Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [21-30]

Al.Koutsouridis · #1

Τα τελευταία δέκα θέματα (21 έως 30) τύπου B ("κατεύθυνσης") των Κορεατικών εισαγωγικών εξετάσεων στα μαθηματικά για το έτος 2019. Σε αγκύλες είναι τα μόρια (στο σύνολο ) . Στα θέματα 22-30 ζητείται μόνο η απάντηση. Τα υπόλοιπα θέματα μπορούν βρεθούν στους συνδέσμους: [1-10], [11-20].

21. Για την παραγωγίσιμη σε όλους τους πραγματικούς αριθμούς συνάρτηση f(x)

, που ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες, ποιά είναι η τιμή f(-1)

; [4 μόρια]

α) Για όλους τους πραγματικούς ισχύει $\quad 2\{f(x) \}^{2} \cdot f^{\prime}(x)= \ { \{ f(2x+1) \}^{2} \cdot f^{\prime}(2x+1)$
β) $f\left ( -\dfrac{1}{8}\right ) =1$ , f(6)=2

$\displaystyle{\textcircled{1} \quad \dfrac{\sqrt[3]{3}}{6} \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad \dfrac{\sqrt[3]{3}}{3} \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad \dfrac{\sqrt[3]{3}}{2} \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad \dfrac{2\sqrt[3]{3}}{3} \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad \dfrac{5 \sqrt[3]{3}}{6} }$

22. Βρείτε την τιμή της έκφρασης $\displaystyle{P_{6}^{2} -C_{6}^{2}}$ . [3 μόρια]

23. Αν $\displaystyle{\tan \theta =5}$ , να βρείτε την τιμή του $\displaystyle{\sec^2 \theta}$ . [3 μόρια]

24. Η θέση (x,y)

την χρονική στιγμή $t (t\geq 0)$ του σημείου

, που κινείται στο καρτεσιανό επίπεδο είναι
$x=1-\cos 4t, \quad y=\dfrac{1}{4} \sin 4t$ . Να βρείτε το μέτρο της επιτάχυνσης του σημείου

, όταν η ταχύτητα του

γίνει μέγιστη. [3 μόρια]

25. Βρείτε την τιμή του $\displaystyle \int\limits_{0}^{\pi} x \cos \left ( \pi -x\right ) dx$ . [3 μόρια]

26. Η μέση τιμή του ημερίσιου ελεύθερου χρόνου σε μια τοπική κοινότητα είναι

λεπτά και ακολουθεί κανονική κατανομή με τυπική απόκλιση $\sigma$ λεπτά. Όταν η μέση τιμή του ελεύθερου ημερίσιου χρόνου, που προέκυψε από τυχαίο δείγμα

ατόμων ήταν

λεπτά, το $95 \%$ διάστημα εμπιστοσύνης ήταν $a \leq m \leq b$ . Όταν η μέση τιμή του ελεύθερου ημερίσιου χρόνου, που προέκυψε από τυχαίο δείγμα άλλη μέρα ήταν

λεπτά, το $99 \%$ διάστημα εμπιστοσύνης ήταν $c \leq m \leq d$ . Να βρείτε την τιμή της τυπικής απόκλισης $\sigma$ , που ικανοποιεί την σχέση d-b=3,86

. (Σημείωση: όταν η τυχαία μεταβλητή

ακολουθεί την τυποποιημένη κανονική κατανομή ισχύει $\displaystyle{P\left ( |Z| \leq 1,96\right )=0,95}$ και $\displaystyle{P\left ( |Z| \leq 2,58\right )=0,99}$ ) [4 μόρια]

27. Ρίχνουμε ένα ζάρι. Έστω

το ενδεχόμενο η έκβαση να είναι ένας περιττός αριθμός και

το ενδεχόμενο η έκβαση να είναι μικρότερος ή ίσος του

φυσικός διαιρέτης ενός φυσικού αριθμού

. Βρείτε το άθροισμα όλων των τιμών του

για τις οποίες τα ενδεχόμενα

και

είναι ανεξάρτητα. [4 μόρια]

28. Δίνεται η έλλειψη $\displaystyle \dfrac{x^2}{49} +\dfrac{y^2}{33} =1$ με εστίες τα σημεία $F^{\prime}, F$ . Η ευθεία $F^{\prime}P$ τέμνει την έλλειψη σε σημείο

με θετική

συντεταγμένη, όπου

σημείο του κύκλου $\displaystyle x^2+(y-3)^2=4$ . Να βρείτε την μέγιστη τιμή του αθροίσματος $\displaystyle PQ+FQ$ . [4 μόρια]

