Ολυμπιάδα "Βήμα στο μέλλον"
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 06, 2019 10:18 pm
Εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδα «Βήμα στο μέλλον» του Κρατικού Τεχνικού Πανεπιστημίου Μόσχας Bauman (Πολυτεχνείο)
Μια από τις εκδόσεις των θεμάτων για το 2019.
1. Ένας φοιτητής έγραψε πρόγραμμα που επαναχρωματίζει το πίξελ σε ένα από διαφορετικά χρώματα. Τα χρώματα αυτά είναι αριθμημένα με φυσικούς αριθμούς από το έως το , εξάλλου τα βασικά χρώματα έλαβαν τους ακόλουθους αριθμούς: το άσπρο χρώματα τον αριθμό , το κόκκινο -, το πορτοκαλί -, το κίτρινο-, το πράσινο -, το γαλάζιο -, το κυανό -, το μωβ -, το μαύρο -. Αν το αρχικό χρώμα του πίξελ έχει αριθμό , τότε το πρόγραμμα του φοιτητή το χρωματίζει σε χρώμα με αριθμό και αν στο αρχικό χρώμα του πίξελ αντιστοιχεί αριθμός , τότε το πίξελ χρωματίζεται με χρώμα που αντιστοιχεί στον αριθμό . Αρχικά το πίξελ είχε κόκκινο χρώμα. Ο φοιτητής εφάρμοσε διαδοχικά το πρόγραμμα φορές. Με ποιο χρώμα χρωματίστηκε το πίξελ στο τέλος; [12 μόρια]
2. Να λύσετε την ανισότητα . [12 μόρια]
3. Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων και , για τα οποία εκ των τεσσάρων ισχυρισμών
1) διαιρείται με το
2)
3) διαιρείται με το
4) είναι πρώτος αριθμός
τρεις είναι αληθείς και ένας ψευδής. [16 μόρια]
4. Στο τρίγωνο με την γωνία να είναι ίση με , φέρουμε την διχοτόμο . Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με κέντρο το σημείο , είναι ίση με . Αν , vα βρείτε το μήκος του τμήματος , όπου το σημείο τομής των τμημάτων και . [20 μόρια]
5. Για κάθε τιμή της παραμέτρου να λύσετε την εξίσωση
. [20 μόρια]
6. Η βάση της πυραμίδας είναι το τρίγωνο , όλες οι πλευρές του οποίου είναι ίσες με και το ύψος της συμπίπτει με την παράπλευρη ακμή . Να βρείτε το εμβαδόν της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο, που διέρχεται από το κέντρο της περιγεγραμμένης στην πυραμίδα σφαίρας, σχηματίζει γωνία με την βάση, τέμνει την ακμή στο σημείο , ώστε και τέμνει την ακμή . Είναι γνωστό, ότι η απόσταση του σημείου από το επίπεδο τομής είναι ίση με . [20 μόρια]
Μια από τις εκδόσεις των θεμάτων για το 2019.
1. Ένας φοιτητής έγραψε πρόγραμμα που επαναχρωματίζει το πίξελ σε ένα από διαφορετικά χρώματα. Τα χρώματα αυτά είναι αριθμημένα με φυσικούς αριθμούς από το έως το , εξάλλου τα βασικά χρώματα έλαβαν τους ακόλουθους αριθμούς: το άσπρο χρώματα τον αριθμό , το κόκκινο -, το πορτοκαλί -, το κίτρινο-, το πράσινο -, το γαλάζιο -, το κυανό -, το μωβ -, το μαύρο -. Αν το αρχικό χρώμα του πίξελ έχει αριθμό , τότε το πρόγραμμα του φοιτητή το χρωματίζει σε χρώμα με αριθμό και αν στο αρχικό χρώμα του πίξελ αντιστοιχεί αριθμός , τότε το πίξελ χρωματίζεται με χρώμα που αντιστοιχεί στον αριθμό . Αρχικά το πίξελ είχε κόκκινο χρώμα. Ο φοιτητής εφάρμοσε διαδοχικά το πρόγραμμα φορές. Με ποιο χρώμα χρωματίστηκε το πίξελ στο τέλος; [12 μόρια]
2. Να λύσετε την ανισότητα . [12 μόρια]
3. Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων και , για τα οποία εκ των τεσσάρων ισχυρισμών
1) διαιρείται με το
2)
3) διαιρείται με το
4) είναι πρώτος αριθμός
τρεις είναι αληθείς και ένας ψευδής. [16 μόρια]
4. Στο τρίγωνο με την γωνία να είναι ίση με , φέρουμε την διχοτόμο . Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με κέντρο το σημείο , είναι ίση με . Αν , vα βρείτε το μήκος του τμήματος , όπου το σημείο τομής των τμημάτων και . [20 μόρια]
5. Για κάθε τιμή της παραμέτρου να λύσετε την εξίσωση
. [20 μόρια]
6. Η βάση της πυραμίδας είναι το τρίγωνο , όλες οι πλευρές του οποίου είναι ίσες με και το ύψος της συμπίπτει με την παράπλευρη ακμή . Να βρείτε το εμβαδόν της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο, που διέρχεται από το κέντρο της περιγεγραμμένης στην πυραμίδα σφαίρας, σχηματίζει γωνία με την βάση, τέμνει την ακμή στο σημείο , ώστε και τέμνει την ακμή . Είναι γνωστό, ότι η απόσταση του σημείου από το επίπεδο τομής είναι ίση με . [20 μόρια]