κατασκευάζεται μια τέτοια πυραμίδα που έχει πολλές μορφές, όπως αυτές που
φαίνονται στα ανωτέρω σχήματα, όπου η κορυφή $\displaystyle{C}$ κινείται πάνω σε μια ευθεία παράλληλη προς την ακμή $\displaystyle{BD}$
και με όρια μεταβολής τα σημεία $\displaystyle{C_1, C_2}$ .

Κώστας Δόρτσιος

Κώστα καλημέρα και ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια.
Να είσαι γερός και πάντα δημιουργικός!

Έχει ενδιαφέρον ο τρόπος με τον οποίο μπορεί κανείς να κατασκευάσει την πυραμίδα αυτή
και μάλιστα στην εποχή μας που διαθέτει τα μέσα της ψηφιακής τεχνολογίας.

Η κατασκευή της πυραμίδας αυτής έχοντας υπόψη και την προηγούμενη ανάρτηση πραγματοποιείται
ακολουθώντας τα εξής στάδια:
1ο στάδιο

: Πυραμίδα 5.png (16.46 KiB) Προβλήθηκε 1642 φορές

Στο οριζόντιο επίπεδο θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{BD=\frac{5}{2}}$ και ένα τυχαίο σημείο $\displaystyle{S}$ (κόκκινο χρώμα) πάνω σ' αυτό.
Θεωρούμε το κάθετο επίπεδο στο ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{BD}$ στο σημείο $\displaystyle{S}$ και πάνω σ' αυτό κατασκευάζουμε το τετράπλευρο $\displaystyle{OEST}$ .
Η κατασκευή αυτή είναι εφικτή και εύκολη.

2ο στάδιο

: Πυραμίδα 7.png (21.51 KiB) Προβλήθηκε 1642 φορές

Θεωρούμε το μέσο $\displaystyle{S_o}$ του τμήματος $\displaystyle{BD}$ και προεκτείνουμε το τμήμα $\displaystyle{S_oT}$ έτσι ώστε:

$\displaystyle{S_oC=3S_oT \ \ (1)}$

Έτσι το σημείο $\displaystyle{T}$ είναι το βαρύκεντρο της έδρας $\displaystyle{ BCD}$ .

Όμοια προεκτείνοντας το τμήμα $\displaystyle{BE}$ κατά ίσο τμήμα $\displaystyle{EA}$ βρίσκουμε το σημείο $\displaystyle{A}$ .

3ο στάδιο

: Πυραμίδα 8.png (27.89 KiB) Προβλήθηκε 1642 φορές

Στο σχήμα αυτό φαίνεται πλέον η ζητούμενη πυραμίδα διότι ικανοποιούνται όλα τα δεδομένα της
εκφώνησης του αρχικού προβλήματος.

Επειδή όμως το σημείο $\displaystyle{S}$ θεωρήθηκε τυχαίο επί του τμήματος $\displaystyle{BD}$ έχουμε απειρία τέτοιων πυραμίδων των οποίων
η κορυφή $\displaystyle{C}$ θα δείξουμε ότι κινείται επί ενός ευθυγράμμου τμήματος $\displaystyle{C_1C_2}$ .
Για το θέμα αυτό εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Πυραμίδα 9.png (15.92 KiB) Προβλήθηκε 1642 φορές

Αν από το σημείο $\displaystyle{C}$ φέρουμε την παράλληλη $\displaystyle{e}$ προς την $\displaystyle{BD}$ τότε από την ομοιότητα των τριγώνων
$\displaystyle{(TSS_o)}$ και $\displaystyle{(TCS_1)}$ προκύπτει:

$\displaystyle{TS_1=2TS=ct \ \ (2) }$

Από την (2) προκύπτει ότι η ευθεία (e) είναι σταθερή.

Καλλιεργώντας τις σχέσεις από την ομοιότητα αυτή εύκολα μπορούμε να
συμπεράνουμε και τα όρια μεταβολής του σημείου $\displaystyle{C}$ .
(αυτές μπορείτε να τις δείτε και στο δυναμικό σχήμα)
Έτσι προκύπτει ότι είναι:

$\displaystyle{C_1C_2=\frac{15}{2} }$

Πυραμίδα 3.ggb: (15.69 KiB) Μεταφορτώθηκε 34 φορές

Κώστας Δόρτσιος

#19

Επειδή ο χώρος στην προηγούμενη ανάρτηση δεν έφτανε για την ανάρτηση και του δεύτερου
δυναμικού αρχείου το αναρτώ στην παρούσα.

Πυραμίδα 4.ggb: (19.86 KiB) Μεταφορτώθηκε 51 φορές

Κώστας Δόρτσιος

Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2004

Μέλη σε σύνδεση