: korean_2019b_28.png (26.55 KiB) Προβλήθηκε 2350 φορές

29. Δίνεται τρίγωνο ABC

εμβαδού

και έστω

και

σημεία που κινούνται στις πλευρές AB, BC

και

, αντίστοιχα. Ο λόγος, του εμβαδού του σχήματος που ορίζουν τα σημεία

του επιπέδου του τριγώνου που δίνονται από την σχέση

$\displaystyle \overrightarrow{AX} = \dfrac{1}{4} \left ( \overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AR}\right) +\dfrac{1}{2} \overrightarrow{AQ}$

προς το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσος με $\dfrac{q}{p}$ . Να βρείτε την τιμή του p+q

. (όπου

πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί.) [4 μόρια]

30. Η συνάρτηση f(x)

είναι κυβικό πολυώνυμο με μεγιστοβάθμιο συντελεστή ίσο με $6 \pi$ . Η συνάρτηση $\displaystyle g(x) = \dfrac{1}{ 2+ \sin \left (f(x) \right) }$ λαμβάνει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή (τοπικά μέγιστα/ελάχιστα), στα σημεία $x= \alpha$ με $\alpha \geq 0$ . Τα σημεία $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5},…$ ,( τα σημεία $\alpha$ κατά αύξουσα σειρά) και η συνάρτηση g(x)

ικανοποιούν τις ακόλουθες συνθήκες

Α) $\displaystyle \alpha_{1} =0$ και $g(\alpha_{1})=\dfrac{2}{5}$

Β) $\displaystyle \dfrac{1}{g(\alpha_{5})} = \dfrac{1}{g(\alpha_{2})} +\dfrac{1}{2}$

Αν $\displaystyle g^{\prime}\left (-\dfrac{1}{2} \right) = a \pi$ , να βρείτε την τιμή του a^2

.
(εφόσον, $\displaystyle 0 < f(0) < \dfrac{\pi}{2}$ ) [4 μόρια]

Πηγή

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 23, 2019 1:54 pm
.....................................................

28. Δίνεται η έλλειψη $\displaystyle \dfrac{x^2}{49} +\dfrac{y^2}{33} =1$ με εστίες τα σημεία $F^{\prime}, F$ . Η ευθεία $F^{\prime}P$ τέμνει την έλλειψη σε σημείο με θετική συντεταγμένη, όπου σημείο του κύκλου $\displaystyle x^2+(y-3)^2=4$ . Να βρείτε την μέγιστη τιμή του αθροίσματος $\displaystyle PQ+FQ$ . [4 μόρια]

Καλησπέρα....

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Κορεατικές εξετάσεις 2019(B) 1.png (21.22 KiB) Προβλήθηκε 2261 φορές

Τα στοιχεία της έλλειψης εύκολα προκύπτουν από τα στοιχεία του δοσμένου
προβλήματος.
Για το τυχόν σημείο $\displaystyle{Q}$ της έλλειψης αυτής ισχύει ότι:

$\displaystyle{F'Q+QF=2\cdot7=14 \ \ (1)}$

Ακόμα είναι:

$\displaystyle{F'P \geq F'P_o=F'K-P_oK=\sqrt{4^2+3^2}-2=3 \ \ (2)}$

Επομένως τη παράσταση της οποίας ζητούμε το μέγιστο είναι:

$\displaystyle{f(P)=PQ+QF=F'P+PQ+QF-F'P=F'Q+QF-F'P=14-F'P}$

Δηλαδή:

$\displaystyle{f(P)=14-F'P \ \ (3)}$

Η σχέση (3) λόγω της (2) γίνεται:

$\displaystyle{f(P)=14-F'P \leq 14-3=11 \ \ (4)}$

Έτσι η μέγιστη τιμή της ποσότητας αυτής είναι ο αριθμός 11 και και
λαμβάνεται όταν το σημείο $\displaystyle{Q}$ διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{Q_o}$ .

Κώστας Δόρτσιος

Al.Koutsouridis · #3

Για όσους προσπάθησαν να λύσουν το θέμα

θα ήθελα να ενημερώσω ότι είχε τυπογραφικό λάθος αντιγραφής στην εκφώνηση της συνθήκης (α). Αντί για:

α) Για όλους τους πραγματικούς ισχύει $\quad 2\{f(x) \}^{2} \cdot f^{\prime}(x)= \ { \{ f(2x+1) \}^{2} \cdot f^{\prime}(x)$ ,

το σωστό είναι:

α) Για όλους τους πραγματικούς ισχύει $\quad 2\{f(x) \}^{2} \cdot f^{\prime}(x)= \ { \{ f(2x+1) \}^{2} \cdot f^{\prime}(2x+1)$

Ευχαριστώ τον κ.Ρεκούμη για την παρατήρηση. Επειδή το πρόβλημα είναι αρκετά ωραίο, ελπίζω να έπανα-ασχοληθούν όσοι το είχαν προσπαθήσει.

#4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 23, 2019 1:54 pm
........................................................................
29. Δίνεται τρίγωνο εμβαδού και έστω και σημεία που κινούνται στις πλευρές και , αντίστοιχα. Ο λόγος, του εμβαδού του σχήματος που ορίζουν τα σημεία του επιπέδου του τριγώνου που δίνονται από την σχέση

$\displaystyle \overrightarrow{AX} = \dfrac{1}{4} \left ( \overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AR}\right) +\dfrac{1}{2} \overrightarrow{AQ}$

προς το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσος με $\dfrac{q}{p}$ . Να βρείτε την τιμή του . (όπου πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί.) [4 μόρια]
..............................................................................

Καλησπέρα, ....

Εργαζόμαστε στο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ το οποίο κατασκευάστηκε ώστε να είναι $\displaystyle{E(ABC)=9 \ \ (1)}$ και τα σημεία
$\displaystyle{P,Q,R}$ που κινούνται στις πλευρές $\displaystyle{AB,BC,CA}$ , όπως απαιτεί η εκφώνηση του προβλήματος και κατασκευάζουμε
το σημείο $\displaystyle{X}$ σύμφωνα με τη σχέση:

$\displaystyle{\overrightarrow{AX}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AR})+\frac{1}{2}\overrightarrow{AQ} \ \ (2)}$

Για να προσδιορίσουμε το χωρίο που ορίζει το σημείο $\displaystyle{X}$ διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

1η Περίπτωση (Σχήμα 1)

: Διανύσματα Κορέα 1.png (22.24 KiB) Προβλήθηκε 2025 φορές

Όπως φαίνεται και από τις ετικέτες της εικόνας αυτής, όπου $\displaystyle{P \equiv{ B}, \ \ R \equiv{ C}}$ και $\displaystyle{Q\in BC}$
η σχέση (2) γίνεται:

$\displaystyle{\overrightarrow{AX}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AR})+\frac{1}{2}\overrightarrow{AQ}=\frac{1}{4}(2\overrightarrow{AM}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AQ}=\\ =\frac{1}{2}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AQ})}$

Επομένως το σημείο $\displaystyle{X}$ είναι το μέσον του τμήματος $\displaystyle{QM}$ .
Αυτό σημαίνει ότι όταν το σημείο $\displaystyle{Q}$ διατρέχει την πλευρά $\displaystyle{BC}$ το σημείο $\displaystyle{X}$ θα διατρέχει το τμήμα $\displaystyle{S_1S_2}$ ,
όπου $\displaystyle{S_1, S_2}$ τα μέσα των τμημάτων $\displaystyle{BM, MC}$ αντίστοιχα και με το σημείο $\displaystyle{M}$ το μέσον της πλευράς $\displaystyle{BC}$ .

2η Περίπτωση (Σχήμα 2)

: Διανύσματα Κορέα 2.png (16.66 KiB) Προβλήθηκε 2025 φορές

Στο σχήμα αυτό είναι: $\displaystyle{P\in AB}$ και $\displaystyle{Q\equiv{C} , \ \ R\equiv{C} }$
Έτσι η σχέση (2) γίνεται:

$\displaystyle{\overrightarrow{AX}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AR})+\frac{1}{2}\overrightarrow{AQ}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AC})+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AP}+3\overrightarrow{AC}) \ \ (3)}$

Η ανωτέρω σχέση δηλώνει ότι το σημείο $\displaystyle{X}$ ανήκει στο τμήμα $\displaystyle{PC}$ και το διαιρεί σε λόγο ίσο με $\displaystyle{3:1}$ , δηλαδή το
σημείο $\displaystyle{X}$ είναι το μέσο του τμήματος $\displaystyle{TC}$ , όπου $\displaystyle{T}$ το μέσο του τμήματος $\displaystyle{PC}$ . Αυτό σημαίνει ότι το σημείο $\displaystyle{X}$
κινείται επί του τμήματος $\displaystyle{S_2N}$ ,όπου $\displaystyle{N}$ μέσο του τμήματος $\displaystyle{ZC}$ , ΜΕ $\displaystyle{Z}$ μέσο της πλευράς $\displaystyle{AC}$ . (αντίστροφο Θ. Θαλή)

Έτσι το τμήμα $\displaystyle{S_2N}$ ορίζει μια ακόμα πλευρά του ζητούμενου χωρίου.

3η Περίπτωση (Σχήμα 3)

: Διανύσματα Κορέα 3.png (15.79 KiB) Προβλήθηκε 2025 φορές

Στην περίπτωση αυτή είναι: $\displaystyle{P\equiv{B}, \ \ Q\equiv{B}}$ και $\displaystyle{R\in {AC}}$

Όπως και στην περίπτωση 2, έτσι και εδώ όμοια συμπεραίνεται ότι το σημείο $\displaystyle{X}$ κινείται επί της $\displaystyle{S_1K}$ όπου $\displaystyle{K}$ μέσο της $\displaystyle{BI}$
με το σημείο $\displaystyle{I}$ μέσο της πλευράς $\displaystyle{AB}$ .

4η Περίπτωση (Σχήμα 4)

: Διανύσματα Κορέα 4.png (14.33 KiB) Προβλήθηκε 2025 φορές

Στην περίπτωση αυτή είναι: $\displaystyle{P\equiv{A}, \ \ R\equiv{A}}$ και $\displaystyle{Q\in{BC}}$

Από τη σχέση (2) προκύπτει:

$\displaystyle{\overrightarrow{AX}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AR})+\frac{1}{2}\overrightarrow{AQ} =\frac{1}{2}\overrightarrow{AQ}}$

Η σχέση αυτή δηλώνει ότι το σημείο $\displaystyle{X}$ διατρέχει το τμήμα $\displaystyle{IZ}$ .

Από τα ανωτέρω δείχθηκε το περίγραμμα του χωρίου εντός του οποίου κινείται το σημείο $\displaystyle{X}$ , το οποίο περιγράφεται από τη σχέση (2).

Σε επόμενο μήνυμα θα δειχθεί και το αντίστροφο, δηλαδή, ότι σε κάθε σημείο $\displaystyle{X}$ του ανωτέρω χωρίου αντιστοιχεί μια τριάδα σημείων
$\displaystyle{P,Q,R}$ , ώστε να ικανοποιείται τη σχέση (2).

(συνεχίζεται....)

Κώστας Δόρτσιος

#5

KDORTSI έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 04, 2019 6:17 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 23, 2019 1:54 pm
........................................................................
29. Δίνεται τρίγωνο εμβαδού και έστω και σημεία που κινούνται στις πλευρές και , αντίστοιχα. Ο λόγος, του εμβαδού του σχήματος που ορίζουν τα σημεία του επιπέδου του τριγώνου που δίνονται από την σχέση

$\displaystyle \overrightarrow{AX} = \dfrac{1}{4} \left ( \overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AR}\right) +\dfrac{1}{2} \overrightarrow{AQ}$

προς το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσος με $\dfrac{q}{p}$ . Να βρείτε την τιμή του . (όπου πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί.) [4 μόρια]
..............................................................................
Καλησπέρα, ....

Εργαζόμαστε στο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ το οποίο κατασκευάστηκε ώστε να είναι $\displaystyle{E(ABC)=9 \ \ (1)}$ και τα σημεία
$\displaystyle{P,Q,R}$ που κινούνται στις πλευρές $\displaystyle{AB,BC,CA}$ , όπως απαιτεί η εκφώνηση του προβλήματος και κατασκευάζουμε
το σημείο $\displaystyle{X}$ σύμφωνα με τη σχέση:

$\displaystyle{\overrightarrow{AX}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AR})+\frac{1}{2}\overrightarrow{AQ} \ \ (2)}$
...................................................................................

Σε επόμενο μήνυμα θα δειχθεί και το αντίστροφο, δηλαδή, ότι σε κάθε σημείο $\displaystyle{X}$ του ανωτέρω χωρίου αντιστοιχεί μια τριάδα σημείων
$\displaystyle{P,Q,R}$ , ώστε να ικανοποιείται τη σχέση (2).

(συνεχίζεται....)

Κώστας Δόρτσιος

Επανέρχομαι για την απόδειξη του αντίστροφου ....

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Διανύσματα Κορέα 6.png (16.38 KiB) Προβλήθηκε 1950 φορές

Το σημείο $\displaystyle{X}$ είναι ένα τυχαίο σημείο του πολυγώνου $\displaystyle{(IKS_1S_2NZ)}$ αποδείχνεται
ότι υπάρχουν τα σημεία $\displaystyle{P,Q,R}$ επί των πλευρών του τριγώνου $\displaystyle{AB, BC, CA}$ αντίστοιχα
ώστε να ικανοποιείται η σχέση (2) του προβλήματος από την προηγούμενη ανάρτηση.

( $\displaystyle{I, Z}$ μέσα των πλευρών $\displaystyle{AB, AC}$ αντίστοιχα και $\displaystyle{K,N}$ μέσα των τμημάτων $\displaystyle{ IB, NC}$ αντίστοιχα)

Όλο αυτό το σκεπτικό μπορείτε να το "δείτε" σε μια εικονική και δυναμική μορφή στο συνημμένο
αρχείο που αναρτώ.

Διανύσματα 4.ggb: (21.55 KiB) Μεταφορτώθηκε 41 φορές

(συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

Al.Koutsouridis · #6

KDORTSI έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 05, 2019 5:23 pm

...

Όλο αυτό το σκεπτικό μπορείτε να το "δείτε" σε μια εικονική και δυναμική μορφή στο συνημμένο
αρχείο που αναρτώ.

Διανύσματα 4.ggb

(συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

κ. Δόρτσιο ευχαριστούμε για την αναλυτική λύση και το δυναμικό αρχείο. Νομίζω είναι μια καλή άσκηση για τους μαθητές της κατεύθυνσης Β' Λυκείου. Επί της ευκαιρίας θα ήθελα να δώσω συγχαρητήρια και για τα άρθρα σας «Μαθηματικών όρων και συμβόλων επίσκεψις» στο περιοδικό Μελέτη.

#7

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 06, 2019 4:37 pm
κ. Δόρτσιο ευχαριστούμε για την αναλυτική λύση και το δυναμικό αρχείο. Νομίζω είναι μια καλή άσκηση για τους μαθητές της κατεύθυνσης Β' Λυκείου. Επί της ευκαιρίας θα ήθελα να δώσω συγχαρητήρια και για τα άρθρα σας «Μαθηματικών όρων και συμβόλων επίσκεψις» στο περιοδικό Μελέτη.

κ. Κουτσουρίδη κι εγώ σε ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια!

Είναι αλήθεια ότι η ψηφιακή αυτή επεξεργασία που επιχειρώ συχνά
στο χώρο αυτό, και όχι μόνο, αποτελεί, για μένα τουλάχιστον, μια
ευχαρίστηση και ταυτόχρονα μια πεποίθηση ότι προσφέρει πολλά
στην ερευνητική και παιδαγωγική αξία των προβλημάτων αυτών.

Να είσαι καλά!

Κώστας Δόρτσιος

#8

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 23, 2019 1:54 pm
........................................................................
29. Δίνεται τρίγωνο εμβαδού και έστω και σημεία που κινούνται στις πλευρές και , αντίστοιχα. Ο λόγος, του εμβαδού του σχήματος που ορίζουν τα σημεία του επιπέδου του τριγώνου που δίνονται από την σχέση

$\displaystyle \overrightarrow{AX} = \dfrac{1}{4} \left ( \overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AR}\right) +\dfrac{1}{2} \overrightarrow{AQ}$

προς το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσος με $\dfrac{q}{p}$ . Να βρείτε την τιμή του . (όπου πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί.) [4 μόρια]
..............................................................................

Καλημέρα....

Δίνω την τελική απάντηση.

Σύμφωνα με τις δύο προηγούμενες αναρτήσεις μου εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Διανύσματα Κορέα 7.png (23.42 KiB) Προβλήθηκε 1802 φορές

Από το σχήμα αυτό και από τις σημειωμένες σχέσεις, είναι:

$\displaystyle{\frac{E_1}{E}=\frac{1}{4} \ \ (1)}$

$\displaystyle{\frac{E_2}{E}=\frac{E_2}{E(BMI)}\cdot \frac{E(BMI)}{E}=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{16} \ \ (2) }$

όμοια:

$\displaystyle{ \frac{E_3}{E}=\frac{1}{16} \ \ (3)}$

Επομένως από τις (1), (2) και (3) σχέσεις προκύπτει:

$\displaystyle{\frac{E_o}{E}=\frac{E-E_1-E_2-E_3}{E}=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{16}-\frac{1}{16}=\frac{5}{8}}$

Άρα $\displaystyle{q=5}$ και $\displaystyle{p=8}$ και συνεπώς $\displaystyle{p+q=13}$

Κώστας Δόρτσιος

Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [21-30]

Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [21-30]

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [21-30]

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [21-30]

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [21-30]

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [21-30]

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [21-30]

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [21-30]

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2019 (Β) [21-30]

Μέλη σε σύνδεση